法国 Bourbaki 学派认为，数学特别是纯数学是研究抽象结构的理论，现代数学有三大母结构: 代数结构、序结构、拓扑结构。从单结构的初始公理体系出发通过添加公理条件的方式可以得到各种特殊结构，从多种结构出发通过设置公理体系之间的协调性条件可以得到各种多结构系统。
At the center of our universe are found the great types of structures， of which the principal ones were called the mother-structures: algebraic structures， ordered structures and topological structures. Each of these types has the smallest number of axioms， and by enriching with supplementary axioms， it comes a harvest of new consequences. Those of multiple structures involve two or more of the great mother-structures simultaneously， combined organically by one or more axioms which set up a connection between them.(①
序结构是带有偏序关系的集合，格结构是带有某种完备性的序结构。序与格论起源于19 世纪末群论中的一个问题: 设A， B， C 是Abel 群G 的子群，问A， B， C 通过加法运算和交运算可以生成多少个互不相同的子群? 换成格序术语，即由三个元素生成的自由模格具有多少个元素②(? 1900 年，R. Dedekind 回答了这个问题[12]。20 世纪30 年代，G. Birkhoff 和O. Ore 开始系统研究序与格论。由Birkhoff 撰写的世界上第一部格论专著Lattice Theory 于1940 年出版，后来又分别在1948 年和1967 年再版。序与格论及其相关领域重要的英文书目主要有:
– Lattice Theory (Birkhoff， 1940， 1948， 1967)[5]
– Lattice Theory (Gr?tzer， 1971)[27]
– Distributive Lattices (Balbes， Dwinger， 1974)[3]
– General Lattice Theory (Gr?tzer， 1978， 1998)[27]
– A Compendium on Continuous Lattices (Gierz， et. al.， 1980)[23]
– A Course in Universal Algebra (Burris， Sankappanavar， 1981)[8]
– Stone Spaces (Johnstone， 1982)[40]
– Introduction to Lattices and Order (Davey， Priestley， 1990， 2002)[10]
– Continuous Lattices and Domains (Gierz， et. al.， 2003)[24]
– Lattices and Ordered Algebraic Structures (Blyth， 2005)[6]
– Lattices and Ordered Sets (Roman， 2008)[68]
– Frames and Locales (Picado， Pultr， 2012)[60]
– Spectral Spaces (Dickmann， Schwartz， Tressl， 2019)[14]
中文书目主要有(按年份排序， 同一年份的按作者姓名字母排序):
–《格论》（中山正（董克诚译），1964）[101]
–《格论基础》（胡长流，宋振明，1990）[36]
–《拓扑分子格理论》（王国俊，1990）[83]
–《格论初步》（张杰，1990）[99]
–《Frame 与连续格》（郑崇友，樊磊，崔宏斌，1994，2000）[100]
–《模糊集与剩余格》（方进明，2012）[19]
–《一般格论基础》（李海洋，2012）[47]
–《格论导引》（方捷，2014）[18]
–《Quantale 理论基础》（韩胜伟，赵彬，2016）[30]
–《序与拓扑》（徐晓泉，2016）[90]
–《概率计量逻辑及其应用》（周红军，2016）[102]
中国的序与格论及其相关领域的学术研究发展基本上可分为三个阶段:
第一阶段: 解放初期的萌芽阶段。解放后的中国满目疮痍、百废待兴，学习和研究资料十分匮乏。1964 年，河北大学董克诚教授将日本学者中山正的《格论: 格的代数理论》翻译为中文，成为格论的第一部中文书籍。
第二阶段: 20 世纪90 年代的发展阶段。这是改革开放的十余年后，离第一部中文格论书籍的出版已过去近三十年。伴随着各种新思潮的涌入，Bourbaki 学派的结构主义思想深深地影响了中国数学工作者，20 世纪60 年代末70 年代初提出的Domain 理论中格序结构与拓扑结构相融合的内容及研究方法更是引起了中国学者极大的兴趣。1990 年全国共出版了三部格论著作，1994 年Frame 和Domain理论方面的专著《Frame 与连续格》的出版将中国序与格论研究推向一个高度，该书在2000 年进行了修订，添加了很多国内学者的重要工作。格论领域内的数学工作者从此拥有了开展学习和研究的丰富资料，为后续发展奠定了坚实的基础。
第三阶段: 21 世纪的繁荣阶段。20 世纪90 年代后，中国学者学习和积淀了二十多年，逐步形成了若干个在国际上具有一定影响力的研究团队，研究水平和成果得到了全面发展和提升。这一阶段的特征是，各研究团队结合自身特点和优势，将格序结构作为基础结构进行了不同方面、不同层面和不同方向的深入研究，期间共有五部专著出版，特别是2016 年就有三部，从此格论研究达到了一个新的高度。
编写本书的目的是: （1）阐述序与格等相关内容，加强相关概念和结论的代数性的表述，为国内学者和研究生的学习和研究提供素材；（2）细致处理诸多细节，使得理论体系更具严密性①(；（3）强调格论在其他方向的应用，加入部分与粗糙集理论、形式概念分析相关的格论知识；（4）将完全分配格和剩余格列为重要内容，单独成章，为模糊数学理论的研究者提供全面的基础知识；（5）将作者近年来的相关研究成果纳入其中，充实格论内容。读者可能会注意到本书在结构和内容的安排上与B.A. Davey 和H. Priestley 的Introduction to Lattices and Order具有一定的相似性，此书也是我们非常推崇的序与格论著作，建议初学者将此书选为入门学习的英文读本。
现代数学发展到今天，任何一个单一结构的数学理论在纵向方面的发展都已经相对比较完善，所以逐步向多结构交叉，或者与其他数学分支甚至与其他领域进行横向交叉研究将是今后数学研究的主旋律。本书以格序结构为主体，将它与代数结构、拓扑结构的内在联系作为主线贯穿全书，逐步展开序与格论的相关基础理论知识的讲述。下面分章节介绍全书内容。
第1 章给出偏序集、格与完备格等基本结构的定义，介绍序同态与格同态等保结构映射、分配格与Boole 代数等常见格结构、理想与滤子等重要子结构，以及交素元与并素元等特殊元素。
第2 章介绍Galois 伴随和Galois 连接。Galois 伴随和Galois 连接都可以看作互逆映射对的一种泛化或推广，但这两个名词在许多文献中存在混用现象，实际上它们是两个不同的概念。Galois 连接是一种逆序的映射对，其历史渊源可以追溯到法国数学家E. Galois 开创的Galois 理论，其偏序集框架下的确切定义是由O. Ore 在1944 年提出的[55]。而Galois 伴随则是一种保序的映射对，首先由J. Schmidt 在1953 年提出[71]。特别指出，由T.S. Blyth 和M.F. Janowitz 发展的剩余理论[7] 是Galois 伴随的另一种表现形式。无论是Galois 伴随还是Galois连接，都在代数学、序与格论、Domain 理论、形式概念分析和逻辑学等学科分支
中具有重要的应用[13]。
第3 章是Heyting 代数，它由荷兰数学家A. Heyting 在1930 年引入[32]，是经典命题演算的Tarski-Lindenbaum 代数的推广，或直觉主义演算的Tarski-Lindenbaum 代数。在数学方面，Heyting 代数是Boole 代数的一般化，曾被称作伪Boole 代数或Brouwer 格[44]。从范畴论的角度来看，一个偏序集是Heyting代数当且仅当它作为范畴是笛卡儿闭的[52]。本章介绍Heyting 代数的基本性质及其与Boole 代数的关系、滤子与同余关系之间的一一对应、相对极大滤子等特殊滤子，以及Heyting 代数的同态和直积等内容。
第4 章介绍Frame 与拓扑表示定理。拓扑结构和格序结构之间有着非常自然的联系，从拓扑结构出发，如果我们“忘掉”基础集，则开集族构成一个特殊的完备格，另外还可以利用开集族诱导基础集上的预序关系（即特殊化序）；反过来，从格序结构出发，我们可以在上面定义很多内蕴拓扑，如序拓扑、Alexandrov拓扑和Scott 拓扑等。20 世纪30 年代末期，M.H. Stone 关于Boole 代数与分配格的拓扑表示定理出现后[75-77]，人们开始广泛关注和重视这方面内容的研究。1938 年，H. Walman 提出可以利用格论方法来研究拓扑空间的性质[80]；1957 年，C. Ehresmann 认为具有某种分配性的格本身就可以作为一种广义拓扑空间来研究[15]，其中frame 是替代拓扑空间的开集格的较直接而有效的格结构。后来的研究表明，这种融合拓扑结构和格序结构于一体的研究是极具特色的，并逐步形成了“序与拓扑”的稳定研究方向。P.T. Johnstone 的著作Stone Spaces 是对该领域的研究工作的系统总结[40]，郑崇友、樊磊和崔宏斌的专著《Frame 与连续格》则是该领域内国内学生和研究人员的?书目[100]，徐晓泉的专著《序与拓扑》侧重论述该领域的一些最新进展[90]。
第5 章介绍基本的Domain 结构和连续格理论。Domain 理论由图灵奖得主D.S. Scott 于20 世纪70 年代开创[72，73]，来源于两个不同的背景: 一个是理论计算机中的函数式语言的研究；另一个是纯数学方面的研究。在理论计算机科学的语义学特别是指称语义学的研究中，基本思想是在输入集和输出集上基于所含信息量的多少赋予序结构，构成定向完备偏序集；而作为程序的映射则是Scott 连续映射，Scott 拓扑恰是使得映射的Scott 连续性和拓扑连续性等价的那个拓扑结构。在纯数学方面，20 世纪70 年代中期，J.D. Lawson，K.H. Hofmann 和A.R. Stralka等人发现，连续格等价于紧的Lawson 交半格，从而可以从拓扑代数的角度研究Domain 理论[34，45]。1980 年，Scott 等6 位作者共同撰写了Domain 理论的第一部专著A Compendium of Continuous Lattices，2003 年再版的Continuous Lattices and Domains 一书将后来20 多年的许多研究成果收入其中。J. Goubault-Larrecq 的专著Non-Hausdorff Topology and Domain Theory 以广义度量空间为基本结构对Domain 理论进行了专题式研究[26]。现如今，Domain 理论已被广泛应用到拓扑学、逻辑学、积分理论、动力系统等研究领域中。
第6 章全面讲述完全分配格及等价刻画。完全分配格是集代数特征、序特征和拓扑特征于一体的一种数学结构。其早期研究主要集中在代数结构和序结构方面[4，64-66]，后来随着Domain 理论的兴起，人们发现完全分配格实际上是连续dcpo 上的Scott 拓扑的开集格[33，46]，再后来王国俊先生更是把完全分配格当作一种特殊的无点化的拓扑结构，直接将它作为研究对象，创立了拓扑分子格理论[83]。另外，在模糊数学中，完全分配格通常被选作赋值格[48，82]，它在一些概念的表述过程和一些结论的证明方法中所起的作用类似于单位区间[0，1]，因此以[0，1] 为赋值格的模糊数学结构的相关内容和结论大多可以被推广到以完全分配格为赋值格的框架下。本章讲述完全分配格的基本概念和各种刻画方法，包括三角小于刻画、极小集刻画、Domain 式刻画、拓扑式刻画和关系型刻画等。
第7 章介绍模糊逻辑的公共代数结构——剩余格。剩余格是由M. Ward 和R.P. Dilworth 在1939 年为研究交换环的理想格而引入的一种代数结构[86]，它是子结构命题逻辑的语义代数[20]。模糊逻辑的语义代数，如MTL-代数、BL-代数、MV-代数、R0-代数和Heyting 代数等都是特殊的剩余格。关于剩余格的名称在很多文献中不太统一，本书指最狭义的剩余格，即有界的整的交换的剩余格。剩余格和完备剩余格因其完善的逻辑背景和丰富的演算能力，被广泛应用到模糊数学等相关领域的研究中。本章介绍剩余格基本理论及MTL-代数、可除剩余格、正则剩余格和MV-代数等特殊剩余格。
本书中常有一些结论被“显然”和“容易证明”等词一笔带过，主要目的是要给读者留下发挥的空间。但我们也建议读者将更多的精力放在这些地方，不要轻易“放过”它们，同时争取把每章后面的习题都做一遍。如此，会收到非同一般的学习效果.
本书的成稿离不开作者学习和科研道路上的三位导师: 陕西师范大学李生刚教授、赵彬教授、北京理工大学史福贵教授，特别是2002 年赵彬教授在担任副校长期间，百忙之中每周抽出固定时间系统地完整地讲授了格论和Domain 理论，引领作者进入了这绚丽多彩的格论世界。特别感谢新加坡南洋理工大学赵东升教授为本书作序，为本书增色添彩。本书写作过程中得到了湖南大学李庆国教授、扬州大学徐罗山教授、广州大学李海洋教授、中国海洋大学岳跃利教授、盐城师范学院奚小勇教授、北京理工大学庞斌副教授、北京邮电大学沈冲博士、烟台大学王凯博士等的支持和帮助，他们在阅读书稿时提出了很多建设性的意见和建议。本书部分内容作为讲义在河北科技大学和南京信息工程大学格论学习班上讲授过，感谢王荣欣老师、赵蕾老师，博士后石毅，博士生张光旭、吴国俊，硕士生陶久鑫、陈晓庆、陈烨、杨俊、韩新月、孙佳、张亚宁，本科生任蜚白和张珊等，感谢北京理工大学教师和学生团队，他们在学习过程中发现了书稿中的很多错误。特别感谢吴国俊同学详细地通读了全书，指出了书中各种类型的问题。感谢南京信息工程大学数学与统计学院学院办公室宋润琦老师在我们查找和阅读法文材料时给予的帮助。同时也非常感谢清华大学出版社高效而细致的工作。
感谢国家自然科学基金项目(12231007，11871189) 对本书的资助。本书近一半内容是第一作者任职于河北科技大学期间完成的，在此感谢河北科技大学特别是理学院领导、同事和学生多年来的支持与帮助，感谢南京信息工程大学数学与统计学院的领导和同事的支持与鼓励，本书成果可由两校共享。
限于作者的水平，书中的不妥之处乃至谬误在所难免，希望各位专家与读者提出宝贵意见。有任何问题可发送邮件至作者邮箱(①，作者不胜感激。
作者
2022 年1 月
① 摘自[Bourbaki N. Larchitecture des mathématiques， 1948] 的英文版[Bourbaki N. The architecture of mathematics. Amer. Math. Monthly， 1950， 57(4): 221-232]。
② 群的正规子群之集构成模格，见文献[10] 中例4.6（5）。
(
( ① 如诸表示定理中的分配格范畴实际上是指有界分配格和保界格同态构成的范畴，这一点大部分格论著作都没有指出。
( ① yaowei@nuist.edu.cn。
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