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Bender是华盛顿大学圣路易斯分校杰出物理学教授，海德堡大学物理学教授，伦敦帝国理工学院应用数学和数学物理客座教授，伦敦国王学院物理系客座教授和研究员，亚历山大·冯·洪堡研究员。1988年创立PT（宇称时间）对称理论。 目錄： 第Ⅰ部分 对称介绍 第1章 对称性基础 3 1.1 开、闭合对称系统 3 1.2 简单对称矩阵哈密 顿量 6 1.3 对称哈密顿量的实特征方程 8 1.4 经典对称耦合振荡器 9 1.5 实物理理论的复变形 13 1.6 复域中的经典力学 18 1.7 复变形经典谐波振荡器 22 第2章 对称特征值问题 29 2.1 变形特征值问题的例子 30 2.2 变形特征值问题和斯托克斯扇区 34 2.2.1 2.1节示例问题的解决 34 2.2.2 特征值问题的解析变形 37 2.3 4势能的实谱证明 40 2.4 附加的变形特征值问题 43 2.5 特征值的数值计算 53 2.5.1 打靶算法 53 2.5.2 变分方法 54 2.6 特征值的近似解析计算 55 2.7 破缺对称区域的特征值 56 第 3 章 对称量子力学 62 3.1 厄米量子力学 62 3.2 对称量子力学 64 3.3 厄米和对称理论的比较 68 3.4 可观察对象 68 3.5 伪厄米性和准厄米性 69 3.6 模型对称矩阵哈密顿量 70 3.7 计算算子 71 3.8 满足的代数方程 72 3.8.1 的微扰计算 73 3.8.2 其他哈密顿量的计算 74 3.9 将对称映射到厄米哈密顿量 78 第 4 章 对称经典力学 80 4.1 非整数的经典轨迹 80 4.2 一些对称经典动力系统 86 4.2.1 捕猎模型的Lotka-Volterra方程 86 4.2.2 旋转刚体的欧拉方程 88 4.2.3 单摆 90 4.2.4 等谱哈密顿量的经典轨迹 92 4.2.5 更复杂的振荡系统 93 4.3 复概率 94 4.3.1 对称经典随机游走 94 4.3.2 量子力学的概率密度 96 4.4 对称经典场论 98 第 5 章 对称量子场理论 100 5.1 对称量子场论介绍 100 5.2 微扰和非微扰行为 102 5.2.1 三次对称量子场论 102 5.2.2 四次对称量子场论 103 5.2.3 零维对称场论 104 5.2.4 对称理论的鞍点分析 106 5.3 非零单点格林函数 108 5.3.1 Dyson-Schwinger方程的推导 109 5.3.2 Dyson-Schwinger方程的截断 111 5.4 三次对称场论的 算子 112 5.4.1 量子场论 112 5.4.2 其他三次量子场论 114 5.5 对称四分势中的束缚态 115 5.6 Lee模型 117 5.7 其他对称量子场论 121 5.7.1 标准模型的希格斯扇区 121 5.7.2 对称量子电动力学 122 5.7.3 双对称量子场论 123 5.7.4 引力和宇宙对称 理论 126 5.7.5 双标度极限 126 5.7.6 费米子理论的基本性质 127 第Ⅱ部分 对称性中的高级主题 第 6 章 一些简单的实证 131 6.1 斯托克斯现象 131 6.2 函数关系 134 6.3 实践证明 138 6.4 通用三次振荡器 140 6.5 广义Bender-Boettcher哈密顿量 146 6.6 广义问题的实域 148 6.7 准精确可解模型 155 6.8 结束语 164 第 7 章 完全可解的对称模型 165 7.1 完全可解的势 165 7.2 产生实可解势 166 7.2.1 方法一：变量变换 166 7.2.2 方法二：超对称量子力学 167 7.3 完全可解势的类型 169 7.3.1 Natanzon势和Natanzon合并势 169 7.3.2 形状不变势 170 7.3.3 超Natanzon类：更通用 172 7.3.4 超Natanzon类：其他函数 173 7.3.5 其他类型的可解势 174 7.4 对称势 174 7.4.1 构造对称势 174 7.4.2 能谱与对称性破缺 175 7.4.3 内积、伪范数和算子 176 7.4.4 SUSYQM和对称性 176 7.4.5 对称势中的散射 177 7.5 可解对称势示例 177 7.5.1 形状不变势 177 7.5.2 Natanzon势示例 183 7.5.3 SUSY变换产生的势 186 7.5.4 采用其他函数 求解势 188 7.5.5 更多可解势和延拓 191 第 8 章 Krein空间理论和PTQM 193 8.1 简介 193 8.2 术语和符号 196 8.3 Krein空间理论的要素 198 8.3.1 定义和基本属性 198 8.3.2 算子的定义 203 8.3.3 有界和无界算子 205 8.3.4 具有对称性的线性算子 205 8.3.5 对称和厄米算子 206 8.3.6 厄米算子的对称性 209 8.3.7 有界算子和Riccati方程 210 8.4 具有完整特征向量集的对称算子 212 8.4.1 预备知识：最佳选择问题 212 8.4.2 特征向量的Riesz基 213 8.4.3 特征向量的 Schauder基 214 8.4.4 完整的特征向量集和 准基 215 8.5 对称性 217 8.5.1 对称算子 217 8.5.2 具有对称性的对称算子 221 第 9 章 非线性可积系统的对称变形 223 9.1 经典可积系统的基础 224 9.1.1 等谱变形法 224 9.1.2 Painlevé检验 228 9.1.3 变换方法 229 9.2 非线性波动方程的变形 232 9.2.1 变形超对称方程 234 9.2.2 变形Burgers方程 235 9.2.3 变形的KdV方程 236 9.2.4 变形紧支方程 236 9.2.5 变形超对称方程 237 9.3 变形非线性波动方程的性质 237 9.3.1 变形Burgers方程的Painlevé检验 238 9.3.2 变形KdV方程的Painlevé步骤 240 9.3.3 守恒量 242 9.3.4 变形非线性方程组的解 243 9.3.5 从波动方程到量子力学 251 9.4 变形的Calogero-Moser-Sutherland模型 251 9.4.1 扩展的Calogero-Moser-Sutherland模型 252 9.4.2 场到粒子 253 9.4.3 变形的Calogero- Moser-Sutherland 模型 254 第 10 章 光学中的对称性 259 10.1 近轴近似 259 10.2 首次应用 261 10.3 更简单的系统：耦合 波导 264 10.4 单向隐身 267 10.4.1 耦合模式近似 268 10.4.2 散射系数的 解析解 268 10.4.3 Wronskians和伪幺正性 270 10.4.4 传递矩阵 271 10.5 激光器 274 10.6 量子力学和光学中的 超对称 277 10.7 离散系统中的 波传播 279 10.7.1 无限系统中的传播 280 10.7.2 有限系统：二聚体、三聚体、四聚体 281 10.8 光孤子 283 10.9 隐形、超材料和超 表面 284 10.9.1 单向隐形斗篷 285 10.9.2 超表面伪装 286 10.10 结论 288 参考文献 289 內容試閱： 致 谢 知识的目的是认识存在的事物及其对认识事物的作用。 ——PlaTo 非常感谢许多同事为促进对称领域发展所做的贡献，感谢朋友和合作者就本书的编写提出的意见与建议。 特别感谢我们的同事，他们辛勤而慷慨地组织了许多关于对称的会议和专题讨论会。这些会议有助于吸引广大科学界人士的注意力，并激励他们在这一物理学新领域进行研究。特别感谢M. Znojil，他是第一个在对称研究刚刚起步时组织会议的人。 特别感谢Jessie不知疲倦、坚持不懈和认真的编辑工作。 本书也是为了纪念Boris Samsonov所著，他是该领域早期的贡献者之一。 作 者 简 介 Carl M. Bender是圣路易斯华盛顿大学的Konneker杰出物理学教授，也是2017年由美国物理学会和美国物理联合会颁发的Dannie Heineman数学物理学奖的获得者。他是Sloan、Guggenheim、Fulbright、Lady Davis、Rockefeller、Leverhulme和Ulam的研究员，也是美国物理学会和伦敦国王学院的研究员。他与S. Orszag合著的Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers (斯普林格出版)成为科学家和工程师的实用工具。他获得哈佛大学博士学位。 贡献者简介 Patrick E. Dorey在英国剑桥和达勒姆学习。在巴黎和CERN获博士学位后，回到达勒姆担任讲师，此后(除了偶尔的休假)一直在那儿。他的主要研究是1 1维的完全可解(可积)量子场理论，ODE/IM相关研究激起了他对对称的兴趣。他在本书的第6章中进行了阐述。 Clare Dunning是肯特大学应用数学专业的Reader，本科毕业于CERN，在杜伦大学获得数学物理学博士学位。数学作为她在巴斯大学攻读学士学位期间学习的部分内容，激发了她对研究的兴趣。在来肯特大学之前，她曾在约克大学和昆士兰大学学习。 Andreas Fring在慕尼黑工业大学和伦敦大学学习物理学，并于 1992年在伦敦帝国理工学院获得理论物理学博士学位。他于2004年加入伦敦城市大学数学系，2005年晋升为Reader，2008年晋升为数学物理学教授。在加入伦敦城市大学之前，他在圣保罗大学和威尔士大学做博士后。1994—2004年，他在柏林自由大学物理系做研究员。 Daniel W. Hook是Digital Science的首席执行官，Digital Science公司主要投资支持研究的软件。他于2007年在伦敦帝国理工学院师从Dorje C. Brody，获得量子统计物理学博士学位。自2005年以来，他与Carl M. Bender合作研究对称性和经典力学系统的复扩展。 Hugh F. Jones已从伦敦帝国理工学院物理系退休，获“杰出研究员”的荣誉。他在粒子物理学和量子场论方面发表了一百多篇论文，是群论教材、重构学和物理学(泰勒和弗朗西斯)领域著名的学者。近年来，他积极参与了对称性理论的研究，特别是在经典光学中的应用。 Sergii Kuzhel，博士，波兰克拉科夫AGH科技大学应用数学系教授。他在乌克兰NAS数学研究所获得数学博士后(资格)，并在那里工作了很多年。他的研究兴趣包括克林空间理论、对称量子力学和散射理论(Lax-Phillips方法)的数学基础。 Géza Lévai拥有德布勒森大学(匈牙利)的博士学位，并在同一城市的核研究所(Atomki)任职。他凭借奖学金成为牛津大学的访问学者，并且是耶鲁大学的富布赖特研究员。他专注于量子力学和核结构理论中基于对称的模型，特别关注完全可解决的问题。作为科学顾问，他目前是Atomki的副主任。 Roberto Tateo是意大利都灵大学的物理学教授。他主要研究可积模型及其在AdS/CFT对偶中的应用。他于1994年在F. Gliozzi教授的指导下获得物理学博士学位。他曾在阿姆斯特丹大学、达勒姆大学做博士后，并在巴黎萨克雷大学理论物理系法国国家原子能研究所(CEA)工作。 前 言 质疑是知识的必要工具。 ——Paul Tillich 哈密顿量对称的条件是因为其厄米性。对称而非厄米的哈密顿量可以描述真实物理系统，这些对称系统显示出丰富的奇异特征和表征，并且此类系统通常不需要丰富、复杂的知识即可理解。它们提供了在理论和实验层面研究与探索新奇、有趣的物理理论的机会。自1998年以来，对非厄米对称系统的研究急剧增加。在撰写本书时，已发表3500多篇关于对称性的论文，并且论文已提交给arXiv(原创收录网站)的20多个类别，已经召开了40多个专门讨论对称性的国际会议和专题讨论会。 对称性指的是时空反射对称性。该术语首次出现在文献[78]中，但文献[222]的早期研究中预测了背后的一些思想[167-169， 176， 284-285]。 1992年夏天，我在萨克雷第一次接触对称哈密顿量。在一次非正式讨论中，D. Bessis告诉我，他和Zinn-Justin讨论了与Yang-Lee边缘奇点相关的共形场论的量子力学模拟。该量子力学理论由特殊的非厄米哈密顿量定义。令我惊讶的是，在数值工作的基础上，他们相信的某些(甚至全部)特征值可能是实数[154]。有趣的是，我们不知道的特征值的实数性质，而该结论早在12年前就已经在 Reggeon场论的量子力学类似研究中被发现[284]。与此同时，Caliceit研究了与三次哈密顿量相关的微扰展开的数学性质[169]。 如果不是之前我对两个主题的研究，我永远不会研究对称性。首先，我与Wu、Banks、Turbiner等人合作，研究了特征值问题的解析延拓，即作为复耦合常数函数的特征值。这项工作解释了扰动扩展的发散性，并提出了对发散级数求和的方法。其次，与Jones、Moshe及其他人合作时，我提出了delta展开，这是一种解决非线性问题的微扰方法，其中研究了实微扰参数衡量问题的非线性程度，而不是比耦合强度。例如，使用delta展开来求解 Thomas-Fermi方程，考虑问题，为了求解四次标量量子场论，视作场论，然后寻找幂的扰动序列。这种非常规扰动过程很容易求解，并且能够保证数值精度[139]。 1997年，我意识到哈密顿量不是厄米的，但它是不变的。也就是说，它在→-和→-时保持不变。传统微扰展开式的一个缺点是，它可能违反哈密顿量的不变性(如规范不变性)。然而，通过遵循delta展开，并考虑哈密顿量，其中是实数，对于所有，哈密顿量的不变性被保留了。令我惊讶的是，Boettcher和我发现，随着幂的逐级增加，这个哈密顿量的特征值仍然是实数。从此，我开始正式研究对称性。 对对称系统的最初研究是在数学领域。这项研究利用了复变量理论、微分方程和渐近法。然而，自2009年以来，光学领域出现了大量的研究，也有少部分研究出现在其他领域。一些开创性的光学研究在Nature Photonics的特刊中进行了介绍[225， 237， 449， 382， 295， 238]。还对以下方面进行了深入研究：对称光子晶格和石墨烯[509， 456， 538， 529， 328， 181， 537]，对称激光器、相干完美吸收器和单向不可见性[187， 59， 296， 534， 308]，对称超材料[455， 27， 26， 529]，对称声学[193]，对称拓扑绝缘体[243]，对称量子临界现象[43]，以及对称激子和极化子[257]。 这项实验工作使与对称性相关的理论概念更加清晰和易于解释。此外，它还引发了对具有显著实际应用价值的新型超材料和设备的开发研究，例如增强传感[185]和无线能量传输[44]。 为了发现对称性和厄米性之间的区别，我们观察到，除了传统厄米量子理论的一个公理外，所有公理都可以用物理学语言表达(因果关系、局域性、洛伦兹不变性、真空态稳定性等)。然而，一个公理与其他公理的显著区别在于，它是用数学语言表达的。这要求哈密顿量是厄米的。用基本的术语来解释，这个公理指出哈密顿矩阵在厄米共轭时间下保持不变，，其中表示组合矩阵转置和复共轭。 虽然厄米共轭听起来更像是数学要求而不是物理要求，但厄米性公理具有重要的物理结果。它保证哈密顿量的特征值都是实数，这很重要，因为对物理系统能量的测量将返回描述该系统的哈密顿量的特征值之一，而这样的测量必须有一个实结果。为了证明厄米哈密顿量的特征值是实数，我们取特征值方程的厄米共轭，并将右边的方程乘以。结果如下： 这意味着特征值是实数。此外，厄米哈密顿量产生幺正时间演化，这意味着量子概率在时间上是恒定的。在封闭系统中，对于随时间变化状态的规范(量子概率)，在物理上是不可接受的。为了在由厄米哈密顿量描述的系统中看到状态的范数在时间上是守恒的，我们规定。因此， 厄米性条件足以保证能谱的实性和概率守恒，但不是必需的。在本书中，我们用一个更弱、更物理的条件来代替厄米性的要求，即对称性(组合时空反射对称性)。因此，对称性是，如果空间被反射并且时间被反转，则物理系统保持不变。与厄米共轭不同，空间反射和时间反转??是物理概念。事实上，和??是洛伦兹群的元素。我们将看到对称哈密顿量具有特别简单的物理解释，它代表了一个与环境相关的非孤立物理系统，这种方式使对环境的损失和从环境中获得的增益保持平衡。 时空反射对称性的要求弱于厄米性条件，但本书中表明，对称哈密顿量仍然可以具有实数的、正的特征值，并且即使它们不是厄米性，也可以产生幺正时间演化。因此，人们可以将新型的哈密顿量视为对物理系统的描述。这些新的哈密顿量中的某些是复的，可以将这些??对称系统视为厄米哈密顿量的复变形或拓展。 本书不是评论或专著，而是介绍性著作，目的是让新研究人员熟悉??对称性的基本思想和概念。本书分为两部分，第Ⅰ部分对??对称性的基本原理进行了广泛而基本的阐述；第Ⅱ部分由该领域的专家对5个选定领域进行了更深入的介绍。 Carl M. Bender 美国圣路易斯，2018

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