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国家地理万物皆数学系列丛书将引导您思考数学如何塑造我们的世界，向您介绍趣味而广泛的数学话题，并清晰地叙述其来龙去脉、应用场景和相关知识。系列中的每本书都经过特别的委托与要求，在科普名家的笔下，深奥的数学理论灵动起来，以一种平易近人的风格和无比开阔的视野，栩栩如生地呈现。 从远古时代到当今的数字世界，8本书都各自侧重于作者所擅长的数学议题。源自生活的解读和充满智性的论点让文本易于理解，在下午茶时间，不妨以一本数学小书慰藉匆忙的生活。除了精心撰写的内容，丛书独特的引文设置回溯了数学领域众多关键词与人事物的历史，讲述了动人心魄的曲折故事。要想深入了解数学如何成为日常生活的一部分，万物皆数学系列丛书不可或缺。 -------- 万物皆数学科普丛书Everything is Mathematical 1、数学家、间谍与黑客：密码与解码 Mathematicians, Spies and Hackers： coding and cryptography ［西］琼戈麦斯（Joan Gmez）著 于秀秀 译 2、黄金比例：用数学打造完mei The Golden Ratio：The mathematical language of beauty ［西］尔南多科尔瓦兰（Fernando Corbalan）著 张鑫 译 3、数学星球：人类文明与数学 Planet Mathematics： a numerical journey around the world ［西］米克尔阿尔贝蒂（Miquel Albert）著 卢娟 译 4、丈量世界：时间、空间与数学 Getting the Measure of the World： calendars, longitudes and mathematics ［西］约兰达格瓦拉（Iolanda Guevara）卡尔斯普伊格（Carles Puig）著 孙珊珊 译 5、数学与决策：数学教你做决定 When Mathematics goes to the Polls： decision processes ［西］维森斯托拉（Vicen Torra）著 吕红艳 译 6、感官的盛宴：数学之眼看艺术 Playing with the Senses： Art through Mathematical Eyes ［西］弗朗西斯科马丁卡萨尔德雷（Francisco Martn Casalderrey）著 满易 译 7、的秘密：关于圆的一切 Secrets of the Number ： Why is it impossible to square the circle? ［西］华金纳瓦罗（Joaqun Navarro）著 李海亭 译 8、博弈论：决策制胜的法则 Prisoners with Dilemmas and Dominant Strategies： game theory ［西］乔迪德罗夫（Jordi Deulofeu）著 谭莹 译 關於作者： 费尔南多科尔瓦兰（Fernando Corbalan），西班牙萨拉戈萨大科维安研究所的数学教授， 虚拟传播数学中心副主任，负责阿拉贡政府重要的数学教育计划。主要研究数学、概率论，教育学，致力于数学普及教育工作。著作有：《日常生活中的数学》《超征服机会：概率论》《附近的们：数学是什么》等书。 目錄： 前言 i 第一章 黄金比例 1 第二章 黄金矩形 53 第三章 黄金比例与五边形 81 第四章 美感与艺术的完美追求 119 第五章 黄金比例与自然 167 附录 195 参考文献 213 在线试读前 言 在这之中有一个特别有意思的数字，它就是1.6180339887， 可以简化为1.61 或0.618。事实证明，它的名气大过 和e，让更多的杰出人物为之着迷。人们怀着敬畏之心为它取了如黄金数（golden number）、超越比例（transcendental ratio）、神圣之数（divine number）、神圣比例（divine ratio）等一连串名字 而我们通常把它称为黄金比例（golden ratio），用希腊字母 （phi）表示。黄金比例在数学领域有着特殊的地位，它的数字性质奇妙无比，与自然和人类的造物都有着某些未知的联系。作为万物皆数学系列丛书之一，本书愿意引领读者走进黄金比例的奇妙世界，成为读者手中的旅行指南。 本书将审视从古至今存在于科学、艺术中数不胜数的黄金比例，还有它在动植物形态学（研究事物形状和形态的学科） 中发挥的重要作用。一旦对黄金比例有了一定认识，我们就能够深入发掘它的奇特之处。这趟旅程以欧几里得的《几何原本》（历史上最畅销的科学书籍）为起点，途经文艺复兴时期佛罗伦萨热闹的街头，与当时最为杰出的列奥纳多达芬奇碰面。 黄金比例的奇妙在于它能够将自身的优美赋予各种各样的图形，从三角形到拥有二十个面的几何体（二十面体）都是它的杰作。但是在那令人敬畏的名称背后，黄金比例其实就隐藏在常见的几何物体中，比如生活中随处可见的信用卡和五角星。所谓的黄金矩形是指邻边之比恰好符合黄金比例的矩形， 而信用卡就是这样的矩形。a 如果黄金矩形无处不在，那么螺线或五角星又有什么特别之处？答案是二者都与黄金比例有着密切的联系，并且经常出现在建筑、镶嵌艺术甚至是棋盘游戏中。 然而黄金比例最令人惊讶的是它与抽象概念之间的联系。举例来说，我们认为它象征着优雅与完美，而这一点已经众所周知。在这场令人神往的旅行中，陪伴我们的都是顶级向导， 达芬奇、勒柯布西耶以及其他大师级的人物，他们都钟情于黄金比例那纯粹的和谐。如果我们厌倦了人类的发明创造， 不妨将目光转向身边的大自然，置身其中同样可以发现黄金比例，许多生物都是按照黄金比例生长的。最近才为数学家所了解的分形（fractal）理论也展现出了与黄金比例有关的特性。 在漫长旅程的最后，我会为你奉上数学专著的节选，相信这些专业书籍会带你更加深入地探索黄金比例的世界。 第五章 黄金比例与自然前 言 现在，我们的世界比过去任何时候都依赖数字，某些数字甚至拥有专属名称，比如圆周率、自然常数e 等等。 在这之中有一个特别有意思的数字，它就是1.6180339887， 可以简化为1.61 或0.618。事实证明，它的名气大过 和e，让更多的杰出人物为之着迷。人们怀着敬畏之心为它取了如黄金数（golden number）、超越比例（transcendental ratio）、神圣之数（divine number）、神圣比例（divine ratio）等一连串名字 而我们通常把它称为黄金比例（golden ratio），用希腊字母 （phi）表示。黄金比例在数学领域有着特殊的地位，它的数字性质奇妙无比，与自然和人类的造物都有着某些未知的联系。作为万物皆数学系列丛书之一，本书愿意引领读者走进黄金比例的奇妙世界，成为读者手中的旅行指南。 本书将审视从古至今存在于科学、艺术中数不胜数的黄金比例，还有它在动植物形态学（研究事物形状和形态的学科） 中发挥的重要作用。一旦对黄金比例有了一定认识，我们就能够深入发掘它的奇特之处。这趟旅程以欧几里得的《几何原本》（历史上最畅销的科学书籍）为起点，途经文艺复兴时期佛罗伦萨热闹的街头，与当时最为杰出的列奥纳多达芬奇碰面。 黄金比例的奇妙在于它能够将自身的优美赋予各种各样的图形，从三角形到拥有二十个面的几何体（二十面体）都是它的杰作。但是在那令人敬畏的名称背后，黄金比例其实就隐藏在常见的几何物体中，比如生活中随处可见的信用卡和五角星。所谓的黄金矩形是指邻边之比恰好符合黄金比例的矩形， 而信用卡就是这样的矩形。a 如果黄金矩形无处不在，那么螺线或五角星又有什么特别之处？答案是二者都与黄金比例有着密切的联系，并且经常出现在建筑、镶嵌艺术甚至是棋盘游戏中。 然而黄金比例最令人惊讶的是它与抽象概念之间的联系。举例来说，我们认为它象征着优雅与完美，而这一点已经众所周知。在这场令人神往的旅行中，陪伴我们的都是顶级向导， 达芬奇、勒柯布西耶以及其他大师级的人物，他们都钟情于黄金比例那纯粹的和谐。如果我们厌倦了人类的发明创造， 不妨将目光转向身边的大自然，置身其中同样可以发现黄金比例，许多生物都是按照黄金比例生长的。最近才为数学家所了解的分形（fractal）理论也展现出了与黄金比例有关的特性。 在漫长旅程的最后，我会为你奉上数学专著的节选，相信这些专业书籍会带你更加深入地探索黄金比例的世界。 第五章 黄金比例与自然 请你在脑海中想象出一个非常简单的矩形。它如何在形状不变的情况下增大？常识告诉我们，整个矩形必须均匀地增大，也就是说，在所有的方向上都以相同的比例增大。这就好像矩形的每条边都是有弹性的，一点一点地被小心拉长。矩形的自然增大意味着各边以相同的速度变长，这种假设好像符合逻辑，但这样会导致临边之比发生改变，增大的矩形也会因此失去原有的形状。 生长形态 我们在第二章中已经证明，在黄金矩形的长边一侧增加一个边长与之相等的正方形，这样就得到了另一个黄金矩形。因为所有黄金矩形的临边之比相同（都等于），所以它的尺寸增大但形状保持不变。同理，我们从黄金矩形中去掉一个正方形后得到的还是黄金矩形。由此可以确定黄金矩形的磬折形是正方形。只有黄金矩形才具有这一性质。因此要想保持形状不变，可以使用黄金比例来改变事物的大小。我们可以通过观察生物的生长来进行验证，这一性质在植物身上尤为明显。 为了理解保持形状究竟是什么意思，首先请思考一下人类。随着我们的成长，人体的比例是否会一直不变？答案肯定是不会。应该说人类的成长是一个身体比例不断变化的过程。虽然这并没有什么大不了，但随着年龄的增长，身体比例发生变化是一件好事。如果我们的身体比例从出生时就保持不变，那么要想让头部直立起来都会非常困难。 从另一方面我们也看到，黄金螺线在旋转增大的过程中与其他螺线有着本质上的区别。苏格兰的生物学家达西汤普森（18601948）被认为是首位生物数学家。他指出，在不改变整体外形的情况下，某些生物的生长方式具有对数螺线的特点，与其他数学曲线没有任何关系：对于任何从固定极点出发的平面曲线来说，两条极线与该曲线会围成一个以极点为顶点、不断增大的扇形，如果这个扇形的磬折形总是它的前一个扇形，那么这种曲线就是对数螺线。 昆虫会沿着黄金螺线的轨迹接近光源。如果我们希望在靠近而不是远离固定点的过程中保持转向的角度不变，那么我们只能按照黄金螺线的轨迹行走。猛禽在扑向猎物时也保持着这种轨迹，只有这样它们才能保持头部抬起，在最大加速过程中让猎物一直出现在视野的相同位置。 生物的黄金比例 达芬奇通过《维特鲁威人》做出假设，认为动物世界中充满黄金比例。从那时起，人们在艺术、科学领域对人体不同的部位与黄金比例之间的关系进行了大量的研究。然而人体尺寸在中世纪就已经用作度量的标准。法国各个大教堂的建造者都使用一种由五个活节连杆组成的测量工具，五节的长度分别表示掌宽、小指尖到食指尖的最大距离指距、小指尖到拇指尖的最大距离手距、脚长以及肘部到指尖的距离肘长。 所有这些长度都是一个更小单位的倍数，人们称其为法分（等于1 12 法寸），略小于2.5 毫米（更准确的数值为2.247 毫米）。下表是转换为公制单位后的计量长度。我们可以看到，第二列中的数字是斐波那契数列的连续项，因此相邻长度之间的比为黄金比例。这越发地不可思议，因为人们一开始是将任意选取的人体部位作为计量单位的。 叶序与黄金比例 Phyllotaxis（叶序）是由希腊词语phyllo（叶子）和taxis（顺序）组成。叶序这个词源自植物学领域，研究的是叶在植物茎上的排列方式。我们下面就会看到，叶序似乎遵循着几何与数字原理。通过对叶序的研究，人们已经发现了某些惊人的自然生长系统，这些系统似乎完全符合某些数学特点。 我们首先会看到，植物的叶子从来不会重叠生长。如果重叠生长，某些叶子就会遮住其他叶子所需要的阳光。为了避免这种情况，叶子需要特定的生长方式。通过详细的分析，人们已经可以从数学的角度对这种生长方式加以描述。 达芬奇首先揭示了叶子生长的关键原理。这位伟大的天才意识到叶子沿着茎干以螺线状排列，每五片为一组完成一个生长循环，这说明五片叶子的总旋转角度是1 5 的倍数。后来，开普勒观察到花朵通常是五边形、有五片花瓣，水果籽也经常排列为五角星形，比如常见的苹果。 19 世纪，多亏了德国博物学家卡尔申佩尔（1803 1867）和法国晶体学家奥古斯特布拉维（18111863），数学和叶序才开始被联系到一起。两人都注意到，松果的鳞片数量是斐波那契数列中的连续项。他们的研究表明，决定叶序排列方式的因素可以通过斐波那契数列相邻项的比值来表示。 从那以后，斐波那契数列和植物学就结合在了一起。1968 年，美国数学家艾尔雷德布罗索研究了10 种加利福尼亚松树的4 290 颗松果并证明，仅有74 颗松果为特例，其余的全部符合斐波那契数列。样本的符合率为98.3％。经过相当长的一段时间后，科学界对此提出质疑并在1992 年又重复了这项实验。这种事情经常发生。加拿大植物学家罗歇V. 让扩大了研究范围，他观察了650 种松树的12 750 颗松果。这一次有92% 的样本符合斐波那契数列。 大部分高茎植物的叶子以螺线状分布，而且大都遵循着一种特定的分散规律，这种规律可见于所有植物物种，即两片连续的叶子构成的角度不变，我们将其称为发散角。发散角既可以用度数表示，也可以用分数表示，其中分子是从茎上的一片叶子到它上面相同位置的叶子旋转的圈数，分母是在这两片叶子之间沿螺线生长的叶子总数。 在斐波那契数列中，某一项与它之后的第二项的比，即an an 2 组成了申佩尔布劳恩级数，它根据叶子不同的分散角度对许多物种进行了分类。如果我们还记斐波那契数列中两个连续项，即an 1 an 的比值不断趋近于黄金比例，那么就可以说申佩尔布劳恩级数的比值不断趋近于1 2。数学证明如下： 真正的难题是植物如何知道它们必须按照斐波那契数列排列叶子。下面告诉你答案。植物的茎上有一个圆锥形的生长点。我们从植物上方观察就会发现，最先长出的叶子通常以茎为中心向外伸展。布拉维发现，每片新叶与上一片叶子的角度大约为137.5。通过计算（360是一整圈），我们得到了137.5角，有时人们把这个角称为黄金角。 1984年，由N里维耶率领的一组科学家反其道而行之，通过数学来研究植物学。他们发现，让葵花籽的生长角度等于黄金角，用数学算法得到的向日葵花盘会与真实的排列结构相似。里维耶的结论很有意思：由于生物需要同质性和相似的结构，因而大大限制了它们可能的生长形态。反过来，这条结论也可以解释为什么斐波那契数列和黄金比例会频繁地出现在叶序中。其他与磁场有关的实验也在其中发现了黄金螺线状的结构。 內容試閱： 前 言 现在，我们的世界比过去任何时候都依赖数字，某些数字甚至拥有专属名称，比如圆周率π、自然常数e 等等。 在这之中有一个特别有意思的数字，它就是1.6180339887， 可以简化为1.61 或0.618。事实证明，它的名气大过π 和e，让更多的杰出人物为之着迷。人们怀着敬畏之心为它取了如黄金数（golden number）、超越比例（transcendental ratio）、神圣之数（divine number）、神圣比例（divine ratio）等一连串名字…… 而我们通常把它称为黄金比例（golden ratio），用希腊字母Φ （phi）表示。黄金比例在数学领域有着特殊的地位，它的数字性质奇妙无比，与自然和人类的造物都有着某些未知的联系。作为“万物皆数学”系列丛书之一，本书愿意引领读者走进黄金比例的奇妙世界，成为读者手中的“旅行指南”。 本书将审视从古至今存在于科学、艺术中数不胜数的黄金比例，还有它在动植物形态学（研究事物形状和形态的学科） 中发挥的重要作用。一旦对黄金比例有了一定认识，我们就能够深入发掘它的奇特之处。这趟旅程以欧几里得的《几何原本》（历畅销的科学书籍）为起点，途经文艺复兴时期佛罗伦萨热闹的街头，与当时为杰出的列奥纳多·达·芬奇碰面。 黄金比例的奇妙在于它能够将自身的优美赋予各种各样的图形，从三角形到拥有二十个面的几何体（二十面体）都是它的杰作。但是在那令人敬畏的名称背后，黄金比例其实就隐藏在常见的几何物体中，比如生活中随处可见的信用卡和五角星。所谓的“黄金矩形”是指邻边之比恰好符合黄金比例的矩形， 而信用卡就是这样的矩形。a 如果黄金矩形无处不在，那么螺线或五角星又有什么特别之处？答案是二者都与黄金比例有着密切的联系，并且经常出现在建筑、镶嵌艺术甚至是棋盘游戏中。 然而黄金比例令人惊讶的是它与抽象概念之间的联系。举例来说，我们认为它象征着优雅与完美，而这一点已经众所周知。在这场令人神往的旅行中，陪伴我们的都是向导， 达·芬奇、勒·柯布西耶以及其他大师级的人物，他们都钟情于黄金比例那纯粹的和谐。如果我们厌倦了人类的发明创造， 不妨将目光转向身边的大自然，置身其中同样可以发现黄金比例，许多生物都是按照黄金比例生长的。近才为数学家所了解的分形（fractal）理论也展现出了与黄金比例有关的特性。 在漫长旅程的后，我会为你奉上数学专著的节选，相信这些专业书籍会带你更加深入地探索黄金比例的世界。 第五章 黄金比例与自然 请你在脑海中想象出一个非常简单的矩形。它如何在形状不变的情况下增大？常识告诉我们，整个矩形必须均匀地增大，也就是说，在所有的方向上都以相同的比例增大。这就好像矩形的每条边都是有弹性的，一点一点地被小心拉长。矩形的自然增大意味着各边以相同的速度变长，这种假设好像符合逻辑，但这样会导致临边之比发生改变，增大的矩形也会因此失去原有的形状。 生长形态 我们在第二章中已经证明，在黄金矩形的长边一侧增加一个边长与之相等的正方形，这样就得到了另一个黄金矩形。因为所有黄金矩形的临边之比相同（都等于Φ），所以它的尺寸增大但形状保持不变。同理，我们从黄金矩形中去掉一个正方形后得到的还是黄金矩形。由此可以确定黄金矩形的磬折形是正方形。只有黄金矩形才具有这一性质。因此要想保持形状不变，可以使用黄金比例来改变事物的大小。我们可以通过观察生物的生长来进行验证，这一性质在植物身上尤为明显。 为了理解“保持形状”究竟是什么意思，首先请思考一下人类。随着我们的成长，人体的比例是否会一直不变？答案肯定是不会。应该说人类的成长是一个身体比例不断变化的过程。虽然这并没有什么大不了，但随着年龄的增长，身体比例发生变化是一件好事。如果我们的身体比例从出生时就保持不变，那么要想让头部直立起来都会非常困难。 从另一方面我们也看到，黄金螺线在旋转增大的过程中与其他螺线有着本质上的区别。苏格兰的生物学家达西·汤普森（1860—1948）被认为是首位“生物数学家”。他指出，在不改变整体外形的情况下，某些生物的生长方式具有对数螺线的特点，与其他数学曲线没有任何关系：“对于任何从固定极点出发的平面曲线来说，两条极线与该曲线会围成一个以极点为顶点、不断增大的扇形，如果这个扇形的磬折形总是它的前一个扇形，那么这种曲线就是对数螺线。” 昆虫会沿着黄金螺线的轨迹接近光源。如果我们希望在靠近而不是远离固定点的过程中保持转向的角度不变，那么我们只能按照黄金螺线的轨迹行走。猛禽在扑向猎物时也保持着这种轨迹，只有这样它们才能保持头部抬起，在加速过程中让猎物一直出现在视野的相同位置。 生物的黄金比例 达·芬奇通过《维特鲁威人》做出假设，认为动物世界中充满黄金比例。从那时起，人们在艺术、科学领域对人体不同的部位与黄金比例之间的关系进行了大量的研究。然而人体尺寸在中世纪就已经用作度量的标准。法国各个大教堂的建造者都使用一种由五个活节连杆组成的测量工具，五节的长度分别表示掌宽、小指尖到食指尖的距离——指距、小指尖到拇指尖的距离—手距、脚长以及肘部到指尖的距离——肘长。 所有这些长度都是一个更小单位的倍数，人们称其为“法分”（等于1 / 12 法寸），略小于2.5 毫米（更准确的数值为2.247 毫米）。下表是转换为公制单位后的计量长度。我们可以看到，第二列中的数字是斐波那契数列的连续项，因此相邻长度之间的比为黄金比例。这越发地不可思议，因为人们一开始是将任意选取的人体部位作为计量单位的。 叶序与黄金比例 “Phyllotaxis”（叶序）是由希腊词语“phyllo”（叶子）和“taxis”（顺序）组成。叶序这个词源自植物学领域，研究的是叶在植物茎上的排列方式。我们下面就会看到，叶序似乎遵循着几何与数字原理。通过对叶序的研究，人们已经发现了某些惊人的自然生长系统，这些系统似乎完全符合某些数学特点。 我们首先会看到，植物的叶子从来不会重叠生长。如果重叠生长，某些叶子就会遮住其他叶子所需要的阳光。为了避免这种情况，叶子需要特定的生长方式。通过详细的分析，人们已经可以从数学的角度对这种生长方式加以描述。 达·芬奇首先揭示了叶子生长的关键原理。这位伟大的天才意识到叶子沿着茎干以螺线状排列，每五片为一组完成一个生长循环，这说明五片叶子的总旋转角度是1 / 5 的倍数。后来，开普勒观察到花朵通常是五边形、有五片花瓣，水果籽也经常排列为五角星形，比如常见的苹果。 19 世纪，多亏了德国博物学家卡尔·申佩尔（1803— 1867）和法国晶体学家奥古斯特·布拉维（1811—1863），数学和叶序才开始被联系到一起。两人都注意到，松果的鳞片数量是斐波那契数列中的连续项。他们的研究表明，决定叶序排列方式的因素可以通过斐波那契数列相邻项的比值来表示。 从那以后，斐波那契数列和植物学就结合在了一起。1968 年，美国数学家艾尔雷德·布罗索研究了10 种加利福尼亚松树的4 290 颗松果并证明，仅有74 颗松果为特例，其余的全部符合斐波那契数列。样本的符合率为98.3％。经过相当长的一段时间后，科学界对此提出质疑并在1992 年又重复了这项实验。这种事情经常发生。加拿大植物学家罗歇·V. 让扩大了研究范围，他观察了650 种松树的12 750 颗松果。这一次有92% 的样本符合斐波那契数列。 大部分高茎植物的叶子以螺线状分布，而且大都遵循着一种特定的分散规律，这种规律可见于所有植物物种，即两片连续的叶子构成的角度不变，我们将其称为“发散角”。发散角既可以用度数表示，也可以用分数表示，其中分子是从茎上的一片叶子到它上面相同位置的叶子旋转的圈数，分母是在这两片叶子之间沿螺线生长的叶子总数。 在斐波那契数列中，某一项与它之后的第二项的比，即an / an 2 组成了申佩尔—布劳恩级数，它根据叶子不同的分散角度对许多物种进行了分类。如果我们还记斐波那契数列中两个连续项，即an 1 / an 的比值不断趋近于黄金比例，那么就可以说申佩尔—布劳恩级数的比值不断趋近于1 / Φ2。数学证明如下： 真正的难题是植物如何“知道”它们必须按照斐波那契数列排列叶子。下面告诉你答案。植物的茎上有一个圆锥形的生长点。我们从植物上方观察就会发现，先长出的叶子通常以茎为中心向外伸展。布拉维发现，每片新叶与上一片叶子的角度大约为137.5°。通过计算（360°是一整圈），我们得到了137.5°角，有时人们把这个角称为黄金角。 1984年，由N·里维耶率领的一组科学家反其道而行之，通过数学来研究植物学。他们发现，让葵花籽的生长角度等于黄金角，用数学算法得到的向日葵花盘会与真实的排列结构相似。里维耶的结论很有意思：由于生物需要同质性和相似的结构，因而大大限制了它们可能的生长形态。反过来，这条结论也可以解释为什么斐波那契数列和黄金比例会频繁地出现在叶序中。其他与磁场有关的实验也在其中发现了黄金螺线状的结构。

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