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| 編輯推薦： |
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为了克服符号计算的高复杂性及中间表达式膨胀问题，在符号计算中引入数值计算方法受到了研究者们的关注。稀疏插值在结式计算上有着重要的应用，在提高符号行列式的计算效率上取得了一定的成效，是一个降低结式计算复杂度的有效方法。
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| 內容簡介： |
《稀疏插值及其在多项式代数中的应用》主要介绍了稀疏插值算法及其在多项式代数中的应用，包括经典的稀疏插值算法和改进算法，以及其在多元多项式方程组求解、多元多项式*公因式计算、组合几何优化问题上的应。
《稀疏插值及其在多项式代数中的应用》是为数学、计算数学和计算机科学专业的高年级本科生和低年级研究生编写的著作，也可供相关专业的学生、教师及科技工作者参考。
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| 關於作者： |
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唐敏，桂林电子科技大学数学与计算科学学院，副教授，硕士生导师
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| 目錄：
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第1章预备知识1
1.1有限域上的多项式运算1
1.1.1模算术1
1.1.2有限域1
1.1.3系数在Zp中的多项式运算1
1.2结式3
1.2.1结式的概念3
1.2.2Sylvester结式6
1.2.3BzoutCayley结式9
1.2.4Dixon结式11
1.2.5结式的应用15
1.3算法时间复杂度分析26
第2章单变元多项式插值28
2.1基本概念和定义28
2.2牛顿插值多项式29
2.3拉格朗日插值多项式31
2.4切比雪夫多项式32
第3章稀疏多元多项式插值34
3.1问题描述34
3.2研究现状36
3.3Zippel算法37
3.3.1Zippel算法的思想37
3.3.2Zippel算法描述38
3.3.3实例39
3.4BenOrTiwari算法42
3.4.1算法思想43
3.4.2算法描述44
3.4.3实例45
3.5JavadiMonagan算法46
3.5.1算法思想46
3.5.2算法实例46
3.5.3数值实验50
第4章改进的稀疏多元多项式插值算法56
4.1改进的Zippel算法56
4.1.1问题定义56
4.1.2算法描述57
4.1.3算法时间复杂度58
4.1.4实例59
4.1.5数值实验60
4.2有限域上改进的稀疏多元多项式插值算法63
4.2.1问题描述63
4.2.2JavadiMonagan算法重述64
4.2.3改进的JavadiMonagan算法65
4.2.4数值实验72
4.2.5应用实例75
4.2.6小结76
4.3一种基于竞争策略的稀疏多元多项式插值算法77
4.3.1算法思想77
4.3.2多元多项式次数集确定方法78
4.3.3基于竞争策略的稀疏多元多项式插值算法80
4.3.4根冲突概率分析83
4.3.5数值实验83
4.4求解稀疏多元多项式插值问题的分治算法87
4.4.1基本设计策略及思想87
4.4.2稀疏多元多项式插值问题的分治算法89
4.4.3数值实验94
4.4.4小结96
第5章稀疏有理函数插值98
5.1研究现状98
5.2问题描述98
5.3单变元有理函数插值99
5.3.1问题描述99
5.3.2单变元有理函数插值算法100
5.3.3算例102
5.4多元有理函数插值103
5.4.1问题描述103
5.4.2多元有理函数插值算法正规化104
5.4.3多元有理函数插值算法一般化105
5.4.4实例108
5.4.5数值实验111
第6章基于稀疏插值的多元多项式最大公因式计算112
6.1研究背景112
6.2准备知识114
6.2.1整数最大公因数114
6.2.2多项式最大公因式115
6.3求解最大公因式的经典方法116
6.31Euclid方法116
6.3.2子结式多项式余式序列方法118
6.3.3模方法119
6.3.4小结121
6.4基于稀疏插值的多元多项式最大公因式计算方法122
6.4.1稀疏最大公因式插值算法122
6.4.2最大公因式齐次多项式稀疏插值算法133
6.4.3程序设计135
6.4.4数值实验138
6.4.5小结141
第7章稀疏插值在组合几何优化问题上的应用143
7.1引例143
7.2结式概述144
7.2.1Sylvester结式144
7.2.2Bzout-Cayley结式145
7.2.3Macaulay多元结式145
7.3隐函数插值146
7.4基于隐函数插值的结式消元法148
7.5隐函数插值在组合几何优化问题上的实例分析149
7.5.1具有共同特性的组合几何优化问题149
7.5.2应用实例150
参考文献158
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| 內容試閱：
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前 言
多项式系统的研究在代数几何、自动几何定理证明、生物制药、CADCAM、CAGD、芯片验证、计算机代数、计算机视觉、机器人和虚拟现实等领域中有着广泛而深远的应用。所有这些都涉及对多项式系统的分析和求解，对于一个多项式系统，求解问题往往归结为消元问题。
结式是消元理论中的一个重要工具。所谓结式，就是一个由原多项式系统的系数所构成的多项式，它等于零的充分必要条件是原多项式系统存在公共零点。正因如此，结式方法的优点，除了它的快速消元能力，还在于它能判定一个多项式系统是否有解。基于结式的消元法被广泛用来求解非线性多项式方程组、微分代数方程组，进行代数和几何推理，广泛应用于自动控制、机器人、信息技术、密码学、卫星轨道控制、医学影像等高新技术领域。如何提高结式的效率一直是国际上结式方面研究的前沿热点，在此方面也有了较多的研究成果，但是由于符号计算固有的计算量大、表达形式复杂等因素仍会导致很多问题计算时间过长甚至失败，所能求解的代数方程组的规模和几何推理的范围仍然有限。
结式消元法不仅是多项式方程组求解的重要研究问题之一，而且对它的研究还有助于一些复杂的组合几何最优化问题的求解。例如著名的Heymann尺规作图问题，说明对几何问题进行推理和证明完全可以转化为对多项式系统的消元，进而通过结式计算完成问题求解。组合几何数学的机械化，因为吴方法和Zeilberger算法的有效结合，在过去十几年得到迅速发展，特别是南开大学陈永川等人在组合恒等式的机械化证明、基本超几何级数公式的机器证明等方面的研究。其基本思想是把一个几何命题化为代数命题（即代数方程组），并进一步将代数方程组消元。这些问题的机械化证明本质上归结为设计能有效克服空间复杂度的符号计算新程序，以处理公式推导中的大数据。
为了克服符号计算的高复杂性及中间表达式膨胀问题，在符号计算中引入数值计算方法受到了研究者们的关注。稀疏插值在结式计算上有着重要的应用，在提高符号行列式的计算效率上取得了一定的成效，是一个降低结式计算复杂度的有效方法。例如，Saxena使用插值法计算Dixon结式的行列式；Manocha利用稀疏多项式插值计算Macaulay矩阵的符号行列式；YFeng使用Zippel的多元概率插值法计算Dixon结式，有效地将符号计算转化为数值计算。
稀疏插值被广泛应用在数学和数值领域及科学和工程领域，比如符号计算、信号处理、图像处理、压缩感知、指数分析、广义特征值问题等。例如，对于目标函数fx=1x100 2，传统的插值算法需要101个插值点，而稀疏插值仅需4个插值点。在目标函数为多元多项式时，传统插值算法为指数复杂度Odn，而稀疏插值可实现多项式复杂度。稀疏插值的研究目标是使用较少的插值点在较低的时间复杂度算法下重构目标函数。
近年来，稀疏插值技术取得了重大进展，对稀疏插值算法的研究主要集中在黑盒问题，插值函数类型从多元多项式、单变元有理函数发展到多元有理函数、多元隐函数等。针对实际问题，需要克服插值点不能随意选取、插值条件无法满足等限制。相比较而言，多元多项式插值的复杂度较低，是基于稀疏插值的多项式代数算法的首选。本书以较大的篇幅论述了稀疏多元多项式插值算法，同时给出了稀疏单变元有理函数插值算法和稀疏多元有理函数插值算法的原理及实现。
本书在稀疏插值的应用上，主要针对多元多项式代数中的一些经典问题，如结式消元和最大公因式计算，具体阐述了如何使用稀疏插值解决一类较为复杂的、单纯依靠符号计算难以完成的多元多项式方程组的求解及多元多项式最大公因式的计算，并解决了若干个复杂度较高的组合几何优化问题。
本书在撰写过程中参阅了国内外大量的计算机代数及稀疏插值有关的著作，从中汲取了许多好的思想，对此向相关作者表示感谢。同时感谢桂林电子科技大学数学与计算科学学院的大力支持。书中部分内容包含了作者及其课题组成员近年来在稀疏插值及其应用方面所取得的研究成果。戚妞妞参与了书稿的文字整理，张永燊、唐宁参与了部分程序的编写，在此一并表示感谢。
本书是作者在稀疏插值算法及其在多项式代数上的应用方面的一个尝试，由于作者水平有限，不可避免地存在这样或那样的错误和不足，殷切希望各位专家和同行提出宝贵意见和建议。
本书受国家自然科学基金（11561015）、广西科技基地和人才专项（桂科AD18281024）、广西高校中青年教师基础能力提升项目（2019KY0210）、广西密码学与信息安全重点实验室研究课题（GCIS201821）资助。
著者
2020年5月
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