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| 編輯推薦： |
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本书内容充实，讨论全面，深入浅出，便于理解，包含MATLAB相关内容，以解决实际问题。本书配套教学课件请扫描封底刮刮卡二维码下载。
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| 內容簡介： |
本书首先介绍MATLAB语言程序设计的基本内容，在此基础上系统介绍各个应用数学领域的问题求解，如基于MATLAB的微积分问题、线性代数问题的计算机求解、积分变换和复变函数问题、非线性方程与*化问题、常微分方程与偏微分方程问题、数据插值与函数逼近问题、概率论与数理统计问题的解析解和数值解法等；还介绍了较新的非传统方法，如模糊逻辑与模糊推理、神经网络、遗传算法、小波分析、粗糙集及分数阶微积分学等领域。
本书可作为一般读者学习和掌握MATLAB语言的教科书，高等学校理工科各类专业的本科生和研究生学习计算机数学语言的教材或参考书，可供科技工作者、教师学习和应用MATLAB语言解决实际数学问题时参考，还可作为读者查询某数学问题求解方法的手册。
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| 目錄：
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目录
第1 章计算机数学语言概述1
1.1数学问题计算机求解概述..............................1
1.1.1为什么要学习计算机数学语言........................1
1.1.2数学问题的解析解与数值解.........................4
1.1.3数学运算问题软件包发展概述........................4
1.1.4常规计算机语言的局限性..........................5
1.2计算机数学语言简介.................................7
1.2.1计算机数学语言的出现............................7
1.2.2有代表性的计算机数学语言.........................7
1.3关于本书及相关内容.................................8
1.3.1本书框架设计及内容安排..........................8
1.3.2MATLAB语言学习方法与资源.......................9
1.3.3本课程与其他相关课程的关系........................10
1.3.4数学问题三步求解方法概述.........................10
1.4习题.........................................11
参考文献..........................................12
第2章MATLAB语言程序设计基础13
2.1MATLAB程序设计语言基础.............................14
2.1.1MATLAB语言的变量与常量........................14
2.1.2数据结构...................................14
2.1.3MATLAB的基本语句结构..........................16
2.1.4冒号表达式与子矩阵提取..........................17
2.2基本数学运算.....................................18
2.2.1矩阵的代数运算................................18
2.2.2矩阵的逻辑运算................................19
2.2.3矩阵的比较运算................................20
2.2.4解析结果的化简与变换............................20
2.2.5基本离散数学运算..............................21
2.3MATLAB语言的流程结构..............................23
2.3.1循环结构...................................23
2.3.2条件转移结构.................................24
VIII高等应用数学问题的MATLAB求解（第四版）
2.3.3开关结构...................................24
2.3.4试探结构...................................25
2.4函数编写与调试....................................25
2.4.1MATLAB语言函数的基本结构.......................26
2.4.2可变输入输出个数的处理..........................28
2.4.3匿名函数与inline函数............................29
2.4.4伪代码与代码保密处理............................29
2.5二维图形绘制.....................................30
2.5.1二维图形绘制基本语句............................30
2.5.2多纵轴曲线的绘制..............................32
2.5.3其他二维图形绘制语句............................32
2.5.4隐函数绘制及应用..............................34
2.5.5图形修饰...................................34
2.5.6数据文件的读取与存储............................36
2.6三维图形表示.....................................37
2.6.1三维曲线绘制.................................37
2.6.2三维曲面绘制.................................38
2.6.3三维图形视角设置..............................41
2.6.4参数方程的表面图..............................42
2.6.5球面与柱面绘制................................43
2.6.6等高线绘制..................................44
2.6.7三维隐函数图绘制..............................45
2.6.8三维曲面的旋转................................46
2.7四维图形绘制.....................................47
2.8习题.........................................48
参考文献..........................................52
第3章微积分问题的计算机求解53
3.1极限问题的解析解..................................53
3.1.1单变量函数的极限..............................53
3.1.2区间函数的极限运算.............................55
3.1.3多元函数的极限................................57
3.2函数导数的解析解..................................58
3.2.1函数的导数和高阶导数............................58
3.2.2多元函数的偏导数..............................59
3.2.3多元函数的Jacobi矩阵与Hessian矩阵...................60
3.2.4参数方程的导数................................62
3.2.5隐函数的偏导数................................62
3.2.6场的梯度、散度与旋度............................63
3.3积分问题的解析解..................................64
3.3.1不定积分的推导................................64
3.3.2定积分与无穷积分计算............................65
3.3.3多重积分问题的MATLAB求解.......................66
3.4函数的级数展开与级数求和问题求解........................67
3.4.1Fourier级数展开...............................67
3.4.2Taylor幂级数展开..............................69
3.4.3级数求和的计算................................72
3.4.4序列求积问题.................................73
3.4.5无穷级数的收敛性判定............................74
3.5曲线积分与曲面积分的计算.............................76
3.5.1曲线积分及MATLAB求解.........................76
3.5.2曲面积分与MATLAB语言求解.......................78
3.6数值微分问题.....................................80
3.6.1数值微分算法.................................81
3.6.2中心差分方法及其MATLAB实现......................81
3.6.3二元函数的梯度计算.............................82
3.7数值积分问题.....................................83
3.7.1由给定数据进行梯形求积..........................84
3.7.2单变量数值积分问题求解..........................85
3.7.3广义数值积分问题求解............................88
3.7.4积分函数的数值求解.............................89
3.7.5双重积分问题的数值解............................89
3.7.6三重定积分的数值求解............................92
3.7.7多重积分数值求解..............................93
3.8习题.........................................94
参考文献..........................................98
第4章线性代数问题的计算机求解99
4.1特殊矩阵的输入....................................99
4.1.1 数值矩阵的输入. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.1.2 稀疏矩阵的输入. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1.3 符号矩阵的输入. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2 矩阵基本分析. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2.1 矩阵基本概念与性质. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
X高等应用数学问题的MATLAB求解（第四版）
4.2.2 逆矩阵与广义逆矩阵. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.3 矩阵的特征值问题. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3 矩阵的基本变换与分解. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.1 矩阵的相似变换与正交矩阵. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.2矩阵的三角分解和Cholesky分解......................117
4.3.3矩阵的相伴变换、对角变换和Jordan变换..................121
4.3.4 矩阵的奇异值分解. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4 矩阵方程的计算机求解. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.1 线性方程组的计算机求解. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.2 Lyapunov 方程的计算机求解. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.4.3 Sylvester 方程的计算机求解. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4.4 Diophantine 方程的求解. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4.5Riccati方程的计算机求解..........................134
4.5 非线性运算与矩阵函数求值. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5.1 面向矩阵元素的非线性运算. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5.2 矩阵函数求值. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.5.3 一般矩阵函数的运算. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.5.4 矩阵的乘方运算. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.6 习题. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
参考文献. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
第5章积分变换与复变函数问题的求解149
5.1Laplace变换及其反变换...............................149
5.1.1Laplace变换及反变换的定义与性质.....................149
5.1.2Laplace变换的计算机求解..........................150
5.1.3Laplace变换问题的数值求解........................152
5.2 Fourier 变换及其反变换. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.2.1 Fourier 变换及反变换定义与性质.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.2.2 Fourier 变换的计算机求解. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.2.3 Fourier 正弦和余弦变换. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.2.4离散Fourier正弦、余弦变换.........................158
5.2.5快速Fourier变换...............................158
5.3 其他积分变换问题及求解. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.3.1Mellin变换..................................159
5.3.2 Hankel 变换及求解. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.4 z 变换及其反变换. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.4.1 z 变换及反变换定义与性质. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.4.2 z 变换的计算机求解. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.4.3 双边z 变换. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.4.4 有理函数z 反变换的数值求解. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.5 复变函数问题的计算机求解. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.5.1 复数矩阵及其变换. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.5.2 复变函数的映射. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.5.3Riemann面绘制...............................166
5.6 复变函数问题的求解. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.6.1 留数的概念与计算. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.6.2 有理函数的部分分式展开. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.6.3基于部分分式展开的Laplace反变换....................173
5.6.4 Laurent 级数展开. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.6.5 封闭曲线积分问题计算. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.7 差分方程的求解. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.7.1 一般差分方程的解析求解方法. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.7.2 线性时变差分方程的数值解法. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.7.3 线性时不变差分方程的解法. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.7.4 一般非线性差分方程的数值求解方法. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.8 习题. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
参考文献. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
第6章代数方程与最优化问题的计算机求解187
6.1 代数方程的求解. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.1.1 代数方程的图解法. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.1.2 多项式型方程的准解析解法. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.1.3 一般非线性方程数值解. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.1.4 求解多解方程的全部解. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.1.5 更高精度的求根方法. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.1.6 欠定方程的求解. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.2 无约束最优化问题求解. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.2.1 解析解法和图解法. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.2.2基于MATLAB的数值解法.........................200
6.2.3 全局最优解与全局最优解法. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.2.4 利用梯度求解最优化问题. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.2.5 带有变量边界约束的最优化问题求解. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.3 有约束最优化问题的计算机求解. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.3.1 约束条件与可行解区域. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
XII高等应用数学问题的MATLAB求解（第四版）
6.3.2 线性规划问题的计算机求解. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.3.3 二次型规划的求解. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.3.4 一般非线性规划问题的求解. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.3.5 一般非线性规划问题的全局最优解尝试. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.4 混合整数规划问题的计算机求解. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.4.1 整数规划问题的穷举方法. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.4.2 整数线性规划问题的求解. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.4.3 一般非线性整数规划问题与求解. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.4.401规划问题求解...............................221
6.4.5 指派问题的求解. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.5 线性矩阵不等式问题求解. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.5.1 线性矩阵不等式的一般描述. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.5.2 Lyapunov 不等式. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.5.3 线性矩阵不等式问题分类. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.5.4线性矩阵不等式问题的MATLAB求解...................226
6.5.5基于YALMIP工具箱的最优化求解方法..................228
6.6 多目标优化问题求解. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.6.1 多目标优化模型. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.6.2 无约束多目标函数的最小二乘求解. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.6.3 多目标问题转换为单目标问题求解. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.6.4多目标优化问题的Pareto解集........................233
6.6.5 极小极大问题求解. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.6.6 目标规划问题求解. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.7 动态规划及其在路径规划中的应用. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.7.1 图的矩阵表示方法. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.7.2 有向图的路径寻优. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.7.3 无向图的路径最优搜索. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.7.4 绝对坐标节点的最优路径规划算法与应用. .
. . . . . . . . . . . . . . . 240
6.8 习题. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
参考文献. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
第7 章微分方程问题的计算机求解
7.1 常系数线性微分方程的解析解方法. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.1.1 线性常系数微分方程解析解的数学描述. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.1.2 微分方程的解析解方法. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.1.3 线性状态空间方程的解析解. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7.1.4 特殊非线性微分方程的解析解. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.2 微分方程问题的数值解法. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.2.1 微分方程问题算法概述. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.2.2四阶定步长RungeKutta算法及MATLAB实现..............254
7.2.3 一阶微分方程组的数值解. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.2.4 微分方程数值解的验证. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
7.3 微分方程转换. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.3.1 单个高阶常微分方程处理方法. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.3.2 高阶常微分方程组的变换方法. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.3.3 矩阵微分方程的变换与求解方法. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.4 特殊微分方程的数值解. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.4.1 刚性微分方程的求解. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
7.4.2 隐式微分方程求解. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
7.4.3 微分代数方程的求解. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.4.4 切换微分方程的求解. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.4.5 随机线性微分方程的求解. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.5 延迟微分方程求解. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
7.5.1 典型延迟微分方程的数值求解. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
7.5.2 变时间延迟微分方程的求解. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.5.3 中立型延迟微分方程的求解. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7.6 边值问题的计算机求解. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.7 偏微分方程求解入门. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
7.7.1 偏微分方程组求解. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
7.7.2 二阶偏微分方程的数学描述. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
7.7.3 偏微分方程的求解界面应用举例. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
7.8基于Simulink的微分方程框图求解.........................291
7.8.1 Simulink 简介. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
7.8.2 Simulink 相关模块. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
7.8.3微分方程的Simulink建模与求解......................293
7.9 习题. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
参考文献. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
第8章数据插值、函数逼近问题的计算机求解305
8.1 插值与数据拟合. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.1.1 一维数据的插值问题. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.1.2 已知样本点的定积分计算. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8.1.3 二维网格数据的插值问题. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8.1.4 二维散点分布数据的插值问题. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
XIV高等应用数学问题的MATLAB求解（第四版）
8.1.5 高维插值问题. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
8.1.6 基于样本数据点的离散最优化问题求解. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 315
8.2 样条插值与数值微积分问题求解. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
8.2.1样条插值的MATLAB表示.........................316
8.2.2 基于样条插值的数值微积分运算. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
8.3 由已知数据拟合数学模型. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
8.3.1 多项式拟合. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
8.3.2 函数线性组合的曲线拟合方法. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
8.3.3 最小二乘曲线拟合. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
8.3.4 多变量函数的最小二乘函数拟合. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
8.4 已知函数的有理式逼近方法. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
8.4.1 给定函数的连分式展开及基于连分式的有理近似.
. . . . . . . . . . . . . 327
8.4.2有理式拟合Pad近似..........................330
8.4.3 给定函数的特殊多项式近似. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
8.5 特殊函数及曲线绘制. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
8.5.1 误差函数与补误差函数. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
8.5.2Gamma函数.................................335
8.5.3Beta函数...................................336
8.5.4Bessel函数..................................337
8.5.5Legendre函数.................................338
8.5.6 超几何函数. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
8.6Mittag-Le.er函数..................................340
8.7 信号分析与数字信号处理基础. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
8.7.1 信号的相关分析. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
8.7.2 信号的功率谱分析. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
8.7.3 滤波技术与滤波器设计. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
8.8 习题. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
参考文献. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
第9章概率论与数理统计问题的计算机求解353
9.1 概率分布与伪随机数生成. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
9.1.1 概率密度函数与分布函数概述. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
9.1.2 常见分布的概率密度函数与分布函数. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 353
9.1.3 随机数与伪随机数生成. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
9.2 概率问题的求解. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
9.2.1 离散数据的直方图与饼图表示. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
9.2.2 连续事件的概率计算. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 9.2.3
基于MonteCarlo法的数学问题求解....................363
9.2.4 随机游走过程的仿真. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
9.3 基本统计分析. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
9.3.1 随机变量的均值与方差. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
9.3.2 随机变量的矩. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
9.3.3 多变量随机数的协方差分析. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
9.3.4 多变量正态分布的联合概率密度函数及分布函数.
. . . . . . . . . . . . . 368
9.3.5 离群值、四分位数与盒子图. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
9.4 数理统计分析方法及计算机实现. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
9.4.1 参数估计与区间估计. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
9.4.2 多元线性回归与区间估计. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
9.4.3 非线性函数的最小二乘参数估计与区间估计.
. . . . . . . . . . . . . . . 374
9.4.4 极大似然估计. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
9.5 统计假设检验. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
9.5.1 统计假设检验的概念及步骤. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
9.5.2 随机分布的假设检验. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
9.6 方差分析与主成分分析. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
9.6.1 方差分析. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
9.6.2 主成分分析. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
9.7 习题. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
参考文献. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
第10章数学问题的非传统解法391
10.1 集合论、模糊集与模糊推理. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
10.1.1经典可枚举集合论问题及MATLAB求解..................391
10.1.2 模糊集合与隶属度函数. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
10.1.3模糊推理系统及其MATLAB求解......................396
10.2 粗糙集理论与应用. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
10.2.1 粗糙集理论简介. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
10.2.2 粗糙集的基本概念. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
10.2.3 信息决策系统. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
10.2.4粗糙集数据处理问题的MATLAB求解...................403
10.2.5粗糙集约简的MATLAB程序界面......................405
10.3 人工神经网络及其在数据拟合中的应用. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
10.3.1 神经网络基础知识. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
10.3.2 前馈型神经网络. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
10.3.3 径向基网络结构与应用. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
XVI高等应用数学问题的MATLAB求解（第四版）
10.3.4 神经网络界面. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
10.4 进化算法及其在最优化问题中的应用. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
10.4.1遗传算法的基本概念及MATLAB实现...................419
10.4.2 遗传算法在求解最优化问题中的应用举例. .
. . . . . . . . . . . . . . . 420
10.4.3 遗传算法在有约束最优化问题中的应用. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 424
10.4.4 粒子群优化算法与求解. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
10.4.5 其他全局优化算法. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
10.4.6 求取精确的全局最优解. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
10.5 小波变换及其在数据处理中的应用. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
10.5.1 小波变换及基小波波形. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
10.5.2 小波变换技术在信号处理中的应用. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
10.5.3 小波问题的程序界面. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
10.6 分数阶微积分学问题的数值运算. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
10.6.1 分数阶微积分的定义. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
10.6.2 不同分数阶微积分定义的关系与性质. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 437
10.6.3 分数阶微积分的计算方法. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
10.6.4 分数阶微分方程的求解方法. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
10.6.5 基于框图的非线性分数阶微分方程近似解法.
. . . . . . . . . . . . . . . 448
10.7 习题. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
参考文献. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
MATLAB函数名索引457
术语索引463
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第四版前言
科学运算问题是科学与工程中的重要问题。在当前一般高校理工科课程设置中，高等数学、线性代数、概率论与数理统计等为必修课程，有些专业还有复变函数、积分变换、最优化、数值分析等选修课程。有了这些数学基础，很多专业课程相应的数学模型就可以建立起来了，而这些数学问题的求解就成了不容回避的问题了。
在总结多年实际教学经验的基础上，作者曾在首届MathWorks亚洲研究与教育峰会（2014年11月，东京）上提出了数学问题的三步求解方法，其第一步就是用简单的语言理解要求解数学问题的物理意义，第二步是如何用计算机能接受的方式将数学问题输入给计算机，第三步就是调用恰当的函数将数学问题的解得出来。有了这样的思路，则普通研究者可以直接利用计算机工具在短时间内解决已经学习过甚至根本没有学习过的数学分支的应用问题。
本书书名中的高等应用数学不等于高等数学，而是预期尽可能广地覆盖理工科数学分支，其对数学分支的涵盖范围是非常广泛的。书中涉及了大量的数学公式，作者没有期望读者能读懂这些公式，大概理解它们的物理意义就足够了，侧重点还是应该放在学习基于MATLAB的实际求解方法。尽管较好理解数学公式可能对学习数学问题的求解方法有所帮助，但这不是必要的。
虽然数学问题的求解在以后的课程学习与科学研究中是不可避免的，那些自认为数学基础比较薄弱的读者也不必担心，因为本书介绍的方法是尽可能地避开烦琐的、深奥的数学，将数学问题及其求解过程用MATLAB能够接受的形式全盘推给计算机去求解，充分发挥计算机的潜能去替你完成任务，最终收获问题的解。尽管这样的方式有时得不到一些数学家的接受与认可，但这对应用科学家与工程技术人员足矣。
比如说，本书介绍了代数方程的求解方法。在实际应用中数学家或其他科研工作者可能面
.
对下面的代数方程束手无策.x 3y32z2 = 12 x23y z3 =2 . x32z 2y2 = 24
而你却完全可以利用本书介绍的方法将该方程推给计算机去求解，在几秒钟之内得出原方程全部27组根，将根代入原方程，误差可能达到10.34 级别。另外，对用户而言，如果使用工具，求解这样的方程与求解鸡兔同笼方程一样简单。
再如，如果已知矩阵A，数学家无法求出复合矩阵函数A=eA cos At 或Ak 时，你可以轻而易举地借助计算机得出所需的矩阵函数与乘方的解析解。
可以想象一下，当数学家只能利用其巧妙的构思去判定19931993 的个位数是几的时候，你却能易如反掌地将其全部6576位数字都列出来；当数学家在苦思冥想给定的矩阵方程AX XD. XBXTC=0到底有多少个根的时候，你却有能力利用本书的方法将其实数根与复数根一次性地全部求解出来；当数学家津津乐道地描述a,b区间内至少存在一个
II高等应用数学问题的MATLAB求解（第四版）
的时候，你却能将满足条件的的所有可能值都精确地实实在在地找出来；当数学家在纠结到底用哪种技巧去求出某个函数的不定积分的时候，你却能借助计算机在几秒钟之内用普通得不能再普通的方法求出该不定积分的解析解；当数学家因为想使用神经网络而苦苦阅读学习相关知识的时候，你却能通过几分钟基础概念的学习之后熟练地利用神经网络解决实际问题，你是不是应该建立起对求解实际应用数学问题能力的自信心呢？是不是会有龟兔赛跑中兔子的优越感呢？这样的例子不胜枚举，所以不要惧怕数学，因为如果系统地学习掌握了本书中介绍的方法和思路，你求解实际应用数学问题的能力将远远超过不会或不擅用计算机工具的一流数学家。
本书继承了以前版本的写作风格，不是按手册的方式，即MATLAB能求解什么就介绍什么，而是按介绍数学理论与系统知识的需求，组织教学材料、求解方法与求解工具，使得读者有能力直接求解相关的数学问题。如果MATLAB能求解某类问题，作者会直接建议使用现有函数去求解，如果没有现成函数时，作者会编写出通用的函数，可以同样直接地求解这类问题。本书比较典型的独到的求解方法包括矩阵的任意非线性函数求解、矩阵任意乘方的求解、任意多解非线性矩阵方程的求解、有约束非线性规划问题的全局求解方法、分数阶微积分的高精度数值计算等，通过实际例子的介绍，同时演示了将求解思路变成代码的过程与技巧。
从数学问题解析运算的角度看，由于基于Maple符号运算引擎的MATLABR2008a版本已经淡出了历史舞台，本书早期版本中很多内容已经不能正常使用，新版本提供的功能也有待系统地利用与介绍，所以需要一个新的版本。本书引入的新内容包括三维隐函数等图形绘制新方法、场论的解析运算、无穷级数的收敛性判定、曲线曲面积分解析运算的通用求解函数、数值积分曲线曲面的绘制、Diophantine方程求解、矩阵任意乘方的计算、数值积分变换方法与应用、Laurent级数展开、非线性矩阵方程的数值解法、非线性规划问题的全局搜索函数、常微分延迟微分方程的框图解法、alpha稳定分布与Lvy飞行、离群值检测、全新的分数阶微积分高精度计算方法、基于框图的复杂分数阶系统建模与求解通用方法等。本书在不显著增加本书页码的前提下最大限度地压缩了排版的空间浪费，融入了新的内容，并对使用的语句做出了更详尽的注释，使得读者能更好地理解涉及的代码，更有效地学习本书的内容。
本书的前几版在本科生、研究生实际教学中已经使用十余年，配备了较全面的交互性计算机辅助教学材料，本书相应的课程现代科学运算MATLAB语言与应用目前为辽宁省精品资源共享课程，读者可以观看该课程的全程授课视频，享用全套教学资源，也建议有相关想法的教师在本校开设相应的课程，使得更多的理工科学生受益。英文版教材Scienti.cComputingwithMATLAB（第二版）2016年由美国CRC出版社出版，可以作为双语课程或全英文课程的材料，与此同时，本书全英文课程视频制作也在计划之中，预计将在本书正式出版时完成。感谢向日葵教育科技公司李婷女士在视频制作过程中提供的帮助。
书稿完成之际要感谢的人很多，感谢教学团队成员的共同努力、学生们在课程建设中所做的扎实的工作、诸多热心读者的建议、出版界朋友的辛勤工作，特别地感谢挚爱的家人一如既往的支持与鼓励。
薛定宇 2017年6月
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