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Phelps） 關於作者： 作者简介拉本德拉贾（Raghbendra Jha）澳大利亚国立大学公共政策学院阿恩特-科登经济系主任，拉吉夫甘地经济学教授，哥伦比亚大学博士，并曾在美国、加拿大、英国、印度等国大学等任教。他的研究领域包括公共经济学和宏观经济学。近年来他关注经济发展和印度财政问题，并有相关论著出版。他还是国际财政学会会刊《国际税收和公共财政》（International Tax and Public Finance）的副主编。 译者简介杨志勇中国社会科学院财经战略研究院研究员，中国社会科学院财政税收研究中心主任，中国社会科学院研究生院教授、博士生导师。中国财政学会副秘书长。 目錄： 目 录 第一篇 福利经济学 第一章 消费者需求理论快速入门... 2 第一节 引言... 2 第二节 一些重要定义... 2 第三节 效用函数... 6 第四节 消费者效用最大化问题... 6 第五节 需求理论中的一些其他有用的关系... 11 第六节 消费者剩余和福利变化的衡量... 12 第七节 结论... 15 附录... 15 第二章 完全竞争与帕累托最优... 23 第一节 引言... 23 第二节 社会状态的帕累托等级... 23 第三节 帕累托最优... 24 第四节 福利经济学的经典定理... 28 第五节 存在不确定性情况下的扩展... 37 第六节 次优定理... 43 第七节 结论... 44 第三章 社会福利函数的形式... 46 第一节 引言... 46 第二节 用公式表示分配方法的早期尝试... 46 第三节 加总个人偏好以确定社会选择... 50 第四节 阿罗的一般可能性定理与其他的不可能性定理... 52 第五节 阿罗框架的拓展... 58 第六节 社会福利函数（SWF）的形式... 60 第七节 结论... 63 第二篇 公共支出理论 第四章 外部效应和市场机制... 68 第一节 引言... 68 第二节 外部性的影响... 69 第三节 政策案例：教育定价... 72 第四节 共有产权... 77 第五节 多边外部性... 78 第六节 结论... 79 第五章 纯公共产品理论... 81 第一节 引言... 81 第二节 纯公共产品的帕累托最优... 82 第三节 扭曲性税收下的公共产品... 84 第四节 搭便车问题... 86 第五节 公共产品的私人供给... 93 第六节 公共产品的投票模型... 97 第七节 结论... 100 第六章 公共产品理论专题... 102 第一节 引言... 102 第二节 俱乐部理论... 102 第三节 蒂布假说... 105 第四节 多产品俱乐部... 108 第五节 利用扭曲性税收为纯公共产品融资... 112 第六节 信息不对称下的公共产品供给... 114 第七节 寻租... 119 第八节 结论... 125 第三篇 税收理论 第七章 税收对储蓄的影响... 130 第一节 引言... 130 第二节 基本的储蓄生命周期模型... 130 第三节 资本市场的不完善与生命周期模型... 135 第四节 扩展的储蓄与税收的生命周期模型... 137 第五节 总储蓄与总税收... 138 第六节 消费税支出税... 140 第七节 企业储蓄... 145 第八节 社会保障、养老金与储蓄... 146 第九节 扩展的储蓄生命周期模型... 147 第十节 税收对储蓄效应的经验证据... 149 第十一节 结论... 151 第八章 税收与劳动供给... 152 第一节 引言... 152 第二节 劳动供给的基本模型... 152 第三节 各种税收的效应比较... 155 第四节 税收与进入劳动力市场的决策... 155 第五节 累进税对劳动供给的影响... 158 第六节 减税对劳动供给影响的实证分析概述... 164 第七节 结论... 168 第九章 税收对投资行为的影响... 170 第一节 引言... 170 第二节 费雪模型... 170 第三节 加总法... 174 第四节 投资税收抵免与公司税减免的比较：一个柯布道格拉斯 形式的例子... 181 第五节 投资支出的融资决策... 182 第六节 有效税率与融资成本... 182 第七节 补贴对研发的激励影响... 187 第八节 结论... 189 第十章 税收理论和风险承担... 190 第一节 引言... 190 第二节 税收对家庭风险承担的影响... 190 第三节 莫迪利亚尼米勒定理和投资支出的融资决策... 193 第四节 累进性对风险承担的影响... 200 第五节 结论... 201 第十一章 税收归宿理论... 202 第一节 引言... 202 第二节 两部门一般均衡模型中的税收归宿... 203 第三节 非自愿失业模型中的税收归宿... 209 第四节 基本模型的扩展... 214 第五节 收益率规制下的税收归宿... 215 第六节 结论... 219 第十二章 税收归宿的动态模型... 220 第一节 引言... 220 第二节 新古典经济增长模型... 220 第三节 平衡增长路径的税收归宿... 224 第四节 生命周期模型中的税收... 225 第五节 货币形式的索洛模型中的税收归宿... 227 第六节 更一般的生命周期模型中的税收归宿... 229 第七节 跨期经济中的土地租金税... 237 第八节 作为政府收入工具的税收和债务... 239 第九节 结论... 242 第十三章 商品税的若干结论... 245 第一节 引言... 245 第二节 商品税的弹性法则... 245 第三节 统一的商品税... 250 第四节 再分配性质的间接税... 250 第五节 商品税再分配的范围... 253 第六节 增值税（VAT）... 255 第七节 增值税与非正式部门... 259 第八节 结论... 261 第十四章 所得税... 263 第一节 引言... 263 第二节 最优线性税... 263 第三节 最优非线性所得税（莫里斯和拉姆齐）... 265 第四节 最优税收理论的信息理论基础... 271 第五节 不完全劳动替代下的最优税... 277 第六节 稳定状态下的最优工资和利息所得税... 279 第七节 直接税和间接税的最优组合... 283 第八节 结论... 285 附录... 286 第十五章 税收理论专题... 287 第一节 引言... 287 第二节 内生增长模型中的税收... 287 第三节 所得税的指数化问题... 290 第四节 时间不一致性... 292 第五节 税收遵从与逃税... 298 第六节 跨期逃税：安德烈奥尼模型... 303 第七节 结论... 305 第十六章 税制改革... 307 第一节 引言... 307 第二节 税制改革的福利基础... 312 第三节 动态的税制改革... 317 第四节 税制改革的边际方法... 321 第五节 结论... 325 第四篇 公共经济学的应用问题 第十七章 公共部门定价... 328 第一节 引言... 328 第二节 拉姆齐布尔托斯线性定价问题... 328 第三节 一些简单的例子... 331 第四节 边际成本定价的最优性... 333 第五节 拉姆齐布尔托斯次优定价续论... 337 第六节 拉姆齐（费尔德斯坦）再分配定价一般情形... 339 第七节 多部定价... 340 第八节 峰谷定价... 346 第九节 联合产品定价共同成本的分摊... 349 第十节 结论... 353 第十八章 国际税收问题... 355 第一节 引言... 355 第二节 开放经济中的关税理论... 355 第三节 国际财政协调：利息税... 360 第四节 开放经济中个人与公司所得税一体化... 364 第五节 开放经济中的拉姆齐最优税制... 367 第六节 结论... 367 第十九章 税收激励与公司所得税... 369 第一节 引言... 369 第二节 税收激励... 373 第三节 有效税率... 377 第四节 结论... 380 第二十章 全球性公共产品... 382 第一节 引言... 382 第二节 定义全球性公共产品... 382 第三节 代际全球性公共产品的配置问题... 383 第四节 理解全球性公共产品的供给决策问题... 385 第五节 国际合作与全球性公共产品... 387 第六节 结论... 388 第二十一章 成本收益分析与随机估值... 390 第一节 引言... 390 第二节 成本收益分析的标准... 391 第三节 社会贴现率... 393 第四节 评估收益与成本影子价格... 394 第五节 测算收益与成本的困难... 401 第六节 随机估值... 402 第七节 结论... 404 第二十二章 环境税与排放交易计划... 406 第一节 引言... 406 第二节 环境政策设计中的工具选择... 406 第三节 环境税与排放交易之间的选择... 409 第四节 环境税的设计... 410 第五节 许可证市场的效率... 413 第六节 比较拍卖与祖父原则... 415 第七节 结论... 416 第五篇 财政联邦主义 第二十三章 财政联邦主义问题... 418 第一节 引言与背景... 418 第二节 联邦经济的效率与公平... 418 第三节 各级政府间的公平... 419 第四节 中央以下各级政府存在的理由... 420 第五节 地方政府的其他作用... 424 第六节 地方辖区的最优规模... 425 第七节 结论... 429 附录... 430 第二十四章 联邦制国家中的拨款与税收... 434 第一节 引言... 434 第二节 拨款的目的... 435 第三节 拨款的类型... 440 第四节 各类拨款的效应传统模型... 441 第五节 拨款效应的新模型... 444 第六节 联邦制国家的税收划分... 447 第七节 结论... 451 习题... 453 消费者需求理论... 453 福利经济学和公共支出理论... 454 税收的激励效应... 456 税收归宿问题... 459 最优税收问题... 460 定价问题... 461 财政联邦主义问题... 462 参考文献... 463 人名索引... 497 主题词索引... 508 內容試閱： 拉本德拉贾（Raghbendra Jha）教授的《现代公共经济学》是一部值得所有对公共经济学（财政学）理论新发展感兴趣的读者阅读的著作。十几年前，我在厦门大学读到本书的第一版，印象深刻。阿特金森和斯蒂格利茨的《公共经济学讲义》（Lectures on Public Economics）1980年出版之后，一直没有一部类似的教科书跟上，以全面阐释公共经济学的最新发展。爱思唯尔公司（Elsevier）的《公共经济学手册》汇集公共经济学领域的综述文章，自1985年以来，已出版了6卷，很有影响，但篇幅较大，主题庞杂，并不能替代公共经济学教科书。本汉译本基于2010年原书英文版第二版，反映了第一版出版之后十年来公共经济学的最新发展。贾教授的这部书所具有的独特地位，是我们决定翻译本书的最主要原因。《现代公共经济学》分五篇，包括福利经济学、公共支出理论、税收理论、公共经济学中的应用问题以及财政联邦主义，几乎涵盖公共经济学的各领域。适中的篇幅，不仅有利于本科高年级和研究生的教学，而且对于专业学者来说，也是不可多得的参考书。2006年诺贝尔经济学奖得主费尔普斯称本书是一次罕见的壮举，在全书编排上兼顾了公共经济学的中级学生和公共经济学从业者的需要。英国莱斯特大学的杰克逊（P.M.Jackson）教授认为，这是一部重要的著作，并确信它将在高年级本科生和研究生快速得到领先地位。值得一提的是，杰克逊有着丰富的公共经济学教科书撰写经验，他和布朗合著的《公共部门经济学》对中国财政学界产生了深远的影响。拉本德拉贾是澳大利亚国立大学公共政策学院阿恩特-科登经济系主任，拉吉夫甘地经济学教授，哥伦比亚大学博士，并曾在美国、加拿大、英国、印度等国的大学任教。他的研究领域包括公共经济学和宏观经济学。近年来他关注经济发展和印度财政问题，并有相关论著出版。他还是国际财政学会会刊《国际税收和公共财政》（International Tax and Public Finance）的副主编。本书可作为经济学（财政学、公共管理学）高年级本科生和研究生的教科书，也适合任何对公共经济学（财政学）感兴趣的科研人员以及实际工作者使用。该书对相关理论模型有较完整的推导，便于学习，帮助学习者扫清专业阅读的障碍。科研人员和实际工作者通过本书，可以在较短时间内熟悉相关领域的主要研究成果。本书的翻译，是我和对外经济贸易大学的财政学专业的博士生和硕士生合作的结果。本书初稿主要由黄春元（现在首都经济贸易大学财税学院任教）和高洁（中国建设银行山西省分行）提供。在随后的数次统稿和校对工作中，李琼（现在中南财经政法大学财税学院任教）协助我做了许多工作，于媛在翻译之初也做了一些工作。本书的翻译经历了较长时间，春元、高洁、李琼都已陆续毕业。感谢她们的积极投入。特别是，本书英文原版有一些错漏之处，在翻译中已尽可能纠正，并加以说明。翻译中存在的问题，欢迎批评指正。感谢清华大学出版社，特别是杜春杰老师在本书翻译出版过程中的全方位帮助。没有她的努力和督促，本书是不可能面世的。 第一章 消费者需求理论快速入门 主要概念：偏好排序；传递性；拟传递性和偏好的非循环性；排序的连续性和凸性；效用函数；直接的和间接的、凹的和拟凹的效用函数；补偿的和非补偿的需求函数；支出函数；斯拉茨基方程、消费者剩余、等价变化和补偿变化；罗伊恒等式；税收的超额负担；包络定理。 第一节 引 言 公共经济学经常用到消费者需求理论的一些重要结论。学生可以从微观经济理论中获得这些结论。然而，考虑到完整性，本书将在这一章介绍相关的消费者需求理论的重要结论。请不要将回顾这些结论视为在做无用功，相反可以将其视为学习公共经济学的必要基础。因此，这一章是学习公共经济学的切入点，而不是公共经济学的专属内容。 本章先介绍消费者需求理论的一些基本概念的定义，尔后将给出在学习税收政策和支出政策中有着重要作用的关键概念。 第二节 一些重要定义 定义1.1（弱偏好关系或序数偏好） 在经典的消费者需求理论中，任意消费者i的基础弱偏好关系记作Ri（读作至少一样好）。对于消费者i来说，如果x和y是其可获得的消费组合，并且有xRiy，那么这意味着对于消费者i而言，消费束x至少和消费束y一样好。（有时Ri也被称为序数偏好）。如果，有xRiy，同时不满足yRix，那么我们可以得知消费者i是严格偏好消费束x甚于消费束y。这时，记作xPiy。如果xRiy和yRix同时成立，那么消费者i对于消费束x和y的偏好无差异。这时，记作xIiy。这些选择的消费组合构成了消费者的消费集Xi，弱偏好关系Ri就在该消费集中定义。 定义1.2（理性弱偏好关系） 如果满足以下条件，那么在消费集Xi中定义的弱偏好关系Ri就是理性的。 （1）完备性 完备性要求在消费集Xi中，可以对所有的消费组合Ri进行排序；也就是说，对于所有的消费组合，我们必须可以得到aRib或者bRia或者两者同时成立（很明显，也可以得到aRia。这一性质被称为反身性）。有时，这一条件也意味着要满足二元性或者无关选择的独立性条件。这是指当比较两个消费组合a和b时，没有必要考虑第三个消费组合c。 （2）传递性和理性 这涉及三个可选的消费组合之间的关系。最简单的形式是完全传递性，即如果满足aRib和bRic，那么可以得到aRic。当一个消费偏好排序为理性时，通常要求满足这样的传递性。 有时也会遇到一种较弱的传递性，这种拟传递性虽然很少见，但是也比较重要。拟传递性要求严格偏好关系是可传递的（但不要求弱偏好关系具有传递性）。如果有gPih和hPij，根据拟传递性，可以得到gPij。 另一个更弱的要求是非循环性。如果不存在一个消费组合序列a,b,,l，使得aPib&bPic&&kPil且lPia，那么Pi就是非循环的。 另一个需要满足的条件是非饱和性，也就是说，多一点总是至少比少一点好。换句话说，即如果aRib，且，那么可以得出。一个更强的要求是局部非饱和性，即如果，且存在另一个消费组合u满足，为任意小的数，使得uPia。标准的效用分析通常是假定满足局部非饱和性的，如图1.1所示。 q （a） q 图1.1 消费者偏好的非饱和性 q （b） q 图1.1 消费者偏好的非饱和性（续） （3）凸性 （这不是偏好为理性的必要条件）如果给定任意，其定义域的上水平集（upper contour set）都是凸的，那么定义域为Xi的序数偏好Ri也是凸的。换句话说，对于，如果满足aRic且bRic，那么，当时，可以得到。据此，我们可以定义一个严格凸性的概念。即，如果满足aRib且bRic[①]，那么，当时，可以得到。标准的无差异曲线满足严格凸性的条件，如图1.2所示。 q （a） q 图1.2 凸偏好和非凸偏好 q （b） q 图1.2 凸偏好和非凸偏好（续） 从上面定义的序数偏好的概念可以看出，对偏好进行排序是获得效用函数的简短但重要的步骤。连续的序数偏好可以用效用函数来表示。 定义1.3（连续性） 如果序数偏好Ri在Xi上是闭集合，那么Xi中的序数偏好Ri即为连续的。即给定两个消费组合序列，如果满足对任意的n都有xnRiyn，且，，那么我们可以得到xRiy。 如上所述，当序数偏好是连续的，就可以用实值效用函数来表示该偏好，即当有xRiy时，可以得到，其中为实值效用函数。为了表达得更准确，我们将介绍康托定理（Cantors theorem）。 康托定理（Cantors theorem） 在集合Xi上有一个实值效用函数，当且仅当R是集合Xi上的一个排序，且在集合Xi中存在一个可数子集，而该子集是P排序在集合Xi的稠密子集时，则对于所有的x，，有xRix''，那么则有[②]（证明过程请参见Luce and Suppes，1965）。 但是，当一种偏好是字典式时，该偏好就不能用效用函数来表示。字典式偏好是实值效用函数可以用来表示偏好的这一规则的典型例外。假设我们有一个不可数的无限的消费集合。有一个消费者非常喜欢吃鱼，给定鱼的数量，如果该消费者能够获得更多的米饭，她境况会变得更好，但是无论消费组合中米饭的数量有多少，给她稍微多一点的鱼，就能使她的境况比原来的消费组合更好。因此，在计算一单位鱼的效用值时就会有无数的实数值。 可通过图1.3来描述字典式偏好。图中x0表示鱼的数量，在鱼的数量固定为x0时，消费者得到的米饭越多，其效用就越大，即沿着通过x0点的垂直线越往上表明该消费者的效用越大。当消费者获得的鱼的数量大于x0单位时，消费者会获得比x0处垂直线上任何一点的效用都更高的效用。因此，直觉上来讲，我们没有办法用实数来表示字典式偏好。 q 图1.3 字典式偏好 第三节 效 用 函 数 假设存在一个实值效用函数。为了方便分析，通常假定消费者的效用函数是可微的。大多数情况下，我们需要效用函数是二次连续可微的。从弱偏好呈凸性的性质来看，我们可以得出是拟凹的（类似地，弱偏好的严格凸性意味着是严格拟凹的）。如果集合，或者等价于，对于任意的x和y，当，则可以说效用函数是拟凹的（如果，且，则效用函数是严格拟凹的）。这里需要注意一点，Ri是凸性的并不意味着效用函数的性质就是凹的：对于任意的x和y，当 Ri。 效用函数有另一个性质：如果效用函数是一次齐次的，那么一个在上的连续序数偏好Ri也是齐次的（也就是说，对于所有的，有）。 第四节 消费者效用最大化问题 现在我们来考虑消费者选择的问题。在这里，我们要一直假设消费者具有理性的、连续的和局部非饱和的弱偏好。而效用函数是二次连续可微的拟凹函数。现在，我们能得到以下结论。 命题 如果价格和财富严格大于零，设财富为w，那么以下最大化问题有解： 事实证明，连续函数在任何紧集上都存在最大值。 马歇尔需求 将每一组价格财富p,w所获得的效用最大化的解构成的最优消费向量记为，这就是马歇尔需求函数。这种需求函数也称为非补偿的需求函数或普通的需求函数。该种需求函数具备如下性质（证明略）： （1）对的零次齐次性。这意味着对于任意的p，w和标量都有。 （2）满足瓦尔拉斯法则：对于所有的，都满足。 （3）凸性唯一性。如果Ri是凸性的，致使是拟凹的，那么即为凸集。而且，如果Ri是严格凸性的，致使是严格拟凹的，那么只有一个元素。 如前所述，如果是连续可微的函数，那么最优消费束可以由一阶条件得出。库恩塔克（必要）条件是指，如果是效用最大化的解，那么必然会存在一个拉格朗日乘子，使得对于所有（k为商品种类），，满足： （1.1） 若，则等号成立。 用矩阵形式可以进行如下表述。令表示向量U对x的梯度向量，我们可以将式（1.1）表示成下列矩阵的形式： （1.2） （1.3） 因此，如果我们有内部最优解（如果），那么一定满足： （1.4） 可以用图1.4来描述两种商品的效用最大化问题的解。如果我们有内部解，那么对于两种商品r和t而言，一定满足方程（1.5），方程左边表示商品r对于商品t的边际替代率（MRS）。 （1.5） 一阶条件式（1.2）和式（1.3）中的拉格朗日乘子表示无约束的效用最大化条件下的边际价值或影子价值。因此，相当于最优条件下的消费者财富的边际效用。 q （a） q （b） q 图1.4 消费者最优选择的内部解和边角解 间接效用函数 当时，效用最大化时的效用值可以表示为，对于任意的，。函数即为间接效用函数，在公共经济学中，间接效用函数是非常有用的分析工具。下面介绍间接效用函数的有关命题（证明略）。 命题1.1 假定U是连续的效用函数，它表示在消费集合中定义的局部非饱和的偏好关系Ri。则间接效用函数有如下性质： （1）零次齐次性； （2）随着w的增加而严格递增，对于任意的商品k，间接效用函数对于pk是非递增的； （3）拟凸性，即对于任意的，集合都是凸的； （4）对于p和w，间接效用函数是连续的。 现在我们可以考虑支出最小化问题。定义如下： 当p0且时，，。通过解这个问题就可以计算出要达到的效用水平时，所需付出的最小财富量。支出最小化问题等价于效用最大化问题。现在来阐述下面的重要命题（证明略）。 命题1.2 假定是连续的效用函数，它表示在消费集合中定义的局部非饱和的弱偏好关系Ri，且价格向量。则： （1）当财富时，如果是效用最大化的最优解，那么当效用水平需要达到时，即为支出最小化的最优解。而且，此时的最小支出水平恰好为w。 （2）当时，如果是支出最小化的最优解，那么当财富等于时，即为效用最大化时的最优解。而且，此时的最大化效用水平恰好为。 支出函数 给定价格，，则支出最小化问题可写作。函数被称为支出函数。下面介绍有关支出函数的命题（同样省略相关证明过程）。 命题1.3 假定是连续的效用函数，它表示在消费集合中定义的局部非饱和的弱偏好关系Ri。则支出函数有如下性质： （1）是p的一次齐次函数； （2）随着U的增加而严格递增，对于任意的商品k来说，支出函数对于pk是非递减的； （3）是关于p的凹函数； （4）对于p和U，支出函数是连续的。 此外，支出函数和间接效用函数之间还有一个非常重要的关系。对于任意的，，以及，我们一定可以得到如下两个等式： 这两个等式对于之后要讨论的当价格变化后带来的补偿变化和等价变化非常有用。现在，我们来讨论补偿需求函数。 希克斯（或补偿）需求函数 在支出最小化问题中所得到的最优商品向量集合可写作，该函数是希克斯需求函数或补偿需求函数。希克斯需求函数的基本性质可表示成如下命题。 命题1.4 假定是连续的效用函数，它表示在消费集合中定义的局部非饱和的弱偏好关系Ri。那么，对于，希克斯需求函数具备如下性质： （1）是p的零次齐次函数：对于任意的p,U，都有； （2）没有超额效用：对于任意的； （3）凸性唯一性：如果Ri是凸性的，那么也是凸集；如果Ri是严格凸的，就是严格拟凹的，那么只包含单一元素。 利用命题1.4我们可以将希克斯需求函数和马歇尔需求函数之间的关系表示如下： 希克斯需求和替代效应的方向 假定是连续的效用函数，它表示在消费集合中定义的局部非饱和的弱偏好关系Ri，且当时，包含单一元素，则在希克斯需求函数中，需求与价格呈反向变化。换句话说，对于所有，满足：。 补偿需求函数与消费者需求理论中的斯拉茨基方程之间有着重要的关系。斯拉茨基方程在公共经济学中有着非常重要的几个结论，因此我们先从两种商品的情形入手来推导该方程。多种商品的情形是两种商品的一般化，可做类似推导。 斯拉茨基方程的推导 考虑下面的效用最大化问题： ， 构造拉格朗日函数[③]： （1.6） 求内部最大解的一阶条件如下： （1.7a） （1.7b） （1.7c） 式中，，。 对一阶条件求全微分且用偏导表示，我们可以得到以下几个方程式： （1.8a） （1.8b） （1.8c）[④] 将dx1，dx2和看作内生变量，可将上述方程式写为下列矩阵的形式： （1.9） 式中，。 运用克莱姆法则，可以得到： （1.10） （1.11） 式中，Dij是式（1.9）左边矩阵中第ij个元素的余子式，D是式（1.9）左边矩阵的行列式。给定dp2=dw=0，则价格p1对消费量x1产生的价格效应（马歇尔需求函数的变动）可由式（1.10）获得： （1.12） 可以很容易得到，因此： （1.13） 现在，当时，。从式（1.8a，b）可知，。从式（1.8c）可得，由此可得： （1.14） 代入式（1.13），得到： （1.15） 式（1.15）即为斯拉茨基方程。对于任意的两种商品i和j，其一般形式为： （1.16） 即： 价格变动的总效应（沿马歇尔需求函数）=替代效应（沿希克斯需求函数）-收入效应 第五节 需求理论中的一些其他有用的关系 假定是连续的效用函数，它表示在消费集合中定义的局部非饱和的严格凸的弱偏好关系Ri。对于所有的p和U，希克斯需求是支出函数对价格求导之后组成的向量集合： （1.17） 换句话说，对于所有的商品k=1,,N，都有。 包络定理 考虑有约束的最小化问题中的值函数： 如果是以为参数的该方程的（可微的）解，则任意的都可满足包络定理。 （1.18） 式中，为有约束的拉格朗日乘子。 罗伊恒等式 假定是连续的效用函数，它表示在消费集合中定义的局部非饱和的严格凸的弱偏好关系Ri。假定对于某些，间接效用函数是可微的。则对于商品k而言，： （1.19） 式中，。 第六节 消费者剩余和福利变化的衡量 现在，我们来讨论对于个人消费者而言，如何衡量价格变化所导致的福利变化问题。假定我们知道消费者的弱偏好关系为。在这种情况下，我们以简单的价格变化来表达消费者福利的变化。如果Vp,w是关系下的间接效用函数，当价格从p0变化为p1时，当且仅当时，消费者的境况会变差。 因为间接效用函数可以用货币单位来衡量福利水平的变化，因此该类函数特别适合用来进行福利变化的比较分析。给出间接效用函数，选择任意的价格向量，现在来考虑函数。这一函数表示当价格向量为时，为了达到效用水平而需要的财富水平。很明显，这一函数值会随着水平的增加而严格递增。因此，作为的函数，本身也可以看作是偏好的间接效用函数，而且提供了用货币来衡量福利变化的一种方法。在价格向量中任意选择两个价格，一个为初始价格，一个为最终的价格。因此，会产生两种著名的衡量福利变化的方法：等价变化（EV）和补偿变化（CV）。令，注意。 现在，定义： （1.20） （1.21） 等价变化可以看作是当价格变化以后，消费者为了保持和价格变化前一样的效用水平而愿意接受的货币量。因此，可以得到。补偿变化是消费者接受价格变化而希望从计划者处得到的因价格变化带来负面影响的补偿数额。因此，可以得到。图1.5描述了等价变化和补偿变化。 q （a） q （b） q 图1.5 等价变化和补偿变化 等价变化和补偿变化概念的一个重要应用是衡量税收变化带来的超额负担。我们可以通过图1.6来讨论最简单的情形。图中展示的是单一商品的需求曲线和供给曲线。当对商品征税时，供给曲线会向左上方移动，价格会从p0上升到p1。[⑤]图中的阴影部分表示税收。但是消费者剩余的损失超过了政府获得的税收，超过部分为三角形面积ABC。在最简单的情形下，ABC被称为税收的超额负担或无谓损失。图1.6中的供给曲线为水平直线，如果供给曲线是向上倾斜的，那么除了消费者剩余损失之外，还会有生产者剩余损失。 q 图1.6 税收的无谓损失 图1.6中的需求曲线为马歇尔需求曲线。该曲线在决定超额负担时所起的作用不大。原因是在衡量超额负担时有着非常严重的路径依赖的问题：消费者剩余的衡量取决于价格变化的结果。这一点很容易理解。令xj和pj表示第j个市场上的需求量和价格。则单个消费者剩余的变化之和为，即线性积分为： （1.22） 从初始价格向量pi到最终价格向量pf的积分路线不同，其结果也不相同。现在考虑有两个市场的简单例子。表示价格变化以后商品1的市场价格。如果我们先改变市场1的价格，那么消费者剩余的变化为： （1.23） 然而，如果我们先改变市场2的价格，那么消费者剩余的变化即为 （1.24） 一般来说，和之间是有差别的，且不为零。对于价格的微小变化，我们可以得到： （1.25） 此时，只有当交叉偏导数为零时，和之差为零。希克斯（补偿）需求曲线具备该性质，而马歇尔需求曲线不具备该性质。换句话说，当价格变化很小时，等价变化和补偿变化提供了衡量税收超额负担的无路径依赖的方法。 通过包络定理（已经讨论过）可得，支出函数的单个价格pi的导数是该种商品的希克斯需求函数或补偿需求函数。因此，希克斯变化也可以表示为（对于合适的值）： （1.26） 图1.7给出我们特定的例子中不同定义下的超额负担。 q 图1.7 对无谓损失的不同衡量 第七节 结 论 在这一章，我们讨论了公共经济学中会用到的消费者需求理论中的几个重要概念。我们从消费者需求理论中的几个基本定义入手，讨论了消费者效用最大化问题中的偏好排序和效用，并指出了两者之间的联系。之后，我们给出了利用补偿变化和等价变化以及补偿需求函数和非补偿需求函数来衡量诸如福利变化等重要概念，以及罗伊恒等式等。当然，这些讨论既不充分也不完整。然而，这些讨论为本书以后的内容奠定了基础。在第二章中，我们将开始学习福利经济学的内容，届时会明显体会到这一点。 补充读物 本章的这部分内容是研究生在微观经济学理论中要学习的内容。可参考马斯克莱尔等（Mas-Colell et al.，1995）和克雷普斯（Kreps，1990）教材的内容。 附 录 本附录回顾经济变化所引起的具体的福利效应，其中包括税收的福利效应。假定消费者偏好（Ri）是已知的，且从偏好关系Ri中可以推导出间接效用函数Vp,yi。当价格发生变化，由向量p0变化至向量p1时，消费者的境况变好，并可以表示为。如果要衡量福利变化水平，我们可以构造与支出函数有关的用货币表示的间接效用函数。以间接效用函数开始，选择一个任意的价格向量，考虑支出函数。当价格为时，为了达到效用水平而需要的支出水平。因为支出随着的增加而直接增加，所以支出函数可以看作是Ri的间接效用函数。因此，可以看作是以货币衡量的福利变化的简单方法。 在价格向量中任意选择两个价格：一个为初始价格p0，一个为最终价格p1。希克斯（Hicks，1939）第一次讨论由这种选择导致的两种著名的福利变化的衡量方法：等价变化（EV）和补偿变化（CV）。为了表达方便，令： 注意 这时，我们可以定义： 等价变化是指等价于价格变化所引起的福利影响的消费者财富（或支出）的变化（即消费者所接受的能够代替价格变化的货币数量）。表示为了获得u1的效用水平而维持价格为p0时消费者的财富或支出水平。 另外，补偿变化衡量的是计划者的净收入。计划者必须要因价格的变化而补偿消费者，使其能够恢复到原来的效用水平u0。附图1.1和附图1.2显示等价变化和补偿变化。 q 附图1.1 等价变化的收入解释[⑥] 希克斯需求曲线为我们显示了等价变化和补偿变化。不考虑总损失，假设只有x1的价格发生了变化，因此： q 附图1.2 补偿变化的收入解释 因为w，且，所以，我们可以得到： 式中， 类似地，补偿变化可以记作： 希克斯需求曲线中的等价变化和补偿变化如附图1.3（a）和附图1.3（b）所示。 附图1.3（a）和附图1.3（b）解释了当商品是正常品的情况，从图中我们可以看出：。 当商品是低档商品时，EV和CV之间的关系正好相反。如果对于商品没有财富效应，那么CV和EV是相等的，因为： q （a）等价变化 q 附图1.3 希克斯需求中福利的衡量 q （b）补偿变化 q 附图1.3 希克斯需求中福利的衡量（续） 不考虑财富效应，CV和EV的值被称为马歇尔（或非补偿的）消费者剩余的变动量。 商品税所导致的无谓损失 假设政府对商品按单位从量征收t的税收。此时，商品的价格变化为，同时其他所有的商品的价格保持不变仍为。 那么，征收商品税的税收收入为。为了获得同样的税收收入，也可以不征收商品税而改征总额税。如果商品税导致的等价变化是负的且小于-T，那么，因为商品税的扭曲会使消费者的境况变差，从而使消费者的财富相比在征收总额税时的财富减少。 我们可以从支出函数入手来分析这一情况，如果，那么，征收商品税会使得消费者的境况变差，因此，要使消费者在存在商品税的情况下达到效用水平就要使其在价格为时拥有更多的财富。由此，的差额被称为商品税的无谓损失。商品税的无谓损失是指消费者境况变差的损失超过了所缴纳的商品税金额，而该部分金额与商品税之和等于总额税。 无谓损失可以通过效用水平为的希克斯需求曲线来表示。因为，我们可以将无谓损失写作： 因为对于是非递增的，该表达式是非负的，如果对于是严格递减的话，那么该表达式是严格大于零的。附图1.4（a）和附图1.4（b）的阴影部分表示无谓损失。 q （a）基于效用水平u1的衡量 q （b）基于效用水平u0的衡量 q 附图1.4 补偿的无谓损失的不同衡量方式 在附图1.5中，因为，所以消费束不仅在预算集中的预算线上，而且也在预算集中的预算线上。相反，消费者在价格为，效用水平为时的预算集为。此时，无谓损失等于附图1.5中预算集和预算集的预算线之间的垂直距离。 希克斯需求曲线也可以用来计算税收的无谓损失。但是，这是通过另外一种方式来衡量商品税的无谓损失的。在这种情况下，我们寻求的是当政府打算补偿消费者以使其在征税后的福利水平等同于他的税前福利水平时，所要衡量的由此导致的盈余或赤字。当政府征收的税收小于，或时，那么政府就会出现赤字。因此，赤字[⑦]可以记作： q 附图1.5 商品税导致的无谓损失的不同表达方式 只要对于是严格递减的，那么赤字就严格大于零。附图1.6的阴影部分表示无谓损失。 q 附图1.6 水平供给曲线下的超额负担 利用瓦尔拉斯需求曲线近似地衡量福利 从上述讨论中，我们可以清晰地得知，利用适当的希克斯需求曲线的左边区域可以准确地计算出商品1的价格变化所导致的福利变化水平。但是我们不能直接得到希克斯需求曲线。最近，一种更简单的利用瓦尔拉斯需求曲线的方法被用来衡量超额负担。这种方法被称为面积变化测量法（AV），定义如下： 它表示当商品是普通商品时，面积变化测量法中补偿变化会变大而等价变化会变小。当是低档商品时，情况正好相反。这样，面积变化测量法就不需要给出因几种商品价格变化所引起的福利变化的确切值。如果考虑商品的财富效应很小时，近似误差就会很小而且面积的变化也相当准确。类似地，如果很小，那么利用面积变化测量法所产生的误差作为实际价值变化的一部分也会非常小。 附图1.6中的B D部分衡量就是当很小时，面积变化部分与实际补偿变化之间的差额作为实际补偿变化的一部分也是非常小的。因此，面积变化测量法是价格变化很小时衡量补偿变化的一种好方法。虽然如此，作为无谓损失一部分的近似误差也可能是非常大的。用瓦尔拉斯需求曲线计算的无谓损失是区域A C部分，而实际损失是区域A B部分。当价格变化趋近于很小时，两块区域之差不会随之变小。 当很小时，存在一个渐进的趋近过程。对在时取一阶泰勒级数近似值，可得： 然后，计算： 作为福利变化的近似值。附图1.7描述了函数。 q 附图1.7 福利变化的近似值 因为当价格变动很小时，与真实的希克斯需求函数在处有相同的斜率，所以，近似值会越来越趋近于真实的福利变化。 从瓦尔拉斯需求函数中，我们可以直接得到该近似值。这一点之所以成立，是因为在瓦尔拉斯需求函数条件下，可以单独表达出和。且在点处，瓦尔拉斯需求函数的导数为。 更进一步，因为只有的价格发生了变化，因此： 其中， 当很小时，这一方法提供了比面积变化测量法更准确的计算真实补偿变化的近似值的方法。从另一方面来看，当很大时，很难判断出哪一种方法计算的近似值更准确。 [①] 应为aPib和bPic。译者注。本书各章的脚注均为译者注，在此统一说明。

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