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ω1 ，我们把Δ ω 与这段时间间隔Δ t 的比值，称为刚体在这段时间内的平均角加速 度，用β　 ― 表示，即 β　 ― ＝ Δ ω Δ t 当Δ t ?0 时，平均角加速度的极限值称为瞬时角加速度，简称角加速度，并用β表示，即 β ＝ lim Δ t ?0 Δ ω Δ t ＝ dω dt ＝ d2 θ dt2 （1-2） 角加速度的单位为弧度秒2 （rads2 ） ，角加速度也是矢量，角加速度的方向与dω 方向一致。 4.角量与线量的关系 我们通常把描写质点运动的量称为线量，把描写刚体转动的量称为角量。 当刚体做定轴转动时，刚体上各点在做圆周运动，所以刚体上某一点的运动可以用中学物理学 学过的位移、速度、加速度等来加以描述，既然角量与线量都可以用来描述刚体的运动规律，那么线 量与角量之间必然有一定的关系。 如图1-2 所示，刚体上某点P 在Δ t 时间内转过的角位移为Δ θ，从而到达P′处，此时点P 发生的 位移大小为Δ s ，当Δ t 很小时，弦长可近似等于弧长，即 Δ s ＝ r ? Δ θ 或 ds ＝ r ? dθ （1-3） 式中，r 为P 点到转轴的垂直距离。根据速度的定义，P 点的速度为 v ＝ lim Δ t ?0 Δ s Δ t ＝ lim Δ t ?0 r ? Δ θ Δ t ＝ r ? lim Δ t ?0 Δ θ Δ t 即 v ＝ r ? ω （1-4） （1-4）式若写成矢量式则为 v ＝ ω × r （1-5） 若将（1-4）式两侧对时间t 求导数，又可得 dv dt ＝ r dω dt 上式等号左侧是质点的切向加速度，用at 表示，dω dt为刚体的角加速度，故有 at ＝ r ? β （1-6） 由于向心加速度an ＝ v2 r ，即an ＝ rω2 ，所以刚体上任一点的总加速度a＝ at + an ，其大小为 a＝ a2 n + a2t （1-7） 第二节　转动动能　转动惯量 一、刚体的转动动能 当刚体绕固定轴转动时，我们可以将刚体看成是由许许多多的质量元组成的，假设这些质量元 的质量分别为Δ m1 ，Δ m2 ，… ，Δ mn ，这些质量元对应于转轴的距离分别为r1 ，r2 ，… ，rn ，各质量元绕转 轴转动的角速度都等于ω ，但各质量元的线速度不同，分别为v1 ，v2 ，… ，vn ，刚体的动能就是各个质量 元的动能之和，即 Ek ＝ 1 2 Δ m1 v21 + 12 Δ m2 v22 + … + 12 Δ mn v2 n 　 ＝ Σ 12 Δ mi v2i ＝ Σ 12 Δ mi r2iω2 ＝ 1 2 Σ Δ mi r2i ω2 （1-8） 二、转动惯量 （1-8） 式中的Σ Δ mi r2i 用I 来表示，称为刚体对某给定转轴的转动惯量。因此，刚体的动能又可 写成 Ek ＝ 12 Iω2 （1-9） 若把（1-9） 式与质点的动能12 mv2 相对照，（1-9） 式中的ω相当于质点运动的v ，I 相当于质点的质量 m ，m是表示质点运动惯性大小的物理量，类似地，I则是表示刚体转动惯性大小的物理量。转动惯量 I 的计算如下： I ＝ Σ Δ mi r2i （1-10） 若刚体质量分布是连续的，则刚体的转动惯量I 可写成积分的形式，即 I ＝ ∫r2 ? dm ＝ ∫r2 ? ρ? dV （1-11） 式中，dV 表示dm 处的体积元；ρ表示刚体在某体积元dV 处的密度，r 表示体积元到转轴的距离。转 动惯量的单位是千克? 米2 （kg ? m2 ） 。 刚体的转动惯量不仅取决于刚体总质量的大小，还和刚体的形状、大小及各部分质量的分布有 关，同一物体由于轴的位置不同，转动惯量也不同。 如图1-4 所示，棒长为l 、质量为m的均匀细棒，其截面面积为S，转轴与棒垂直。 图1-4 　转轴位置不同 当转轴位于棒中心处时，转动惯量为 I ＝ ∫x2 ? dm ＝ ∫x2 ? ρ? S ? dx ＝ ∫ l 2- l2 x2 ? m S ? l ? S ? dx ＝ 1 12 ml2 当转轴位于棒的端点时，转动惯量为 I ＝ ∫x2 ? dm ＝ ∫x2 ? ρ? S ? dx ＝ ∫l 0 x2 ? m S ? l ? S ? dx ＝ 1 3 ml2 对于几何形状比较简单，密度分布均匀或有规律的物体，可以用数学方法求出物体的转动惯量， 否则需用试验方法测定。表1-1 给出了几种常见物体的定轴转动的转动惯量，以供参考。 　例1-1 　如图1-5 所示，试求一质量为m 、半径为R 的 均匀圆盘围绕过其圆心且垂直于圆面的定轴转动的转动 惯量。 解　取半径为r 、宽度为dr 的细圆环为质量元dm ，设 圆盘的面密度即单位面积的质量为σ，则σ＝ m πR2 ，那么质量 元dm应为 dm ＝ σ? 2π r ? dr 所以 I ＝ ∫r2 ? dm ＝ ∫R 0 r2 ? σ? 2π r ? dr ＝ 2πσ∫R 0 r3 ? dr ＝ 1 2 mR2 即此圆盘的转动惯量为 1 2 mR2 。 三、质心坐标的确定 若把刚体看成是由质点系组成的，那么对这些质点可以写出牛顿第二定律，即 mi ai ＝ fi + Fi （1-12） 式中，mi 表示第i 个质点的质量；ai 是它的加速度；Fi 是它所受的外力；fi 是其他质点对它的作用力 （内力） 。显然这类方程的数目应该与质点的数目相等，由于方程的数目非常大，解方程找出质点的 运动状态是非常困难的。 但是，试验证明，在刚体上存在一特殊点，该点的加速度aC 等于刚体上所受的外力的矢量和F 与刚体的质量m 的比值，即 aC ＝ F m （1-13） 也就是说，可以认为刚体的全部质量和所受的一切外力都集中在这一点上，并且可以按质点运动规 律求出它的加速度，这样一个特殊点称为刚体的质量中心或简称质心。 图1-6 下面我们讲解如何确定质心的位置，首先讨论由两 个质点所组成的质点系，设两个质点的质量分别为m1 和m2 ，在两质点的连线上作一坐标轴即Ox 轴，如图1-6 所示。设m1 的坐标为x1 ，m2 的坐标为x2 ，假设C 点为 质心，则C点的坐标xC 应满足下式： m1 xC - x1 ＝ m2 x2 - xC 即 xC ＝ m1 x1 + m2 x2 m1 + m2 对于由三个质点组成的质点系，可以先就其中两个质点按上述方法确定出质心，把该质心看成是一 个新的质点，然后用同样的方法把此新的质点与第三个质点的质心找出来，最后确定的这个质心才 是这三个质点所组成的质点系的质心。据上述道理，对于多个质点所组成的系统，质心的位置由下 列三个公式确定： xC ＝ Σ mi xi Σ mi （1-14） yC ＝ Σ mi yi Σ mi （1-15） zC ＝ Σ mi zi Σ mi （1-16） 四、平行轴定理与垂直轴定理 在计算刚体的转动惯量时，经常用到平行轴定理及垂直轴定理。 1.平行轴定理 图1-7 　平行轴定理 同一刚体对于不同的轴有不同的转动惯量，设 有两个转动轴，其中Cz 轴通过刚体的质心，C 点为 刚体的质心；另一与它平行的轴是Oz′轴，如图1-7 所示。取坐标系Cxy z 及Ox′y′z′ ，且使Cy 轴与Oy′ 轴重合，Cz 轴与Oz′轴之间的垂直距离为d ；质量元 Δ mi 到Cz 轴及Oz′轴的距离分别为ri 及r′i ；Δ mi 在 Cxy z 坐标系及Ox′ y′ z′坐标系中的坐标分别为 xi ，yi ，zi 及x′i ，y′i ，z′i 。按照转动惯量的定义， 则刚体对Cz 轴及对Oz′轴的转动惯量分别为 IC z ＝ Σ Δ mi r2i ＝ Σ Δ mi x2i + y2i IO z′ ＝ Σ Δ mi r′i 2 ＝ Σ Δ mi x′i 2 + y′i 2 Δ mi 在两坐标系中的坐标有如下关系： x′i ＝ xi y′i ＝ yi - d z′i ＝ zi 将上述关系代入IOz′的表达式中可得 IO z′ ＝ Σ Δ mi x2i + yi - d 2 ＝ Σ Δ mi x2i + y2i + d2 Σ Δ mi - 2 d Σ Δ mi yi 式中， Σ Δ mi yi 根据质心坐标确定的（1-15） 式可得 Σ Δ mi yi ＝ yC ? Σ Δ mi 因yC 为刚体质心的坐标，令刚体质心在坐标系Cxy z 中的坐标为（0 ，0 ，0） 即与坐标原点重合，故 yC ＝ 0 ，因而有Σ Δ mi yi ＝ 0 ，又因为IC z ＝ Σ Δ mi x2i + y2i ，于是 IO z′ ＝ IC z + md2 （1-17） （1-17） 式表明，刚体对于某轴的转动惯量等于刚体对于通过其质心且与该轴平行的轴的转动惯量 加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。这就是平行轴定理。 图1-8 　垂直轴定理 2.垂直轴定理 设有一个厚度均匀的薄板，取坐标系Oxy z ，Oz 轴垂 直于薄板，Ox 轴及Oy 轴都位于薄板内，Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴都交于薄板内一点O ，如图1-8 所示。则薄板对Oz 轴的 转动惯量为 IO z ＝ Σ Δ mi x2i + y2i ＝ Σ Δ mi x2i + Σ Δ mi y2i ＝ IO x + IOy （1-18） （1-18）式表明：薄板对于垂直于板面的轴Oz 的转动惯量

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