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| 編輯推薦： |
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本书作者是北京大学教授、博士生导师，是偏微方程方面的专家，在退化椭圆和抛物型方程(组)、非线性椭圆 和抛物型方程方面取得突出的研究成果。本书被列入数学 “101 计划”核心教材，其前身是《北京大学数学教学系列丛书》中的《偏微分方程》。《偏微分方程》是普通高等学校国家级“十一五”规划教材，自出版以来得到了广大读者的认可和好评。与同类教材相比，本书有以下特点：1.利用数学分析(微积分)来讲解偏微分方程。2.在选材上贯彻少而精的原则， 充分反映了偏微分方程中的核心内容。3.强调学生对偏微分方程的基本理论和基本方法的理解和掌握。4习题有趣和富有启发性，力求使偏微分方程变得通俗易懂。
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| 內容簡介： |
本书是为高等院校基础数学和计算数学等专业本科“偏微分方程”课程编写的教材， 入选为数学“101 计划”核心教材。本书的前身是《北京大学数学教学系列丛书》中的《偏微分方程》。 本书是根据关于“101 计划”核心教材的精神和要求，在原教材上进行修改补充而成的升级版和精练版。
全书共分为四章， 重点论述偏微分方程中最简单的位势方程、热方程与波动方程的基础理论和基本方法。在各章节中， 分别介绍位势方程的边值问题、热方程与波动方程的初值问题和混合问题的求解方法， 同时介绍关于这些问题的一些先验估计， 从而解决这些问题的解的存在性、唯 一性和稳定性等关键问题。本书的基本想法是利用微积分的知识来讲解偏微分方程. 在选题上，充分论述偏微分方程中的基础理论和基本方法; 在内容处理上， 由浅入深，循序渐进; 在叙述表达上， 严谨精练， 清晰易读. 为了方便教学与自学， 帮助读者理解和拓广所学知识， 每章配置了大量富有启发性的习题， 书末附有习题答案和提示， 其中对一些困难的习题给出详尽的解答，便于教师和学生参考。
本书可作为高等院校基础数学、计算数学、应用数学、金融数学、统计学、物理学、力学、生物数学等专业以及相关专业本科“偏微分方程”课程的教材或教学参考书， 也可供需要应用偏微分方程的相关知识的科研人员参考。
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| 關於作者： |
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周蜀林：北京大学数学科学学院教授、博士生导师。主要研究向是偏微分方程及其应用。对偏微分方程领域的方法应用熟练，在退化椭圆和抛物型方程（方程组），完全非线性椭圆和抛物型方程方面已取得一些突出的研究成果。
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| 目錄：
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第一章引言 1
1.1偏微分方程的基本概念 2
1.2实例 5
1.3适定性 10
习题一 13
第二章位势方程 15
2.1调和函数 19
2.1.1实例 19
2.1.2平均值公式 20
2.1.3单调性不等式 30
2.2基本解和Green函数 34
2.2.1基本解 34
2.2.2 Green函数 39
2.3极值原理和最大模估计 51
2.3.1极值原理 51
2.3.2最大模估计 55
2.4能量模估计 58
2.5零延拓问题 60
2.5.1内部零延拓问题 61
2.5.2边界零延拓问题 64习题二 66
第三章热方程 77
3.1初值问题 80
3.1.1 Fourier变换和 Fourier积分 80
3.1.2热核和基本解 90
3.2混合问题 95
3.2.1特征值问题 95
3.2.2 Green函数 102
3.3极值原理和最大模估计 108
3.3.1极值原理 108
3.3.2混合问题的最大模估计 110
3.3.3初值问题的最大模估计 114
3.4混合问题的能量模估计 118
3.5反向问题的不适定性 120
习题三 123
第四章波动方程 133
4.1初值问题 136
4.1.1问题的简化 136
4.1.2一维初值问题 139
4.1.3一维半无界问题 143
4.1.4多维初值问题 147
4.1.5特征锥 158
4.1.6能量不等式 161
4.2混合问题 166
4.2.1分离变量法 167
4.2.2驻波法与共振 173
4.2.3能量不等式 175
4.2.4广义解 179
习题四 187
习题答案与提示 199
名词索引 229
符号索引 233
参考文献 237
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| 內容試閱：
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编写本书的出发点是利用微积分来讲解偏微分方程．读者只需要掌握多元微积分的一些基础知识就能读懂本书大部分内容， 并对偏微分方程基础理论和基本方法有一些直观的认识．编写本书的目的是使“偏微分方程” 这门课程变得通俗易懂， 满足多层次读者的需求， 让更多的读者了解和掌握偏微分方程的基础理论和基本方法．本书的选题遵循少而精的原则， 适当包括一些现代化题材， 尝试与当代的偏微分方程研究建立更紧密的联系.
本书主要介绍偏微分方程中的三个方程：位势方程、热方程和波动方程．在各章节中， 分别介绍位势方程的边值问题、热方程与波动方程的初值问题和混合问题的求解方法， 同时介绍关于这些问题的一些先验估计， 从而解决这些问题解的存在性、唯一性和稳定性等关键问题．
全书分四章进行编写. 第一章主要介绍偏微分方程的术语和准备知识．第二章主要介绍位势方程的基础理论和基本方法．由于调和函数在现代分析中占有重要的地位， 这一章先重点介绍调和函数及其性质， 同时介绍位势方程的基本解和如何使用基本解来构造位势方程边值问题的Green 函数， 进而得到位势方程边值问题解的表达式; 然后介绍位势方程最重要的先验估计——极值原理和最大模估计．第三章主要介绍热方程的基础理论和基本方法．首先， 重点介绍Fourier 变换方法和分离变量法. 然后， 利用Fourier 变换方法求出热方程初值问题解的表达式，并由此导出热方程的基本解; 利用分离变量法求出一维热方程混合问题解的表达式， 并由此导出热方程混合问题的Green 函数．最后， 介绍关于热方程的混合问题与初值问题的各种极值原理和最大模估计．第四章主要介绍波动方程的基础理论和基本方法．首先， 介绍特征线法、球面平均法和降维法， 并利用这些方法求出一维、二维和三维波动方程初值问题解的表达式; 同时， 介绍波动方程的重要概念——特征线(或特征锥)， 并推导波动方程基本的先验估计——能量不等式．然后， 利用分离变量法求出一维波动方程混合问题解的表达式， 并推导波动方程混合问题的能量不等式．
本书每一章配有一些富有启发性的习题．这些习题可帮助读者深入理解偏微分方程的基础理论， 牢固掌握偏微分方程的基本方法， 同时也可作为已知的结果应用于偏微分方程实际问题的研究．书中带有* 号标注的内容难度较大， 建议初学者跳过. 在本书编写过程中， 笔者得到了数学“101 计划” 工作组的正确指导、北京大学出版社的大力支持和北京大学数学科学学院“偏微分方程” 课程教研团队的鼎力相助， 在此向他们表达深深的谢意！借此机会， 笔者衷心感谢北京大学数学科学学院偏微分方程方面的前辈——姜礼尚、吴兰成、陈亚浙、叶其孝、刘西垣、黄少云、王耀东等教授的谆谆教诲! 与此同时， 笔者还要感谢2000 年以来使用过原教材的蒋美跃、王保祥、王冠香、史宇光、章志飞、王超等老师和各年级的同学们， 特别是邢浩、王晓宇、黄晶、赵斌、周帆、黄万志、吕蓓蕾、夏铭涛、张钺、张佳昕等同学. 笔者特别感谢蔡勇勇、姚锋平、孙玉、张克竞、回广宇、胡天晓等同学对书稿做出的重要贡献！另外， 笔者还收到了海内外许多师生关于书稿的反馈、意见和建议， 在此一并表达真切的谢意！在本书的出版过程中， 责任编辑曾琬婷女士倾注了很多心血， 付出了辛勤的劳动， 笔者对她表示衷心的感谢! 本书得以面世， 离不开前述诸位的支持和帮助.
尽管笔者希望这本书尽善尽美， 但由于水平有限， 书中难免存在一些谬误和缺陷， 还望各位读者海涵和雅正.
周蜀林
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