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| 編輯推薦： |
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本书遵循教指委相关指导文件和高等院校学生学习规律编写而成。践行四新理念，融入思政元素，注重理论与实践相结合。
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| 內容簡介： |
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本书是针对数据科学与统计专业学生编写的线性代数教材，共分为 5章:线性方程组与矩阵的运算、线性方程组的解集结构与向量空间、 正交与奇异值分解、行列式、特征值与特征向量. 本书兼顾理论和应用、 证明和计算，强调理论与应用结合、代数与几何结合、分析推理与直观 感觉结合. 学生通过对本书的学习，可以为以后专业课的学习打下扎实 的线性代数基础. 同时，本书使用 Julia 软件作为计算、绘图工具，开 放源代码，学生可以进行一定的计算和编程训练. 在数字时代，线性代 数的工具性对于人才发展至关重要，进行“工具型”的线性代数基础教 育，可以培养学生在数字时代的数学能力和问题解决能力. 此外，本书 包含了丰富的思政元素，可以引导学生树立正确的世界观、人生观、价 值观. 本书除适合数据科学与统计专业学生使用外，也可供数学相关专业 学生阅读.
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| 目錄：
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前言
第 1 章 线性方程组与矩阵的运算 1
1.1 向量 2
1.2 线性方程组 6
1.3 消元法 16
1.4 矩阵的逆 30
1.5 矩阵的转置与置换矩阵 42
第 2 章 线性方程组的解集结构与向量空间 50
2.1 向量空间及其子空间 51
2.2 线性相关和线性无关的向量组 54
2.3 齐次线性方程组的解集结构 62
2.4 非齐次线性方程组的解集结构 71
2.5 和矩阵相关的四个子空间 77
2.6 非线性方程组的解 * 82
第 3 章 正交与奇异值分解 91
3.1 欧几里得空间 92
3.2 矩阵的四个子空间 96
3.3 奇异值分解 * 104
3.4 投影与最小二乘法 116
3.5 Gram-Schmidt 正交化 127
3.6 正交函数 * 134
第 4 章 行列式 143
4.1 行列式的定义、性质及其计算 143
4.2 行列式按行 (列) 展开、克拉默法则 149
VIII 线性代数:从理论到应用(数据科学与统计专业适用)
4.3 分块矩阵 161
第 5 章 特征值与特征向量 169
5.1 矩阵的特征值与特征向量 169
5.2 矩阵的对角化 182
5.3 对称矩阵的对角化与二次型 193
5.4 正定矩阵与正定二次型 209
5.5 主成分分析 * 217
5.6 马尔可夫链 * 223
5.7 解微分方程组 * 229
附录 243
附录 A 习题答案 243
A.1 线性方程组与矩阵的运算 243
A.2 线性方程组的解集结构与向量空间 265
A.3 正交与奇异值分解 283
A.4 行列式 294
A.5 特征值与特征向量 306
附录 B 相关概念和软件使用 323
B.1 相关概念 323
B.2 Julia 326
索引 328
参考文献 332
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| 內容試閱：
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前 言I
2022 年 6 月，在一门精算课程期末考试中，我让学生们计算汽车保险奖惩系数的 稳态分布，其中一个问题是计算 2 2 马尔可夫转移概率矩阵的特征值与特征向量. 最 后，仅有极少数学生准确回答了这个问题. 这反映了当前很多大学代数教育的问题:在 低年级，为了打好数学基础，学生需要学习高等代数、数学分析，而不仅只学线性代数 和微积分，但是，在高年级，学生对专业课中所应用的向量空间、投影、特征值、特征 向量、奇异值分解等缺乏深刻理解. 作为一名统计学院的老师，我非常了解代数在数据科学时代的重要性. 代数是数据 科学、机器学习、统计学、计算机科学、工程学等学科的基础，它在这些领域中发挥着关 键作用. 但是，当前大部分线性代数和高等代数教材都难以满足非数学专业的要求:大 部分线性代数教材理论不够完整，缺少必要的证明，无法让学生从一定高度理解专业课 中代数的应用，这会影响学生以后的深造;一些高等代数教材包含太多证明细节，虽然 完整和深刻，但缺乏必要的直观解释和实际应用，学生无法把生硬的理论放入已有知识 框架中，难以与其他知识产生联系. 对于非数学专业的学生，我们既需要提供一个完整的代数知识框架，也需要帮助搭 建从理论到实践的桥梁. 当前，大部分代数教材由数学系老师编写，主要内容是介绍理 论，忽视了代数的 “工具性”. 理论和应用通常彼此促进，理论支持应用，应用需求促使 理论完善，忽视哪一方面都难以发挥代数的巨大作用. 基于理论与应用同样重要的理念，我们编写了本书. 在编写过程中，我们参考了很 多国内外有影响力的代数教材. 其中，北京大学丘维声老师编写的《高等代数(上)》和 麻省理工学院 Strang 教授编写的 Introduction to Linear Algebra(fifth edition)给了我 们很大启发. 为了保证知识结构的完整性，本书涵盖了《高等代数(上)》的所有理论知 识和 Introduction to Linear Algebra(fifth edition)前 9 章理论知识. 同时，本书引入了 很多应用实例，或帮助读者建立代数理论与实践的联系，或启发读者对理论进行更深入 的研究. 我们相信，在数据科学时代，代数应该是丰富多彩的.IV 线性代数:从理论到应用(数据科学与统计专业适用) 本书简介 线性代数是大学数学最主要的基础课程之一，构成了高等代数上半部分. 本书分为 5 章:第 1 章线性方程组与矩阵的运算，第 2 章线性方程组的解集结构与向量空间，第 3 章正交与奇异值分解，第 4 章行列式，第 5 章特征值与特征向量. 这 5 章将讲述线 性代数中的经典理论与应用，如线性方程组解集结构、线性变换、矩阵的秩、线性无关、 向量空间的基与维度、正交矩阵、向量组正交规范化、行列式计算、特征值和特征向量 计算、复矩阵、矩阵的对角化、二次型、正定矩阵等;同时，讲述一些前沿的重要理论 与应用，如数据科学中的奇异值分解、多维牛顿迭代法，统计学中的主成分分析、最小 二乘法、马尔可夫转移概率矩阵，工程学中的微分方程组、简谐运动. 本书兼顾理论和 应用、证明和计算，强调理论与应用结合、代数与几何结合、分析推理与直观感觉结合. 学生通过学习本书，能够为以后专业课打下扎实的代数基础，同时，锻炼抽象和泛化思 维，培养严谨的推理能力和敏锐的数学直觉，并进行一定的计算和编程训练. 为了让读 者把握线性代数的核心内容，我们对一些难度偏大、非重要的概念、定理、证明、例子 等标注了星号，读者可以略过星号内容. 思政设计 在线性代数的学习中，学生能够体会并理解党的多项基本方针和政策，如坚持“原 则”、解放“思想”、灵活“应用”、“实”事求“是”;了解著名数学家的生平及其经典语 录，树立正确的世界观、人生观、价值观，培养爱国情怀，“让党放心、不负人民”. 本书特色 本书最大的特色是不仅提供了严谨的定义和严格的定理证明，还包含了丰富的应用 案例，使用 Julia 软件进行计算. 本书搭建了从理论到应用的桥梁，让读者既深刻理解 线性代数中重要的定义、定理，又感受到线性代数的重要应用价值. 具体而言，本书的 特色体现在以下五方面: 1. 包含丰富的应用案例. 在第 2 章，应用多维牛顿迭代法解非线性方程组，求电荷 平衡状态的位置. 在第 3 章，应用奇异值分解、低秩估计，对图像进行压缩. 在 第 5 章，应用奇异值分解，对表格数据进行主成分分析;应用矩阵的幂运算，求 马尔可夫链的稳态分布，介绍谷歌网页排序算法 PageRank;应用矩阵的指数运 算，解微分方程组，求简谐运动的位移、速度函数. 2. 使用 Julia 软件作为计算、绘图工具，并开放源代码. 本书使用 Julia 软件进行 LU 分解、逆矩阵计算、图像压缩、函数拟合、QR 分解等. 虽然手算仍是每 位学生的技能，但在计算机时代，从长远看来，每位学生需要了解计算机如 何进行计算，并能读懂计算机的输出结果. 此外，本书大部分插图用 Julia 软件 绘制. 把行列式放在第 4 章. 几乎所有教材的第 1 章都介绍行列式，很多学生在没有 接触线性代数核心内容之前，就迷失在复杂的公式和抽象的证明中. 本书从解线 性方程组入手，首先讲述矩阵运算、向量空间、欧几里得空间，让学生更容易掌 握线性代数的核心部分. 本书前三章的证明均不使用行列式，使读者对重要的定 义和定理有深刻而直观的理解. 4. 帮助备
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