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| 編輯推薦： |
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本书是“101计划”物理学领域核心教材。书中内容不仅涵盖“数学物理方法”课程大纲的全部内容，还增加了很多为后续课程学习的进阶内容。本书作者吴崇试教授是长期享誉国内的名师，出版过多部经典教材。为了使内容更加丰富， 同时又不使教材篇幅过多，本书除了纸质出版物之外，还以数字资源形式提供了课程录像和课外阅读材料。
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| 內容簡介： |
本书是101计划的物理专业课程核心教材，是在《数学物理方法（第三版）》的基础上改造，从课程在整个物理专业教学计划中的定位出发，根据101计划的指导思想编写。本课程立足于在高等数学和普通物理的基础上，为学习后继课程（如电动力学和量子力学）做准备。且本教材增加了与后继课程的衔接，添加了若干与后继课程相关的例题。
本书共分为三个部分，第一部分是复变函数，共10章。第二部分是数学物理方程，共11章。第三部分是选读材料汇编，共2章。本书内容融入了作者在长期教学中的思考与沉淀，在若干问题上才用了不同于传统教材的讲法。
本书还提供全部内容的课程录像，以及大量的课外阅读材料，这些内容都将以数字化资源的形式出现。
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| 關於作者： |
吴崇试
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1938年生，1962年毕业于北京大学物理系。北京大学物理学院教授，博士生导师。享受政府特殊津贴。一直从事数学物理方法课程的教学工作，担任课程主持人直至退休。1996—2016年担任高校数学物理方法研究会理事长。编著有《数学物理方法》《数学物理方法习题指导》《数学物理方法题解》《数学物理方法专题――复变函数与积分变换》《数学物理方法专题――数理方程与特殊函数》《和式与积分集录》等著作。
“数学物理方法”课程是北京大学优秀主干基础课程。2003年评为北京市高等学校精品课程，2004年评为国·家·级精品课程，2013年又评为国·家·级资源共享课程，并获得2004年北京大学教学成果奖一等奖以及2004年北京市教育教学成果（高等教育）一等奖。2023年课程录像（慕课）被评为（第二批）国·家·级线上一流课程。
高春媛
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北京大学物理学院技术物理系副教授，长期在北京大学讲授“数学物理方法”课程以及北京大学工学院“近代物理”课程。主要研究方向为理论核物理及激光物理，尤其是X射线激光和γ射线激光。
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| 目錄：
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第一部分 复变函数
第一章复数和复变函数
x1.1 预备知识: 复数与复数运算
x1.2 复数序列
x1.3 复变函数
x1.4 无穷远点
¤x1.5 正十七边形的尺规作图问题
习题
第二章解析函数
x2.1 复变函数的极限和连续
x2.2 可导与可微
x2.3 解析函数
x2.4 初等函数
¤x2.5 解析函数的保角性
x2.6 多值函数
习题
第三章复变积分
x3.1 复变积分
x3.2 Cauchy 定理
x3.3 两个常用的引理
x3.4 Cauchy积分公式
x3.5 Cauchy 型积分
x3.6 解析函数的高阶导数公式以及Cauchy 积分公式的其他推论
x3.7 含参量积分的解析性
¤x3.8 Poisson 公式
¤x3.9 色散关系
习题
第四章无穷级数
x4.1 复数级数
x4.2 二重级数
x4.3 函数级数
x4.4 幂级数
x4.5 含参量的反常积分的解析性
¤x4.6 发散级数与渐近级数
习题
第五章解析函数的无穷级数展开
x5.1 解析函数的Taylor 展开
x5.2 Taylor 级数求法举例
x5.3 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性
x5.4 解析函数的Laurent 展开
x5.5 Laurent 级数求法举例
x5.6 单值函数的孤立奇点
x5.7 解析延拓
¤x5.8 Bernoulli 数和Euler 数
x5.9 半纯函数的有理分式展开
习题
第六章留数定理及其应用
x6.1 留数定理
x6.2 有理三角函数的积分
x6.3 无穷积分
x6.4 含三角函数的无穷积
x6.5 计算含三角函数无穷积分的新方法
x6.6 积分路径上有奇点的情形
x6.7 涉及多值函数的复变积分
¤x6.8 其他形式的积分围道
¤x6.9 应用留数定理计算无穷级数的和
习题￠
第七章 函数
x7.1 函数的定义
x7.2 函数的基本性质
x7.3 函数
x7.4 B 函数
¤x7.5 一类无穷积分的变换公式
x7.6 函数的普遍表达式
¤x7.7 函数的渐近展开
¤x7.8 Riemann 函数和M obius 变换
习题
第八章二阶线性常微分方程的幂级数解法
x8.1 二阶线性常微分方程的常点和奇点
x8.2 方程常点邻域内的解
x8.3 方程正则奇点邻域内的解
x8.4 Riemann P-方程和超几何方程的解
x8.5 合流超几何方程的解
¤x8.6 方程非正则奇点邻域内的解
x8.7 二阶线性常微分方程的不变式
x8.8 幂级数展开与常微分方程
¤x8.9 常微分方程的积分解法
习题
第九章Fourier 变换
x9.1 Fourier 变换的定义
x9.2 Fourier 变换的基本性质
x9.3 Fourier 变换的Parseval 公式与卷积公式
x9.4 δ函数
x9.5 利用δ函数计算无穷积分
x10.6 Laplace 型常微分方程的积分解法
习题
第十章Laplace 变换
x10.1 Laplace 变换的定义
x10.2 Laplace 变换的基本性质
x10.3 Laplace 变换的反演
x10.4 普遍反演公式
¤x10.5 利用Laplace 变换计算级数和
x10.6 Laplace 型常微分方程的积分解法
习题
第二部分数学物理方程
第十一章数学物理方程和定解条件
x11.1 波动方程
x11.2 热传导方程
x11.3 稳定问题
x11.4 定解条件
x11.5 定解问题的适定性
习题
第十二章线性偏微分方程的通解
¤x12.1 线性方程解的叠加性
¤x12.2 常系数线性齐次偏微分方程的通解
¤x12.3 常系数线性非齐次偏微分方程的通解
¤x12.4 特殊的变系数线性齐次偏微分方程
¤x12.5 波动方程的行波解
¤x12.6 波的耗散和色散
¤x12.7 热传导方程的定性讨论
¤x12.8 Laplace 方程的定性讨论
习题
第十三章分离变量法
x13.1 两端固定弦的自由振动
¤x13.2 分离变量法的物理诠释
x13.3 矩形区域内的稳定问题
x13.4 多于两个自变量的定解问题
x13.5 两端固定弦的受迫振动
x13.6 非齐次边界条件的齐次化
习题
第十四章正交曲面坐标系
x14.1 正交曲面坐标系
x14.2 正交曲面坐标系中的Laplace 算符
x14.3 Laplace 算符的平移、转动和反射不变性
x14.4 圆形区域内的稳定问题
¤x14.5 矢量波动方程和矢量Helmholtz 方程
习题
第十五章常微分方程的本征值问题
x15.1 自伴算符的本征值问题
x15.2 Sturm-Liouville 型方程的本征值问题
x15.3 Sturm-Liouville 型方程本征值问题的简并现象
x15.4 从Sturm-Liouville 型方程的本征值问题看分离变量法
习题
第十六章球函数
x16.1 Helmholtz 方程在球坐标系下的分离变量
x16.2 Legendre 方程的解
x16.3 Legendre 多项式
x16.4 Legendre 多项式的微分表示
x16.5 Legendre 多项式的正交完备性
x16.6 Legendre 多项式的生成函数
x16.7 Legendre 多项式的递推关系
x16.8 Legendre 多项式的Christo el 型和式
x16.9 Legendre 多项式应用举例
x16.10 连带Legendre 函数
x16.11 球面调和函数
x16.12 量子力学中的轨道角动量
¤x16.13 连带Legendre 函数的加法公式
¤x16.14 关于正交多项式的一般讨论
第十七章柱函数
x17.1 Helmholtz 方程在柱坐标系下的分离变量
x17.2 Bessel 方程的解: Bessel 函数和Neumann 函数
x17.3 Bessel 函数的递推关系
x17.4 Bessel 函数的渐近展开
x17.5 整数阶Bessel 函数的生成函数和积分表示
x17.6 Bessel 方程的本征值问题
¤x17.7 虚宗量Bessel 函数
x17.8 半奇数阶Bessel 函数
x17.9 球Bessel函数
x17.10 幂级数展开与偏微分方程
习题
第十八章积分变换的应用
x18.1 Laplace 变换的应用
x18.2 Fourier 变换的应用
¤x18.3 半无界空间的情形
x18.4 关于积分变换的一般讨论
¤x18.5 小波变换简介
习题
第十九章求解微分方程定解问题的Green 函数方法
x19.1 二阶常微分方程的Green 函数
x19.2 常微分方程初值问题的Green 函数
x19.3 常微分方程边值问题的Green 函数
x19.4 偏微分方程定解问题Green 函数的概念
x19.5 稳定问题Green 函数的一般性质
x19.6 三维无界空间Helmholtz 方程的Green 函数
x19.7 圆内Poisson 方程第一边值问题的Green 函数
¤x19.8 波动方程的Green 函数
¤x19.9 热传导方程的Green 函数
习题
第二十章变分法初步
x20.1 泛函的概念
x20.2 泛函的极值
x20.3 泛函的条件极值
x20.4 微分方程定解问题和本征值问题的变分形式
¤x20.5 变边值问题
x20.6 Rayleigh-Ritz 方法
习题
第二十一章数学物理方程综
x21.1 二阶线性偏微分方程的分类
x21.2 线性偏微分方程解法述评
¤x21.3 非线性偏微分方程问题
习题
第三部分选读材料汇编
第二十二章线性微分算符的本征值问题
x22.1 度量空间
x22.2 赋范线性空间与内积空间
x22.3 Hilbert 空间
x22.4 线性算符
x22.5 Hilbert 空间上的线性算符
x22.6 线性微分算符
x22.7 Sturm-Liouville 型方程的本征值问题
x22.8 奇异的本征值问题
第二十三章广义函数
x23.1 线性泛函
x23.2 广义函数
x23.3 广义函数的基本运算
x23.4 奇异广义函数δ
x23.5 广义函数序列的收敛性
x23.6 奇异广义函数1/x
x23.7 广义函数中的微分方程
x23.8 常微分方程初值问题的Green 函数
x23.9 常微分方程边值问题的Green 函数
x23.10 Green 函数的本征函数展开
参考书目
索引
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| 內容試閱：
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本书有幸列入\\101 计划” 作为物理专业课程核心教材出版.
本书是在《数学物理方法》(第三版， 北京大学出版社) 的基础上改编的. 从课程在整个物理专业教学计划中的定位出发， 根据\\101 计划” 的指导思想编写. 本课程立足于在高等数学(包括线性代数) 和普通物理(包括力学、热学、光学、电磁学和原子物理学) 的基础上，为学习后继课程(主要是电动力学和量子力学) 做准备， 包括数学知识和理论物理思维两方面的准备. 所以， 本教材增加了与后继课程的衔接， 添加了若干与后继课程相关的例题.
全书共分三个部分. 第一部分是复变函数， 或称解析函数论， 共10 章. 在介绍了预备知识(复数及其运算法则)、复数序列和复变函数后， 从分学、积分学和无穷级数三个角度比较详细地介绍解析函数的性质. 和国内其他教材相比， 突出的内容有关于多值函数的讨论、Cauchy 定理的严格证明、发散级数与渐近级数等. 在解析函数理论的应用方面， 介绍了解析函数的无穷级数展开、留数定理及其应用、? 函数、二阶线性齐次常微分方程的幂级数解法和Laplace 变换.
在这一部分中， 新增加了不少内容， 例如， 色散关系(x3.9)、亚纯函数的有理分式展开(x5.9)、计算含三角函数无穷积分的新方法(x6.5)、一类无穷积分的变换公式(x7.5)、在二阶线性齐次常微分方程正则奇点邻域内求解的Frobenius 方法(x8.3)、Riemann P- 方程(x8.4)、超几何函数(x8.4) 和合流超几何函数(x8.5)、二阶线性齐次常微分方程的不变式(x8.7)、常微分方程的积分解法(x8.9) 和Frullani 积分(x10.3). 此外， 还增加了Fourier 变换(第九章)， 包括在复平面上的Fourier 变换(x9.6)， 并且从Fourier 变换及其反演引入 函数(x9.4). 这里不少内容是国内现有教材所未曾涉及的.
本书的第二部分是数学物理方程， 共11 章. 在由几类物理问题引出了三类常用的二阶线性偏微分方程以及定解条件后， 介绍了偏微分方程定解问题的常用解法: 分离变量法、积分变换法、Green 函数法和变分法. 其中的重点内容是分离变量法， 介绍了在直角坐标系(第十三章)、平面极坐标系(第十四章)、球坐标系(第十六章) 以及柱坐标系(第十七章) 中的应用， 并且在求解过程中自然引入了球函数和柱函数这两类特殊函数.
因为分离变量法的核心是本征值问题. 它们可以分为正则的和奇异的两种类型， 第十三、十四两章中遇到的本征值问题， 属于正则型， 它们总有解， 而且本征函数一定具有正交完备性. 而第十六、十七两章中的本征值问题， 多属于奇异型. 它们不一定有解， 但在有解的前提条件下， 本征函数也一定具有正交完备性. 本书提前介绍了Sturm - Liouville 型方程本征值问题的基本结论(第十五章)， 它既作为第十三、十四两章的总结， 又作为第十六、十七两章的出发点， 起着承上启下的作用. 在这一部分中， 新增加的内容还涉及与其他课程有关的问题， 例如量子力学中的角动量算符、理想超导体内的磁场以及涉及高精度光学系统设计的基本数学问题.
本书的第三部分， 选读材料汇编， 全部都是新增加的章节. 它由第二十二章和第二十三章构成. 集中介绍了与本课程密切相关的理论性课题. 第二十二章讨论了有关函数空间、线性算符以及线性微分算符的本征值问题， 介绍了与物理学密切相关的Hilbert 空间、空间中的线性微分算符以及线性微分算符的本征值问题， 特别是在讨论了正则的Sturm - Liouville型方程的本征值问题后， 介绍了奇异的本征值问题的相关结论， 从而使我们对常微分方程本征值问题有一个比较全面的了解. 第二十三章介绍了广义函数， 比较详细地介绍了广义函数的概念和广义函数的运算规则， 介绍了广义函数 和1=x. 从广义函数的角度讨论了常微分方程初值问题和边值问题的本征值问题. 和传统的函数概念相比， 广义函数是全新的概念， 又是物理学研究中不可或缺的重要知识与工具， 需要逐步熟悉和运用. 这两章的内容， 应该说， 都有一定的理论深度与难度. 建议初读者先简单浏览一下全部内容， 对于所讨论的内容有一个基本的了解， 初步掌握相关的概念和运算. 以后随着学习与工作的需要， 再仔细研读.
本书融入了编者在长期教学中的思考与积淀， 在若干问题上采用了不同于传统教材的讲法. 例如在正交曲面坐标系中坐标原点处有界条件的提法， 不是简单归结为物理问题的需要. 又如? 函数的互余宗量定理和倍乘公式的证明， 在一般教材中， 各自总要用到特别的技巧. 本书利用B 函数与? 函数的关系来证明， 希望能使证明的难度有所降低， 方法上也显得比较一致. 再如关于Legendre 多项式的引入(表达式)， 通常的做法都是在x = 0 点的邻域内求解Legendre 方程而引入Legendre 多项式. 现在改用在x = 1 点的邻域内求解Legendre 方程， 求解本征值问题更加直截了当， Legendre 多项式的形式也比较简单， 在此基础上照样能推出Legendre 多项式的其他性质， 并不产生任何困难.需要提到， 本书中还添加了一些略有创新的内容， 包括前面已经提到的有关计算含三角函数无穷积分的新方法和计算一类无穷积分的变换公式. 关于前者， 至少在国内教材中是独有的; 关于后者， 应用这些变换公式， 就可以实现一个符合条件的无穷积分与有界区间上积分的互换， 就可以轻松地计算出数以千计乃至数以万计的积分. 书中还介绍了Legendre 多项式的Christoffel 型和式(x16.8)， 其实不仅限于Legendre 多项式， 根据其他特殊函数的递推关系， 也都可以导出各自的Christoffel 型和式， 书中就留有推导Bessel 函数的Christoffel型和式的习题. 以上这些内容， 书中只能做导引性的介绍， 谈不上说它们在课程内容的发展上有什么意义， 但可以启发读者的思维， 避免读者把数学物理方法看成是固化的、毫无创新余地的学科.
本书的前两部分， 每章末均配有习题， 更新了大约总量一半的习题. 为了减小篇幅， 习题答案以数字资源的形式提供.为了使内容更加丰富， 同时又不使教材篇幅过多， 本书除了纸质出版物之外， 还以数字资源形式提供了课程录像和课外阅读材料， 包括\\拾遗补阙\(列有80 多个或简或繁的问答)
和编者发表的教学性论文， 也有相关工具书的勘误. 此外， 还请北京大学物理学院的朱杰同学更新了有关Mathematica 软件的简介， 一并列入.在本书的修订、改编过程中， 物理学101 计划工作组邀请了中山大学林琼桂教授、山东大学刘天博教授和湖南大学戴凌云教授担任本书的评审专家. 三位教授非常仔细地审阅了全部书稿， 从基本概念到具体内容的表述都提出了不少中肯的意见， 为本书的最后定稿做出了不可磨灭的贡献. 编者在此谨向三位教授致以诚挚的感谢.
感谢北京大学出版社为本书出版提供的方便， 感谢尹照原编辑在书稿的加工和绘制插图等方面付出的辛勤劳动.
由于本书写作仓促， 错误之处， 欢迎使用本书的师生与其他读者指正.
吴崇试2024 年于北京大学
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