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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 2.3 Truly Concurrent Process Algebra - APTC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3.1 Basic Algebra for True Concurrency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3.2 APTC with Left Parallel Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.3 Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.4 Abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.5 Placeholder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 2.3.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Truly Concurrent Process Algebra with Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.1 Operational Semantics with Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.2 BATC with Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.3 APTC with Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4.4 Recursion with Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4.5 Abstraction with Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Chapter 3 An Axiomatization of Discrete Event Processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 3.1 Basic Algebra for True Concurrency - BATC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.1 Axiom System of BATC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.2 Properties of BATC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.3 Structured Operational Semantics of BATC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Algebra for Parallelism in True Concurrency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.1 Parallelism as a Fundamental Computational Pattern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.2 Axiom System of Parallelism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 3.2.3 Properties of Parallelism. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 3.2.4 Structured Operational Semantics of Parallelism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 3.2.5 Encapsulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3 Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3.1 Guarded Recursive Specifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 3.3.2 Recursive Definition and Specification Principles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 3.3.3 Approximation Induction Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4 Silent Step and Abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.4.1 Guarded Linear Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.4.2 Algebraic Laws for the Silent Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 3.4.3 Abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Chapter 4 An Axiomatization of Distributed Discrete Event Processes . . . . . . . . . 87 4.1 BATC with Static Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.1 Axiom System of BATC with Static Localities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 4.1.2 Properties of BATC with Static Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.1.3 Structured Operational Semantics of BATC with Static Localities. . . . . . .89 4.2 APTC with Static Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2.1 Properties of Parallelism with Static Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.2 Structured Operational Semantics of Parallelism with Static Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2.3 Encapsulation with Static Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3 Recursion with Static Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.3.1 Guarded Recursive Specifications with Static Localities . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.3.2 Recursive Definition and Specification Principles with Static Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.3.3 Approximation Induction Principle with Static Localities. . . . . . . . . . . . . .114 4.4 Silent Step and Abstraction with Static Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.4.1 Guarded Linear Recursion with Static Localities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 4.4.2 Algebraic Laws for the Silent Step with Static Localities . . . . . . . . . . . . . . 120 4.4.3 Abstraction with Static Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Chapter 5 Hybrid Process Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 5.1 Truly Concurrent Semantics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 5.2 Hybrid BATC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.2.1 Axiom System of Hybrid BATC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132 5.2.2 Properties of Hybrid BATC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 5.2.3 Structured Operational Semantics of Hybrid BATC. . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 5.3 Hybrid APTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.3.1 Properties of Parallelism of Hybrid APTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.3.2 Structured Operational Semantics of Parallelism of Hybrid APTC . . . . . 144 5.3.3 Encapsulation of Hybrid APTC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.4 Recursion of Hybrid APTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.4.1 Guarded Recursive Specifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.4.2 Recursive Definition and Specification Principles of Hybrid APTC . . . . . 150 5.4.3 Approximation Induction Principle of Hybrid APTC. . . . . . . . . . . . . . . . . .150 5.5 Silent Step and Abstraction of Hybrid APTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.5.1 Guarded Linear Recursion of Hybrid APTC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 5.5.2 Algebraic Laws for the Silent Step of Hybrid APTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.5.3 Abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.6 Application of Hybrid APTC in Modelling Neural Networks . . . . . . . . . . . . 155 5.6.1 Modelling of Neurons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.6.2 Modelling of Neural Networks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158 Chapter 6 Hybrid Process Algebra with Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.1 Locality Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.2 Hybrid BATC with Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.2.1 Axiom System of Hybrid BATC with Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.2.2 Properties of Hybrid BATC With Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166 6.2.3 Structured Operational Semantics of Hybrid BATC with Localities . . . . 168 6.3 Hybrid APTC with Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.3.1 Properties of Parallelism of Hybrid APTC with Localities . . . . . . . . . . . . . 175 6.3.2 Structured Operational Semantics of Parallelism of Hybrid APTC with Localities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178 6.3.3 Encapsulation of Hybrid APTC with Localities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 6.4 Recursion of Hybrid APTC with Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.4.1 Guarded Recursive Specifications of Hybrid APTC with Localities . . . . . 183 6.4.2 Recursive Definition and Specification Principles of Hybrid APTC with Localities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184 6.4.3 Approximation Induction Principle of Hybrid APTC with Localities . . . 185 6.5 Silent Step and Abstraction of Hybrid APTC with Localities . . . . . . . . . . . 186 6.5.1 Guarded Linear Recursion of Hybrid APTC with Localities . . . . . . . . . . . 187 6.5.2 Algebraic Laws for the Silent Step of Hybrid APTC with Localities . . . . 188 6.5.3 Abstraction of Hybrid APTC with Localities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.6 Application of Hybrid APTC with Localities in Modelling Distributed/Federated Neural Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.6.1 Modelling of Distributed/Federated Neurons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.6.2 Modelling of Distributed/Federated Neural Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

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