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| 內容簡介： |
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《丛代数理论导引》介绍丛代数研究的理论基础和部分专题，其中，基础部分，畚重从代数方法和组合方法两方面介绍丛代数的结构；专题部分，介绍丛代数理论与数学各个方面(包括拓扑、几何、表示论、数论、矩阵论等)的联系。在一些专题的介绍M，指出了目前理论的研究进展和面临的问题。
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| 目錄：
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目录《现代数学基础丛书》序序言前言第1章 丛模式和丛代数 11.1 丛模式和丛代数的定义和例子 11.2 量子丛代数的定义和例子 101.3 Laurent现象 15第2章 丛代数的换位图 202.1 定义和例子 202.2 一些基本结论 23第3章 丛代数的换位矩阵 263.1 符号斜对称矩阵的完全性 263.2 换位矩阵变异的矩阵表达 31第4章 丛代数的丛同态、子结构和商结构 354.1 丛同态和种子同态 354.2 丛子代数 414.3 丛商代数 434.3.1 由赋幺化构造的丛商代数 434.3.2 由粘合方法刻画的丛商代数 454.4 丛自同构的一个刻画 48第5章 丛代数的覆盖理论和丛变量的正性问题 535.1 折叠和展开 535.2 无圈符号斜对称矩阵的强几乎有限箭图 565.3 无圈符号斜对称矩阵的展开定理 595.4 丛变量Laurent展开的正性问题 60第6章 丛代数的各类组合参数及相互关系 666.1 丛变量的分母向量 666.2 c-向量与极大绿色序列 696.3 F-多项式和/-向量 736.4 向量和G-矩阵 766.5 C-矩阵与G-矩阵的关系及相关性质 826.6 F-多项式与丛变量、d-向量和化向量之间的关系 906.6.1 广义度 906.6.2 关系与关系图 91第7章 来自曲面的丛代数 967.1 基本概念 967.1.1 曲面的三角剖分及翻转 967.1.2 带标记的三角剖分 997.2 来自曲面的丛代数的定义 1027.3 蛇图及其完美匹配 1067.3.1 蛇图的抽象定义 1067.3.2 完美匹配及其扭转 1067.3.3 蛇图Gto，r的构造 1077.3.4 完美匹配集P(Gto，r)的格结构 1087.4 展开公式 1097.4.1 A与A(p)的一个丛代数同构 1097.4.2 不带标记的弧的情形 1117.4.3 一端带标记的弧的情形 1147.4.4 两端带标记的弧的情形 1167.4.5 注记 117第8章 有限型和有限变异型丛代数 1198.1 有限型丛代数 1198.1.1 有限型丛代数的一个刻画 1198.1.2 秩≤2的有限型丛代数分类 1208.1.3 定理8.1的证明 1238.2 有限变异型丛代数 1258.2.1 斜对称情况 1268.2.2 可斜对称化情况 126第9章 散射图理论简介 1329.1 固定数据 1329.2 墙 1349.3 散射图 1359.4 胞腔和散射图的拉回 1399.5 散射图的变异 1409.6 折断线与Theta函数 143第10章 丛代数结构的一些基本性质 14510.1 丛变量的分母向量正性 14510.1.1 丛代数的足够浐对性质 14610.1.2 分母向量正性的证明 15010.2 真Laurent单项式性质和丛单项式的线性无关性 15310.3 丛代数的结构性 15510.3.1 相容性函数与丛的刻画 15510.3.2 结构性定理 159第11章 丛代数的基 16211.1 一组“好”的基的标准 16211.2 标准单项式和标准单项式基 16311.3 膨胀基 16611.4 三角基 16811.4.1 Berenstein-Zelevinsky三角基 16811.4.2 覃三角基 17311.5 来自曲面的丛代数的基 17411.5.1 圈镯集 17511.5.2 纠结关系与环链集 17611.5.3 链带集 17711.5.4 丛代数的三个基 17811.6 Theta函数、Theta基与膨胀基 17911.6.1 Theta基 17911.6.2 秩为2时的膨胀基和Theta基的关系 18011.7 一个总结性图表 183第12章 量子重Bruhat胞腔上的量子丛代数结构 18512.1 预备知识 18512.1.1 广义Cartan矩阵与Weyl群 18512.1.2 重字符 18612.2 量子包络代数 18712.3 李群的量子坐标环 18912.4 矩阵二元组及其相容性 19112.5 量子重Bruhat胞腔 19812.6 量子重Bruhat胞腔上的量子丛代数结构 203第13章 丛范畴与丛代数的范畴化 20713.1 丛范畴与丛倾斜对象及其变异 20713.2 三类常用丛范畴 21313.2.1 轨道范畴 21413.2.2 广义丛范畴 21513.2.3 Probenius 2-Calabi-Yau范畴 21713.3 丛代数的范畴化及其应用 21913.3.1 丛特征 21913.3.2 向量的范畴化 22113.3.3 丛的s-向量符号一致性的证明 22313.3.4 多项式常数项为1的证明 227第14章 模式与投射线构形 22814.1 模式的定义及实例 22814.2 投射线构形的f-模式 231第15章 全正矩阵的丛代数刻画 23615.1 全正矩阵与初始子式 23615.2 矩阵的双线图 23715.3 主要定理的证明 245第16章 与数论中若干问题的关系 24616.1 Markov方程 24616.2 Somos序列 24916.3 Fermat数 252参考文献 254索引 263后记 269《现代数学基础丛书》已出版书目Contents(Fang Li， Min Huang)ForewordPreface1 Cluster Pattern and Cluster Algebra 11.1 Cluster pattern and cluster algebra: Definition and examples 11.2 Quantum cluster algebra: Definition and examples 101.3 Laurent phenomenon 152 Exchange Graphs of Cluster Algebras 202.1 Definition and examples 202.2 Some basic conclusions 233 Exchange Matrices of Cluster Algebras 263.1 Totality of sign-skew-symmetric matrices 263.2 Matrix formula of mutations of exchange matrices 314 Cluster Homomorphisms， Substructure， Quotient Structure of Cluster Algebras 354.1 Cluster homomorphisms and seed homomorphisms 354.2 Cluster subalgebras 414.3 Cluster quotient algebras 434.3.1 Cluster quotient algebras constructed from specialization 434.3.2 Cluster quotient algebras characterizedvia gluing method 454.4 A characterization of cluster automorphisms 485 Unfolding Theory for Cluster Algebras and Positivity of Cluster Variables 535.1 Folding and unfolding 535.2 Strongly almost finite quivers from acyclic sign-skew-symmetric matrices 555.3 Unfolding theorem for acyclic sign-skew-symmetric matrices 595.4 Positivity for Laurent expansion of a cluster variable 606 Combinatorial Parameterization of Cluster Algebras and Their Relationships 666.1 Denominator vector of a cluster variable 666.2 c-vectors and maximal green sequences 696.3 F-polynomials and /-vectors 736.4 g-vectors and G-matrices 766.5 Relationship between C-matrices and G-matrices and some related properties 826.6 Relationship among F-polynomials，d-vectors，g-vectors and cluster variables 906.6.1 Generalized degree 906.6.2 Relationship and the relation diagram 917 Cluster Algebras From Surfaces 967.1 Basic concepts 967.1.1 Triangulations of surfaces and flips 967.1.2 Tagged triangulations 997.2 Definition of cluster algebras from surfaces 1027.3 Snake graphs and their perfect matchings 1067.3.1 Abstract definition of snake graphs 1067.3.2 Perfect matchings and twists 1067.3.3 Construction of snake graphs Gto，r 1077.3.4 Lattice structure on the set of perfect matchings P(Gto，r) 1087.4 Expansion formulas 1097.4.1 A cluster isomorphism from A to 1097.4.2 Tagged arcs with two ends tagged plain 1117.4.3 Tagged arcs with one end tagged plain andone end tagged notched 1147.4.4 Tagged arcs with two ends tagged notched 1167.4.5 Remark 1178 Cluster Algebras of Finite Type and Finite Mutation Type 1198.1 Finitetype cluster algebras 1198.1.1 A characterization of finite type cluster algebras 1198.1.2 Classification of finite type cluster algebras of rank ≤2 1208.1.3 Proof of Theorem 8.1 1238.2 Finitemutation type cluster algebras 1258.2.1 Skew-symmetric case 126
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