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| 編輯推薦： |
★ 用故事讲透微积分底层思维：
这本书不讲微积分计算，也不是教材，而是聚焦“微积分思维”。
作者巧妙地把微积分思维精髓包裹在28个故事之中。这些故事来自：侦探小说（福尔摩斯）、哲学思辨（芝诺/边沁）、文学名著（托尔斯泰/马克·吐温/博尔赫斯）、生活趣事（狗狗会不会微积分？）、经济学（最佳税率曲线）等，风格诙谐轻松，很适合微积分入门者和对数学感兴趣的读者。
★ 标志性的火柴人漫画：
与作者第一部作品《欢乐数学》一脉相承，400余幅可爱、丑萌的“烂插画”是作者的拿手好戏。因为它，微积分这样一个让人望而生畏的主题，一下子显得灵动活泼，大大拉近了与读者的距离。
★ 耶鲁毕业天才教师10余年教学精华凝结：
作者身为耶鲁学神，谈笑之间，便点出微积分的核心，使读者很快形成一种简洁、清晰的认识。微积分并不可怕，像学神一样思考，你也能够从容应对。
★ 中国科学院院士、“微积分爷爷”林群推荐、《微积分的力量》作者史蒂文·斯托加茨赞赏推荐、荣获“美国数学协会”推荐图书。
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| 內容簡介： |
微积分与日常生活有哪些交集？
本书通过28个引人入胜的故事，展示了微积分这种语言，它可以解决我们人类每天都在努力解决的问题——爱、风险、时间，以及最重要的事情——“变化”。
书分为“瞬间”和“永恒”两部分，从夏洛克·福尔摩斯到马克·吐温，它将发掘微积分、艺术、文学和一只与猫王同名的柯基犬之间的联系。
你将看到奇怪的符号、疯狂跳跃的逻辑以及微积分的真正用途。无论是数学恐惧症患者还是数学发烧友，这都将是一本影响终生的书。
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| 關於作者： |
本·奥尔林 Ben Orlin
一个不太擅长画画但擅长讲课的数学老师，毕业于耶鲁大学数学系，教过12～18岁各种层次的数学，偶尔也讲讲心理学、生物学、英语、认识论甚至地球科学。
他是“数学和烂插画”（mathwithbaddrawings.com）博客的作者，同时也为《大西洋月刊》、线上杂志Slate 、《洛杉矶时报》和《芝加哥论坛报》撰写与数学相关的文章。
已出版中文版作品：《欢乐数学》。
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| 目錄：
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引言
上篇 瞬间
第1章 即逝的时间——在这一章，微积分实现了某人的愿望
第2章 不断坠落的月亮——在这一章，牛顿用微积分解释了整个宇宙
第3章 黄油吐司：昙花一现的幸福感——在这一章，微积分俘获了一颗心
第4章 全世界通用的语言——在这一章，微积分带着我们叱咤商海
第5章 当密西西比河绵延万里——在这一章，微积分捉弄了所有人
第6章 福尔摩斯的和迷路的自行车——在这一章，微积分发现了关键线索
第7章 一部未经授权的潮流传记——在这一章，微积分预测了未来
第8章 风留下了什么——在这一章，微积分设下一道迷题
第9章 如尘埃般漫天飞舞——在这一章，微积分难倒了植物学家
第10章 绿头发女孩和超时空旋涡——在这一章，一个丈夫在微积分面前相形见绌
第11章 住在海边的落难公主——在这一章，公主用微积分打下了江山
第12章 让世界变成废墟的回形针——在这一章，微积分带来了世界末日
第13章 笑到最后的曲线——在这一章，微积分改变了税收政策
第14章 嗨，小狗教授——在这一章，微积分一夜爆红
第15章 我们用微积分算一算吧——在这一章，微积分可以解决一切问题
下篇 永恒
第16章 书中那些圆圆圈圈——在这一章，微积分被切成了黄瓜片
第17章 战争与和平，还有积分学——在这一章，微积分彻底改变了历史的走向
第18章 黎曼的城市天际线——在这一章，微积分是个城市规划师
第19章 一部伟大的微积分大全——在这一章，微积分举办了一场晚宴
第20章 积分号下的故事就留在积分号下吧——在这一章，微积分得到了一个百宝箱
第21章 一挥笔就放弃了存在——在这一章，微积分抹去了68%的已知宇宙
第22章 1994年：微积分诞生的那一年——在这一章，微积分被用来监测血糖
第23章 假如一定会有痛苦——在这一章，微积分可以衡量灵魂
第24章 与众神作战——在这一章，微积分击退了罗马人的进攻
第25章 从看不见的球体说起——在这一章，微积分触及了四维空间
第26章 高耸入云的抽象果仁——在这一章，微积分只是一个注脚
第27章 加百列，吹响你的小号吧——在这一章，微积分被视为异端邪说
第28章 不可能的场景——在这一章，微积分让人烦躁
课堂笔记
参考文献
致谢
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| 內容試閱：
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引言
大约在100 万天以前，古希腊哲学家巴门尼德说：“存在者不是产生出来的，也不能被消灭，因为它是完全的、不动的、无止境的。”这是一种大胆的哲学理论。巴门尼德不承认分裂，不承认区别，不承认未来，也不承认过去。“它既非过去存在，亦非将来存在，因为它整个在现在，是个连续的一（one）。”他解释说。在巴门尼德看来，宇宙大概就像洛杉矶市区的交通：永远停滞不前。
在近100 万天后的今天来看，这仍然是一个极为冒失的观点。
喂，巴门尼德，不论你如何擅长用诗歌和形容词来混淆视听、偷换概念，我们都不会上当的。100 万天前，世界上还没有佛教徒、基督徒，也没有伊斯兰教信仰者，因为那时佛陀、耶稣和穆罕默德都还没有出生。100 万天前，意大利人还不吃番茄酱，毕竟连“意大利”这个名词都还没有出现，而离那里最近的番茄地也在6 000英里以外。100万天前，整个地球上只有5 000 万到1 亿人；而现在，这个数字仅仅是每年迪士尼乐园的游客总量。
事实上，巴门尼德，今天只有两件事和100 万天前是一样的：无处不在的变化；你的哲学理论是无可救药的谬误。
这是我在本书中最后一次提及巴门尼德（不过他那更聪明一些的弟子芝诺稍后会出现）——嗬，总算摆脱这个身穿长袍的怪老头了。现在，我们暂且略过与他同时代的赫拉克利特（那位说出“人不能两次踏入同一条河流”的智者），来到17 世纪晚期，也就是12 万或13 万天之前。就在那时，一位名叫艾萨克·牛顿的科学家和一位名叫戈特弗里德·莱布尼茨的学者创造了本书的主角——一种全新的数学形式，一种关于变化的语言，以及一个对地球上的变化进行量化的尝试。今天，我们称这种数学形式为“微积分”。
微积分的第一个工具是导数。导数是一种瞬时的变化速率，可以告诉我们某个物体在某一瞬间是如何变化的。比如苹果砸到牛顿脑袋的速度。
在砸中脑袋的这一秒前，苹果的运动速度稍微减慢了一些；在这一秒后，它则朝着完全相反的方向运动——自然科学史也正是从这一瞬间开始改变了走向。不过呢，导数并不关心自己的前一秒或后一秒，它关心的只有当下的这一瞬间：一个无穷小的时间。
微积分的第二个工具是积分。积分是无数个碎片的总和，而其中的每个碎片都是无穷小的。想象一下这个画面：无数个等大的圆形，每个圆形都是一个投影面，它们组合起来，就可以变成一个立体的物体——球体；或是一群人，每个人都如同微不足道的原子般渺小，但团结在一起，却能构成一个完整的文明；抑或是一连串的瞬间，每个瞬间本身都无限接近0秒，却能累积成一个小时，一万年，直至永恒。
每一个积分都为整体的形成做出了贡献，这里的整体指的是银河系中的任意一个物体——一个可以通过数学的全景镜头以某种方式捕捉到的物体。
作为专业的技术工具，导数和积分早已声名远扬，但我相信它们能为我们做的不只是这些。我们就像一艘艘小船，遭受着风吹浪打，面临着汹涌波涛，而在我看来，导数和积分就像是可以随身携带的哲学：向航行在这湍急的世界河流中的我们伸出了桨。
所以，我将通过这本书，尝试从数学中提炼出人生智慧。
在本书的上篇——瞬间，我们将探索导数的故事。每一个故事片段都是从潺潺的时间洪流中提取的一个瞬间，包括一毫米的月球轨道、一小口黄油吐司、一粒尘埃飘忽不定的运动，以及一只狗在一瞬间做出的决定……如果把导数比作显微镜，那么这里的每一个故事都是我精心挑选出来的载玻片——展现了一幅幅微型场景。
在本书下篇——永恒，我们将利用积分的力量，把无数的水滴汇聚成流。我们会遇到一个由小碎片组成的圆圈、一支由无数士兵组成的军队、一道由无数建筑组成的天际线，以及一个由亿万颗恒星组成的宇宙……如果说积分是一部宽屏电影，那么这里的每个故事都是你必须去影院才能欣赏到的宏大史诗，而在家里的电视上根本无法感受到它的壮阔无垠。
不过，有件事我得先说清楚，你手中的这本书不会“教你微积分”。它不是一本循序渐进、深入浅出的教科书，而是一本用非技术语言写给普通读者的，形式不拘一格、插图水平一般的通俗读物。作为本书的读者，你可以对微积分一窍不通，也可以是微积分方面的专家，但无论如何，我都希望书中的故事能为你带来一些欢笑和见解。
我没办法在这本书里写完所有故事，例如费马的弯曲光线、牛顿留下的谜题、不存在的狄拉克函数……这些都没能收录进本书。不过，在这千变万化的世界里，本就没有一部作品能做到详尽无遗，也没有一个神话故事有真正的结局，毕竟，时间的洪流还在继续汹涌向前。
第16章
书中那些圆圆圈圈
在一个鸡尾酒会上，我举着酒杯，一边和别人小声聊天，一边注视着美味的奶酪，一切都令人十分愉快，直到有人问起我的职业。如果只看对方的面部反应，你可能会怀疑他听到的是“我就职于一个犯罪集团”，或是“我是个腐败的法官”，又或是“我是来自未来世界的时间旅行者，这次回来的任务是杀死酒会上的所有人，以阻止世界末日来临”。
事实上，我说的是，“我是一个数学老师”。
好啦，我懂了。在我和其他教数学的同事们眼中，我们的学科是可爱的。但是，当我说到“圆”这个词时，很少有学生会想到约翰·多恩的诗句（你坚定，我的圆圈才会准，我才会终结在开始的地点），或者布莱斯·帕斯卡对宇宙的看法（自然是一个无穷的球体，它的圆心无处不在，而其圆周却无处可寻）。相反，他们的大脑会机械地浮现出只记得一半的公式、课本里的练习题，以及无意识地记下的圆周率小数点后的几位数字。
我觉得自己有必要捍卫数学的荣誉，证明它属于著名的思维维恩图中重叠的那部分。所以我做了任何处在我这种境况下的人都会做的事：像老鼠偷食一样，以迅雷不及掩耳之势，从那一桌开胃小菜里抓起一小块食物——一片腌黄瓜。
“这片黄瓜的面积是多少？”我问。
有个人皱着眉说：“这可真是个奇怪的问题。”
“你说得没错！”我大声回答道，“这个问题之所以奇怪，是因为面积是用小小的正方形来定义的——平方英寸、平方厘米，甚至平方毫米……都是小正方形——而这块圆形的腌黄瓜却不能再被细分成正方形，弯曲的边缘让它的面积变得难以测量和计算。那么，我们要怎么做才能知道它的面积呢？”此时，我挥舞了一下手中的餐刀，这一动作很可能会把我的同事吓跑。
好在我还算幸运，他们明白了我的意思。
“啊，”他们说，“我们可以把它切成片。”
于是，我们用餐刀把这片黄瓜切成了8 个小楔形。经过重新排列，它们组成了一个面积与原来的圆形完全相等的新形状。
“它看起来很像一个矩形，”有人说，“求矩形的面积很容易，用长乘以高就可以了。”
“那么长度和高度分别是多少呢？”我继续问。
“嗯，长嘛，一定是黄瓜片周长的一半。而高度，嗯，是黄瓜片的半径。”
“现在，问题解决了吗？”
“不，还没有，”他们说，“它不是一个真正的矩形，它的长边不是直的，是躁动不安的。”
我补充道：“我有个更好的形容词，‘起伏不平’，所以我们该怎么办？”
专注地思考了片刻，我们拿起另一片腌黄瓜，然后把它切成了24 个更细的楔形。经过艰难的重新排列，它们组成了一个类似刚才的形状，除了长边稍微少了点儿“躁动”，稍平了一些。酒会上的其他客人则用他们那带着敬畏和钦佩的表情看着我们，也可能是怜悯和厌恶的表情——我是分辨不出这两者的区别。
“现在它更接近矩形了！”我的搭档说，“但依然不是一个真正的矩形。”
我们再次拿起一片腌黄瓜，把它切得更细了。
“这下它是矩形了吗？”我问。
只听一声叹息：“没有。它的上下两条边依然是起伏不平的。尽管起伏幅度非常微小，但依然存在。”
我补充道：“我有个更好的形容词，‘微乎其微’。”
“我们需要把黄瓜片切成无数个楔形，并且要保证每个楔形都是无穷小的。这是将它变成矩形的唯一方法，但是……这是不可能做到的，”他们迟疑地说，“不是吗？”
无论这对我们来说是否可能，在24 个世纪前，一位名叫欧多克斯（Eudoxus）的数学家在现在的土耳其做到了。我们将他的方法称作“穷竭法”（method of exhaustion），不是因为它需要你竭尽心力，而是因为某种差距会在使用这个方法的过程中逐渐被消除或“穷竭”（exhausted）。在这里，这个差距就是长边起伏不平的矩形和长边平直的完美矩形之间的差距。按照这个逻辑不断地推进下去，我们会发现，圆的面积和矩形的面积是一样的，正好等于半径和周长的一半的乘积。
或者，你可能更喜欢用等式来表示：面积= 周长/2× 半径。
就在这场鸡尾酒会的餐巾上，积分学的小苗萌芽了。首先，把一个令人头疼的物体分解成无穷小的碎片，每一片都非常非常小；然后将这些小碎片重新排列，组成更简单、更令人愉悦的集合；接下来，根据这个重新排列的组合，得出关于原始对象的结论……以上这些步骤形成了积分学的模板和蓝图。
聊到这里时，可能和我聊天的那些朋友已经把酒喝完了。这很正常。
接下来，我们会互相点头，交换名片，然后就不再说什么了。我想这就是交换名片的含义：双方心照不宣的“再也不见”的信号。
当然，也有可能他们的好奇心会被激起。如果是这样，他们就会重新把杯子斟满；我又往口袋里塞了几块奶酪。然后深吸一口气之后，我们又回到了关于数学的讨论中。
“这个公式看起来很酷，”他们说，“但并不是我在学校里记的那个公式。”
“因为这个公式是在用周长来表示面积，”我说，“不过我们目前还没有找到周长本身的表示方式。”
“那么……我们怎样才能找到呢？”
首先，请跟着我一起来个简短的历史之旅。在中国古代，有一本基础数学专著叫作《九章算术》。我感觉这个书名对数学来说太平淡无奇了，瞧瞧其他的中国古代的数学著作，叫的都是《梦溪笔谈》《四元玉鉴》这类的名字。经过几个世纪的编纂，《九章算术》涵盖了从算术到几何再到矩阵运算等内容，堪称一部具备了无与伦比的深度和完整性的“数学圣经”。
不过，这本书有一个缺点，就是书中提供了非常多的解题方法，但却没有任何对数学概念的解释，以及推导和证明过程。在我看来，这是最糟糕的教材编写方式。
而这正是魏晋时期数学家刘徽事业的切入点，虽然《九章算术》不是他写的，但他为它做了注解，这与J. K.罗琳笔下的“混血王子”在魔药书做注释的行为相似。这是一个聪明的读者，他通过给落满灰尘的旧书添加注解，为其注入了新的生命。
《九章算术》中回避了圆的周长问题，但刘徽不是个避重就轻的人。按照他的计算方法，我从水果台上抓起一把牙签，然后用它们在黄瓜片的横切面上摆了一个三角形，如下图所示：
“瞧！”我宣布，“这就是圆的周长！”
我的同事扬起眉毛，一脸疑惑。
“三角形的每条边都是圆的直径的2/√3倍，”我解释道，“因此，整个周长是直径的3√3/2 倍，也可以说大约是2.6倍。”
“但那是三角形的周长，”他们回答道，“不是圆形的。”
“你说得没错，”我说，“但是谁能测量曲线的长度呢？我们只能通过直线来计算近似值呀。”
“好吧，如果你这么不严谨的话，”他们皱着眉头说，“那最好还是放弃这种数学难题吧。”我没有直接回应，而是快速地重新排列了牙签，使三角形的边数加倍，从3 条边增加到6 条边，如下图所示：
“看看这个正六边形！”我说，“它的周长是直径的3 倍。这就是黄瓜片的真实周长，对吗？”
还差得远呢，现在我们不过是重现了《九章算术》中的估算过程。请和我一起，继续跟随刘徽的脚步，通过更多的“咔嚓”（掰断牙签的声音）和重新排列，得到了一个正十二边形：
经过在餐巾背面打草稿计算，最终得出正十二边形的周长是圆直径的（ 3√6－3√2）倍，也可以说大约是3.11 倍。
更接近圆了，但这仍然不是圆的周长，并不完全准确。
刘徽在《九章算术注》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”这个过程永远不会真正结束，但它会向真理靠拢。牙签断裂成越来越小的碎片；在永恒尽头的某个地方，这个过程以无数个碎片的形态结束，每一个碎片都是无穷小的，而它们的总和就是这个圆的周长。
刘徽计算到正192 边形。南北朝时期的数学家祖冲之则更进一步，计算到正3072 边形，他得到的估算结果已经相当准确了，领先了其他国家1 000多年。祖冲之估算的圆的周长是，直径乘以3.1415926。
这个数听起来是不是很熟悉？
对今天的圆周率爱好者们来说，每年的“圆周率日”，以及背诵圆周率小数点后几百位数字的活动，已经不是什么新鲜事儿。15 世纪，印度和波斯的学者运用积分学的基本原理，将圆周率精确地计算到小数点后第15 位。
19 世纪，坚持不懈的威廉·尚克斯（William Shanks）花了10 年时间将圆周率计算到小数点后第707 位，其中前527 位是正确的。今天，超级计算机早已将圆周率精确到万亿位；如果把这些数字打印出来装订成册，那它的规模将堪比哈佛大学的图书馆——和很多人眼中的图书馆一样枯燥乏味。
在圆周率这个问题上，有无数的数字在前面等着我们，我们从未像现在这样接近终点。然而，就算知道了这些新的数字也毫无意义，因为我们几乎永远不会用到后50 位、60 位，甚至100 位小数。那么，我们为什么要在圆周率上面耗费那么多精力呢？
在我看来，原因很简单。人类会看，会思考，也试图去测量。圆的周长是我们现实生活中的一个特征常数，就像地球的质量、地球到月球的距离，或是银河系中的恒星数量。事实上，圆周率比这些数字更加稳定，因为圆周率不会随时间波动，是逻辑宇宙中的一个固定常数。波兰女诗人、诺贝尔文学奖得主维斯拉瓦·辛波斯卡（Wislawa Szymborska）曾写过一首诗赞美圆周率：“组成圆周率的数字列队行进逶迤……越过墙壁、树叶、鸟巢、云霓，直上九霄，穿过广袤无垠的天际……”
古代的数学家们把圆分成无数个小碎片，每个碎片都是无穷小的。他们这样做是为了更好地了解整体，即从碎片求面积，从碎片求周长。回望历史的进程，我们可以看出这些古老的努力意味着什么：积分学的黎明到来了。
我把这本书中积分学的部分命名为“永恒”，主要是因为它和“瞬间”搭配在一起显得富有诗意。如果你喜欢，也可以把这些“瞬间＋永恒”的完整故事称为“史诗”“全集”或“海洋”，等等。
聊到这里，我的交谈对象向下扫了一眼。我跟着他的目光，看到地毯上撒满了一截截的牙签和黄瓜碎片。“我们是不是该把这里清理干净？”我说。但是我的话音刚落，这位朋友就转身离开了，只留下一丝痕迹——它悄无声息地溜进我的手中，直到这时，我才注意到那是一张名片。
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