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| 內容簡介： |
《微积分和数学分析引论 》在历经21年后，重新改版上市，本版采取了两卷装形式。系统地阐述了微积分学的基本理论. 在叙述上， 作者尽量做到既严谨而又通俗易懂， 并指出概念之间的内在联系和直观背景。
第一卷为单变量情形，第一卷包括九章， 前三章主要介绍函数、极限、微分和积分的基本概念及其运算; 第四章介绍微积分在物理和几何中的应用; 第五章讲述泰勒展开式;第六章讲述数值方法; 第七章介绍无穷和与无穷乘积的概念; 第八章为三角级数; 第九章是与振动有关的简单类型的微分方程. 本书包含大量的例题和习题， 有助于读者理解本书的内容.
第二卷为多变量情形.第二卷包括八章. 第一章详论多元函数及其导数， 包括线性微分型及其积分， 补充了数学分析中基本的概念的严密证明; 第二章在线性代数方面为现代数学分析的基础准备了充分的材料; 第三章叙述多元微分学的发展及应用， 包括隐函数存在定理的严密证明， 多元变换与映射的基本理论， 曲线、曲面的微分几何基础知识以及外微分型等基本概念; 第四章介绍多重积分; 第五章讲述面积分和体积分之间的关系; 第六章介绍微分方程; 第七章介绍变分学; 第八章介绍单复变函数. 书后附有部分习题解答.
特点：一是引领读者直达本学科的核心内容；
二是注重应用，指导读者灵活运用所掌握的知识；
三是突出了直觉思维在数学学习中的作用。
作者不掩饰难点以使得该学科貌似简单，而是通过揭示概念之间的内在联系和直观背景努力帮助那些对这门学科真正感兴趣的读者。书中提供了大量的例题和习题，其中一部分有相当的难度，但绝大部分是对内容的补充。这套书适合大学学数学分析时阅读，书中大量习题例子，适合物理专业或其他工科。高中生也可以看第一卷。
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| 目錄：
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目录
第一章 引言 1
1.1 实数连续统 1
a.自然数系及其扩充.计数和度量 2
b.实数和区间套 5
c.十进小数.其他进位制 7
d.邻域的定义 10
e.不等式 10
1.2 函数的概念 14
a.映射—— 图形 15
b.单连续变量的函数概念的定义.函数的定义域和值域 18
c.函数的图形表示.单调函数 20
d.连续性 24
e.中间值定理.反函数 34
1.3 初等函数 37
a.有理函数 37
b.代数函数 37
c.三角函数 38
d.指数函数和对数函数 40
e.复合函数.符号积.反函数 41
1.4 序列 44
1.5 数学归纳法 45
1.6 序列的极限 48
a. 48
b. 49
c. 50
d. 52
f.的极限之几何解释 53
g.几何级数 54
h. 55
i. 55
j.其中α>1 56
1.7 再论极限概念 56
a.收敛和发散的定义 56
b.极限的有理运算 57
c.内在的收敛判别法.单调序列 58
d.无穷级数及求和符号 60
e.数e 62
f.作为极限的数π 65
1.8 单连续变量的函数的极限概念 66
a.初等函数的一些注记 70
补篇 72
S1 极限和数的概念 73
a.有理数 73
b.有理区间套序列定义实数 74
*c.实数的顺序、极限和算术运算 75
d.实数连续统的完备性.闭区间的紧致性.收敛判别法则 77
e.最小上界和最大下界 80
f.有理数的可数性 80
S2 关于连续函数的定理 82
S3 极坐标 84
S4 关于复数的注记 85
问题 87
第二章 积分学和微分学的基本概念 102
2.1 积分 103
a.引言 103
b.作为面积的积分 104
c.积分的分析定义.表示法 105
2.2 积分的初等实例 108
a.线性函数的积分 108
b.x2的积分 110
c.xα的积分(α是不等于？1的整数) 111
d.xα的积分(α是不等于？1的有理数) 114
e.sin x和cos x的积分 115
2.3 积分的基本法则 116
a.可加性 116
b.函数之和的积分.函数与常数乘积的积分 117
c.积分的估值 118
d.积分中值定理 119
2.4 作为上限之函数的积分—— 不定积分 122
2.5 用积分定义对数 124
a.对数函数的定义 124
b.对数的加法定理 126
2.6 指数函数和幂函数 128
a.数e 的对数 128
b.对数函数的反函数.指数函数 129
c.作为幂的极限的指数函数 130
d.正数的任意次幂的定义 131
e.任一底的对数 132
2.7 x的任意次幂的积分 132
2.8 导数 134
a.导数与切线 134
b.作为速度的导数 139
c.微分法举例 140
d.一些基本的微分法则 142
e.函数的可微性和连续性 143
f.高阶导数及其意义 145
g.导数和差商.莱布尼茨表示法 147
h.微分中值定理 148
i.定理的证明 150
j.函数的线性近似.微分的定义 153
k.关于在自然科学中的应用的一点评述 157
2.9 积分、原函数和微积分基本定理 158
a.不定积分的导数 158
b.原函数及其与积分的关系 160
c.用原函数计算定积分 162
d.例 164
补篇 连续函数的定积分的存在性 165
问题 168
第三章 微分法和积分法 174
第一部分 初等函数的微分和积分 174
3.1 最简单的微分法则及其应用 174
a.微分法则 174
b.有理函数的微分法 177
c.三角函数的微分法 178
3.2 反函数的导数 179
a.一般公式 179
b.n 次幂的反函数:n次根 181
c.反三角函数——多值性 182
d.相应的积分公式 185
e.指数函数的导数与积分 187
3.3 复合函数的微分法 187
a.定义 187
b.链式法则 188
c.广义微分中值定理 192
3.4 指数函数的某些应用 193
a.用微分方程定义指数函数 193
b.连续复利.放射性蜕变 193
c.物体被周围介质冷却或加热 195
d.大气压随地面上的高度的变化 195
e.化学反应过程 196
f.电路的接通或断开 197
3.5 双曲函数 197
a.分析的定义 197
b.加法定理和微分公式 200
c.反双曲函数 200
d.与三角函数的其他相似性 202
3.6 最大值和最小值问题 204
a.曲线的下凸和上凸 204
b.最大值和最小值——极值问题.平稳点 206
*3.7 函数的量阶 214
a.量阶的概念.最简单的情形 214
b.指数函数与对数函数的量阶 215
c.一点注记 217
d.在一点的邻域内函数的量阶 217
e.函数趋向于零的量阶 218
f.量阶的“O”和“o”表示法 218
附录 220
A.1 一些特殊的函数 221
a.函数 221
b.函数 222
c.函数 222
d.函数 223
e.函数 223
A.2 关于函数可微性的注记 224
第二部分 积分法 226
3.8 初等积分表 227
3.9 换元法 228
a.换元公式.复合函数的积分 228
*b.换元公式的另一种推导方法 232
c.例.积分公式 233
3.10 换元法的其他实例 234
3.11 分部积分法 238
a.一般公式 238
b.分部积分的其他例子 239
c.关于f(b) f(a)的积分公式 241
d.递推公式 241
e.π的沃利斯(Wallis)无穷乘积表示 243
*3.12 有理函数的积分法 245
a.基本类型 246
b.基本类型的积分 247
c.部分分式 248
d.分解成部分分式举例.待定系数法 250
3.13 其他几类函数的积分法 252
a.圆和双曲线的有理表示法初阶 252
*b.R(cos x， sin x)的积分法 255
c.R(cosh x， sin hx)的积分法 256
d.的积分法 256
e.的积分法 256
*f.的积分法 257
g.的积分法 257
h.化为有理函数积分的其他例子 258
i.注记 258
第三部分 积分学的进一步发展 259
3.14 初等函数的积分 259
a.用积分定义的函数.椭圆积分和椭圆函数 259
b.关于微分和积分 262
3.15 积分概念的推广 262
a.引言.反常积分的定义 262
b.无穷间断的函数 264
c.作为面积的解释 265
d.收敛判别法 265
e.无穷区间上的积分 267
f.Γ(伽马)函数 268
g.狄利克雷(Dirichlet)积分 269
h.变量置换.菲涅尔(Fresnel)积分 271
3.16 三角函数的微分方程 272
a.关于微分方程的初步说明 272
b.由微分方程和初始条件定义的sin x和cos x 272
问题 274
第四章 在物理和几何中的应用 286
4.1 平面曲线理论 286
a.参数表示 286
b.参数变换 287
c.沿曲线的运动.时间作为参量.摆线的例子 289
d.曲线的分类.定向 293
e.导数.切线和法线的参数表示 300
f.曲线的长度 304
g.弧长作为参数 309
h.曲率 310
i.坐标轴变换， 不变量 315
*j.狭义相对论中的匀速运动 317
k.表示闭曲线内部面积的积分 319
l.质量中心和曲线的矩 325
m.旋转曲面的面积和体积 326
n.惯性矩 327
4.2 例 328
a.普通摆线 328
b.悬链线 329
c.椭圆和双纽线 330
4.3 二维向量 331
a.用平移定义向量.记号 331
b.向量的加法和乘法 334
c.变向量及其导数和积分 341
d.对平面曲线的应用.方向、速度和加速度 342
4.4 在给定力作用下质点的运动 345
a.牛顿运动定律 346
b.落体运动 347
c.约束在给定曲线上的质点的运动 348
4.5 受到空气阻力的自由落体运动 350
4.6 最简单的一类弹性振动—— 弹簧的运动 351
*4.7 在给定曲线上的运动 352
a.微分方程和它的解 352
b.沿一曲线下滑的质点 354
c.运动的讨论 355
d.普通摆 356
e.圆滚摆 358
*4.8 引力场中的运动 359
a.牛顿万有引力定律 359
b.绕引力中心的圆周运动 360
c.径向运动—— 逃逸速度 362
4.9 功和能 363
a.力在运动中所做的功 363
b.功和动能.能量守恒 365
c.两个质点间的相互引力 366
d.弹簧的拉伸 367
*e.电容器充电 367
附录 368
*A.1 法包线的性质 368
*A.2 闭曲线包围的面积.指数 374
问题 377
第五章 泰勒展开式 382
5.1 引言:幂级数 382
5.2 对数和反正切的展开式 384
a.对数函数 384
b.反正切函数 386
5.3 泰勒定理 387
a.多项式的泰勒表示 387
b.非多项式函数的泰勒公式 387
5.4 余项的表示式及其估计 388
a.柯西和拉格朗日余项 388
b.泰勒公式的另一种推导法 391
5.5 初等函数的展开式 394
a.指数函数 394
b.sin x，cos x，sinh x，cosh x的展开式 395
c.二项式级数 396
5.6 几何应用 398
a.曲线的接触 398
b.关于相对极大值和相对极小值的理论 401
附录I 401
A.I.1 不能展成泰勒级数的函数的例 401
A.I.2 函数的零点和无限点 402
a.n 阶零点 402
b.ν 阶无限 403
A.I.3 不定式 403
*A.I.4 各阶导数都不为负的函数的泰勒级数的收敛性 406
附录II 插值法 409
*A.II.1 插值问题.唯一性 409
A.II.2 解的构造.牛顿插值公式 410
A.II.3 余项的估计 413
A.II.4 拉格朗日插值公式 415
问题 416
第六章 数值方法 420
6.
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| 內容試閱：
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第一章 引言
自古以来，关于连续地变化、生长和运动的直观概念，一直在向科学的见解挑战。但是，直到17世纪，当现代科学同微分学和积分学（简称为微积分）以及数学分析密切相关地产生并迅速发展起来的时候，才开辟了理解连续变化的道路。
微积分的基本概念是导数和积分：导数是对于变化速率的一种度量，积分是对于连续变化过程总效果的度量，正确理解这些概念以及由此产生的大量丰富成果，有赖于对极限概念和函数概念的认识，而极限和函数的概念又基于对数的连续统的了解，只有越来越深刻地洞察微积分的实质，我们才能逐渐地赏识其威力和价值，在引言这一章里，我们将阐明数、函数和极限的概念。首先作一简单而直观的介绍，然后再仔细论证。
1.1 实数连续统
正整数或自然数1，2，3， 这些抽象的符号，是用来表示在离散元素的总体或集合中具有“多少个”对象的。
这些符号完全不涉及所计数的对象的具体性质，不管它们是人，是原子，是房子，还是别的什么。
自然数是计算一个总体或“集合”中元素的一种合适L具。但是，为了达到一个同等重要的目的，如度量曲线的长度、物体的体积或重量等这样一些量，自然数便不够用了。我们不能直接用自然数来回答“是多少？”这一类的问題，由于极其需要用我们称之为数的事物来表示各种量的度量，我们就不得不将数的概念加以扩充，以便能够描述度量的连续变化，这种扩充了的数系称为数的连续统或“实数”系。（这是一个未加说明但一般都认可的名称。）数的概念向连续统概念的扩充是如此自然而令人信服，以致所有早期的大数学家和科学家都毫无疑议地予以采用，直到19世纪，数学家们才感到必须为实数系寻求一个比较可靠的逻辑基础，随后产生的对上述概念的正确表述，反过来又导致数学的进步，我们将首先从不难理解的直观描述入手，然后给出实数系的比较深入的分析。
a.自然数系及其扩充。计数和度量
自然数和有理数。对于我们来说，“自然”数序列1，2，3， 认为是已知的，我们不需要从哲学的观点来讨论这些抽象的事物——数——究竟属于怎样的范畴，对于数学工作者，以及对于任何同数打交道的人来说，重要的只是要知道一些规则或定律，根据这些规则或定律可将一些自然数组合起来而得到另一些自然数，这些定律构成在十进位制中那些熟知的关于数相加和相乘的法则的基础；它们包括交换律：a b=b a和ab=ba，结合律：a （b c）=（a b） c和a（bc）=（ab）c，分配律：a（b c）=ab ac，相消律：如果a c=b c，则可推出a=b。等等。
逆运算——减法和除法——在自然数集合中并不总是可能的；从1减去2或者用2来除l所得的结果不能仍属于自然数集合，为了使这些运算能够不受限制地进行，我们不得不发明数0，“负”整数和分数来扩充数的概念，所有这些数的全体，称为有理数系或有理数集合；有理数全都可以由1经过“有理运算”，即加法、减法、乘法和除法而得到。
有理数总可以写为p/q的形式，这里p和g都是整数，并且q≠0。我们还能使这种表示是唯一的，只须要求q是正的，而p和q没有大于1的公因子。
在有理数域内，一切有理运算——加法、乘法、减法和除法（用零作除数除外）——都能够实行，而且得到的仍然是有理数，正如我们从初等算术所知，有理数运算所服从的定律同自然数的运算是一样的：因此，有理数是以完全直接的方式扩充了正整数系。
有理数的图形表示。有理数通常可用直线L——数轴——上的点形象地表示出来，将L上的任意一点取作原点或点0，将另外任意一点取作1，这时，我们采用这两点之间的距离作为度量的尺度或单位，并且将从0到1的方向定义为“正方向”，并称这样规定了方向的直线为有向直线，习惯上，画数轴l时应使得点1在点0的右边（图11）。
图1.1 数轴
L上任何一点P的位置由两个因素——由原点0到P的距离和由原点0到P的方向（指向0的右边还是左边）——完全确定。L上表示正有理数x的点P是在0的右边与0的距离为x个单位之处。负有理数x，则由0的左边距离0为-x个单位的点来表示，在上述两种情况下，从0到表示x的点之间的距离均称为x的绝对值，记为|x|，于是我们有
我们注意，|x|决不会是负数，并且仅当x=0时才等于零。
由初等几何我们想到，用直尺和圆规作图，可将单位长度分割为任意个相等的部分。由此可见，任何用有理数表示的长度都能画出，所以，表示一个有理数x的点能用纯几何方法找到。
按这种方式，通过L上的点一有理点，我们得到有理数的一种几何表示。同对于点0和点1的表示法相一致，我们可采用同样的符号x既表示有理数，又表示它在L上所对应的点。
两个有理数的关系式xy，则距离是x-y个单位，无论哪种情况，L上的两个有理点x，y之间的距离均为|g-x|个单位，并且仍然是有理数。
L上端点为a，b的线段，这里a 对应于整数0，±l，±2， 的各点，将数轴分割为一系列单位长度的区间。L上的每一个点，或者是这样分割的区间之一的端点，或者是其内部的点。如果再把每一个区间分割为q个相等的部分，我们就把L分割成一系列长度为1/q的区间，区间的端点为p/q的有理点，于是，L上的每一点P，或者是形式为p/q的有理点，或者处于两个相继的有理点p/q和p 1/q之间（见图1.2）。因为相继的两个分点距离为1/q个单位，所以，我们能够找到一个有理点p/q，这个有理点同点P的距离不超过1/q个单位，我们只要将q取成足够大的正整数，则能使数1/q想要多么小就可多么小。例如，取g= 10n（这里n为任一自然数），我们就能求得一个“十进小数”x=p/10n，同P的距离小于1/10n，至此，虽然我们并未断言L上的每一个点都是有理点，但是至少我们已看到，能够求得一些有理点，任意地接近L上的任何一点P。
图1.2
稠密性
L上的给定点P能够用有理点来任意逼近这一事实，可以用一句话来表达：有理点在数轴上是稠密的，显然，甚至一些较小的有理数的集合也是稠密的，例如，所有形如x= p/10n的点，其中n为自然数，p为整数。
稠密性表明，在任何两个不同的有理点a和b之间，存在着另外的无穷多个有理点，特别是，a和b之间的中点，c=a b/2，即数a和数b之间的算术平均值，仍是有理点。再取a和c的中点，b和c的中点，并且按这种方式继续进行下去，我们能够在a和b之间求得任意多个有理点。
我们可以用有理点来接近L上任意点P的位置，并且能够达到任何精确度，因此，初看起来，似乎是只要引入有理数，用数来确定点P的位置这个任务便已完成，在物理的现实中，各种量毕竟不能绝对精确地给出或求得，而总会带有某种程度的不确定性；所以，也就可以认为各种量可用有理数来度量。
不可通约量，虽然有理数是稠密的，但是，作为用数来建立度量的理论基础，有理数还是不够的，两个量，如果其比是有理数，则称为可通约的，因为可将它们表示为某同一单位的整数倍。早在公元前五或六世纪，希腊的数学家和哲学家已经有了惊人的、影响深远的发现：存在着一些量，这些量同给定的单位是不可通约的，特别是，存在着一些线段，这些线段不是一个给定单位线段的有理数倍。
不难给出与单位长度是不可通约的线段长度的一个例子：各边为单位长度的正方形之对角线l。因为，根据毕达哥拉斯（Pythago-ras）定理，这个长度l的平方必须等于2。所以，如果l是有理数，因而等于p/q，这里p和q均为正整数，我们将有p2= 2q2。我们可以约定p和g没有公因子，因为这样的公因子在开始时就可以约掉，根据上述方程，p2是偶数；因此p本身也必定是偶数，譬如说p= 2p′。用2p′来代替p，我们得到4p′2= 2q2，或者q2=2p′2；因而，q2是偶数，于是q也是偶数。这就表明p和g二者具有公因子2。然而，这同我们所作的p和q没有公因子的约定相矛盾，这一矛盾是由于假设对角线长能够表示为分数p/q引起的，所以这一假设是错误的。
这一用反证法推导的例子，表明符号不能对应于任何有理数，另一个例子是π——圆的周长与其直径之比，证明π不是有理数要复杂得多，并且直到近代才做到[兰伯特（Lambert），1761]。不难找到其他许多不可通约的量（见问题1，第117页）；事实上，不可通约的量在某种意义上远比可通约的量更为普遍（见第109页）。
无理数
因为有理数系对于几何学来说是不够的，所以必须创造新的数作为不可通约量的度量：这些新的数称为“无理数”，古希腊人并不注重抽象的数的概念，而是把诸如线段这样一些几何实体看作为基本元素，他们用纯几何的方法发展出不但用来运算和处理可通约（有理）量，而且用来运算和处理不可通约量的逻辑体系，由毕达哥拉斯引入而由欧多克斯（Eudoxus）大大推进了的这一重要成就，在欧几里得（Euclid）著名的《几何学原本》中有详细的叙述，现
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