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| 內容簡介： |
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本书是“数学分析”课程教材，是为数学类和对数学有较高要求的理工科专业编写的.全书分上、下两册.本书是上册，内容包括集合、映射与函数，数列极限与数项级数，函数极限与连续函数，导数与微分，微分中值定理及其应用，一元函数的积分.编者根据北京理工大学大类培养多年的教学实践经验，对数学分析的内容体系做了新颖的构架，突出了分析学的严谨性、统一性，强化了数学基础，同时重视数学分析与不同数学分支和其他学科领域间的交叉融合.本书适合作为各类高等院校数学类和对数学有较高要求的理工科专业的教材，也可作为高等数学课程的参考教材和自学用书.
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前言绪论第1章集合、映射与函数1.1集合1.1.1集合的概念1.1.2集合的运算法则1.1.3有限集和无限集1.1.4笛卡儿乘积集合习题1.11.2实数集的连续性（完备性）1.2.1有理数集1.2.2无理数集1.2.3实数集1.2.4最大数与最小数1.2.5上下确界及存在定理习题1.21.3映射与函数1.3.1映射的概念1.3.2一元实函数1.3.3函数的表示1.3.4函数的基本特性1.3.5常用恒等式和不等式1.3.6初等函数习题1.3第2章数列极限与数项级数2.1数列极限2.1.1数列和数列极限的概念2.1.2数列极限的基本性质习题2.12.2数列的无穷大量和无穷小量2.2.1数列的无穷小量2.2.2数列的无穷大量2.2.3待定型数列极限习题2.22.3数列收敛（极限存在）的判定准则2.3.1数列收敛判定准则2.3.2实数集连续性的等价定理习题2.32.4数列的上极限和下极限2.4.1数列上下极限的概念2.4.2上下极限的基本性质习题2.42.5数项级数的收敛性及性质2.5.1数项级数的收敛和发散2.5.2级数的柯西收敛原理2.5.3收敛级数的性质习题2.52.6正项级数的收敛判别法2.6.1正项级数收敛的充要条件2.6.2比较判别法2.6.3柯西判别法2.6.4达朗贝尔判别法2.6.5拉贝判别法习题2.62.7任意项级数的收敛判别法2.7.1交错级数2.7.2任意项级数2.7.3绝对收敛与条件收敛2.7.4绝对收敛级数的性质习题2.7第3章函数极限与连续函数3.1函数极限3.1.1函数极限的定义3.1.2函数极限的性质3.1.3函数极限存在的条件3.1.4两个重要极限习题3.13.2函数的无穷小量与无穷大量的阶3.2.1函数的无穷小量及其性质3.2.2无穷小量的比较3.2.3无穷大量的比较3.2.4极限中的等价量替换习题3.23.3连续函数3.3.1函数在一点的连续性3.3.2开区间和闭区间的连续3.3.3连续函数的四则运算3.3.4间断点及其分类3.3.5反函数连续性定理3.3.6复合函数的连续性3.3.7初等函数的连续性习题3.33.4闭区间上连续函数的性质3.4.1有界性定理3.4.2最值定理3.4.3零点存在定理（根的存在定理）3.4.4一致连续性习题3.4第4章导数与微分4.1导数的概念4.1.1导数的定义4.1.2导函数与基本初等函数的导函数4.1.3可导函数的性质4.1.4导数的几何意义4.1.5导数与数列极限的关系习题4.14.2导数的运算法则4.2.1导数的四则运算法则4.2.2复合函数的链式求导法则4.2.3隐函数的导数4.2.4反函数的导数4.2.5参数方程确定的函数的导数习题4.24.3函数的微分4.3.1微分的定义和性质4.3.2微分的几何意义4.3.3微分的运算法则4.3.4一阶微分形式不变性习题4.34.4高阶导数4.4.1高阶导数的定义4.4.2高阶导数的运算法则4.4.3高阶微分的定义习题4.4第5章微分中值定理及其应用5.1微分中值定理5.1.1费马引理5.1.2罗尔定理5.1.3拉格朗日中值定理5.1.4柯西中值定理习题5.15.2洛必达法则5.2.100型待定型5.2.2∞∞型待定型5.2.3可转化为00型和∞∞型的待定型习题5.25.3泰勒公式5.3.1泰勒公式的概念5.3.2带皮亚诺余项的泰勒公式5.3.3带拉格朗日余项的泰勒公式习题5.35.4函数的单调性和极值问题5.4.1函数的单调性5.4.2极值问题习题5.45.5函数的凹凸性及函数作图5.5.1函数的凹凸性5.5.2渐近线与函数作图习题5.5第6章一元函数的积分6.1黎曼积分与牛顿-莱布尼茨公式6.1.1积分概念的引出6.1.2黎曼积分的定义6.1.3可积的必要条件6.1.4牛顿-莱布尼茨公式习题6.16.2可积性问题6.2.1可积性的判定6.2.2可积函数类习题6.26.3黎曼积分的性质习题6.36.4变上限积分与积分中值定理6.4.1变上限积分6.4.2积分第一中值定理6.4.3积分第二中值定理习题6.46.5原函数的计算6.5.1不定积分的概念6.5.2第一换元法6.5.3第二换元法6.5.4分部积分法6.5.5其他类型的积分习题6.56.6黎曼积分的计算6.6.1换元法和分部积分法6.6.2奇偶函数和周期函数的积分习题6.66.7几何问题及实际问题中的应用6.7.1曲线的弧长6.7.2曲率6.7.3极坐标系下平面曲线所围图形的面积6.7.4旋转体的体积和侧面积习题6.76.8广义积分6.8.1无穷积分6.8.2瑕积分习题6.86.9微积分的数值计算6.9.1数值微分6.9.2数值积分习题6.9参考文献
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前言促进数学发展的力量一方面是自身矛盾运动产生的内部力量，另一方面是由人类社会实践所产生的外部力量，在内外两股力量的驱动下，数学正以前所未有的发展速度影响着各行各业.数学分析是以极限为工具来研究实值函数的一门课程，又称为高级微积分.微积分从萌芽到发展经历了一个漫长的时期，被称为人类思维的最伟大的成果之一，是一颗光辉灿烂的明珠.数学分析是现代数学以及其他专业最重要的基础，如果把数学比喻成一个王国的话，那么数学分析就是这个王国的基础语言.随着人工智能、信息科技、科学计算以及金融数学的飞速发展，数学分析的思想和方法几乎渗入现代科技的所有领域，越来越多的行业迫切需要高深的现代数学知识，而要运用数学来创造高技术，就必须掌握好数学分析这一重要的数学王国语言.现代科学技术正在由工程层面的创新转化为基础理论层面的研究，而基础理论层面的研究需要抽象思维、逻辑推理、科学计算和空间想象等能力.与其他学科相比，数学分析集中体现了这些能力的培养.当今谁能占领数学最高地，谁就能占领技术的最高地.数学在现代技术进步中扮演着越来越重要的角色.数学分析的创立始于17世纪以牛顿和莱布尼茨为代表的开创性工作，而完成于19世纪以柯西和魏尔斯特拉斯为代表的奠基性工作.经过两三百年的努力，数学分析的理论框架已经相当完美.尽管国内外已经出版的数学分析、高等数学、微积分教材为数颇多，但针对各类院校的教学实际和要求，对于教材的编排和内容设置，也仁者见仁，智者见智.从2018年实施大类培养以来，北京理工大学徐特立书院、精工书院、求是书院以及对数学有较高要求的理工科学生都选修数学分析课程，人数成倍增加.因此，编写一套适合当前大类培养需求，符合教师和学生使用要求的教材有着重要的意义.本书是北京理工大学数学与统计学院的几位教师根据大类培养教学内容和课程体系改革的要求，结合自身的教学实践，在近年来编写出来的数学分析教材.我们编写此书的想法如下：第一，注重教材体系完整和严谨，保证整体内容和思想上的紧凑、统一，强化数学基础.作者以简单平实自然的语言来介绍数学分析的基本知识，而不是以近代数学（集合论、拓扑、测度论、微分流形）的语言来表述，力求让读者容易理解数学分析的基本完整理论体系.（1） 首先对数学分析的内容脉络做了梳理，把集合→自然数→实数→极限→连续→微分→积分的联系讲清楚，让初学者体会数学的严谨性，知道先讲集合这样安排的目的.此外，采用戴德金分割来定义实数，而不是将实数表示为一个无限小数，虽然用无限小数定义比较直观，但缺乏数学的严格性.（2） 同一个研究对象的内容放在一起，例如：对于数列，我们把描述实数集完备性的各种命题，包括单调有界数列必收敛、闭区间套定理、波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、数列柯西收敛原理放在数列极限一节中，数项级数与数列极限放在一起；对于函数，把上下极限、海涅定理、函数柯西收敛原理、一致连续这些内容放在函数极限与连续函数一章，使这些命题与其直接对象和概念衔接在一起.这样处理的好处是内容紧凑，不会让读者感到分散凌乱.（3） 由于一些数学概念，例如方向导数，不同的教材和参考书中有不同的定义形式和描述形式，学生很容易在学习过程中产生困惑，因此对于概念的引入和定义，本书采用多种定义方式，教学实践表明，这样做直观易懂，使得学生对概念的理解更透彻，且在看其他参考书时易于融会贯通.（4） 对形异实同的教学内容进行统一化处理.例如，24种函数极限的统一表述.对形同实异的内容进行比较处理.例如，一致连续和柯西收敛原理的区别和联系.第二，重视培养学生在抽象思维、逻辑推理、空间想象、科学计算等诸方面的数学能力.加强书中内容与其他学科领域的交叉融合.在篇幅允许的范围内，书中通过与其他学科密切相关的典型例题的引入，介绍了数学分析与其他学科专业（物理、力学、化学、材料、生物、航空航天、计算机、经济、机电、机械）的联系，为其他工科专业提供现代数学的接口.开拓学生的视野，加强数学模型的思想和训练，增强应用实践能力，并且使得读者理解自然现象一直是数学发展的重要源泉.第三，插入有关的数学史和辩证的数学思想，以“人物注记”和“历史注记”的栏目形式，把数学内容和历史事实以及科学家的一些评述附在栏目当中，这样做的好处是多方面的：①学生能够从历史和数学家的思想和精神中得到激励与启发，调动学生学习数学的兴趣，同时也将思政元素自然地融入教材和课堂教学中；②从数学史的角度来学习数学分析，能够让学生了解数学发展的概貌，提升综合科学素养，感悟数学的魅力，从而能够俯视数学王国；③抽象的数学内容体现了辩证的人生哲理，将数学分析与人生哲理有机地结合在一起.第四，本书与线上乐学、慕课（MOOC）资源相结合，配套有可供手机或者计算机观看的乐学平台课程和数学分析慕课，综合运用这些线上资源实现读者和作者的全方位交流.借助于这种线上资源，可以学会在乐学平台提问题并得以及时解决.第五，与国内一般高等数学、微积分教材相比，本书对随着计算机的发展而日益淡化的内容（如函数作图、复杂的积分技巧）进行了适度淡化，而对日益重要的数值微分、数值积分、傅里叶变换和微分方程（包括偏微分方程）进行了适当加强.与传统的数学分析教材相比，本节增加了与其他学科密切相关的解析几何、线性代数和微分方程（包括偏微分方程）章节.第六，权衡内容取舍以及斟酌讲述重点，凡属于分析学中的基本概念、基本理论，书中不惜篇幅和笔墨，讲深，讲通俗.全书分上下两册.本书为上册，由闫志忠、李保奎、沈良编写.其中，闫志忠编写第1~3章，李保奎编写第4章，沈良、李保奎共同编写第5章，沈良编写第6章.本书的完成得到了众多支持和无私帮助，在此，我们对大家的帮助表示衷心的感谢！鉴于我们的水平有限，书中难免有错误或不妥之处，恳请广大读者批评指正.闫志忠李保奎沈良
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