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| 編輯推薦： |
十年磨一剑，闵行紫竹基础教育园区成员校
华东师范大学第二附属中学之数学教研
华东师范大学闵行紫竹基础教育园区各校从学生终身发展的角度，逐渐形成“资源共享、特色共育、学段贯通、全程培养”的特色。各成员校实现了快速、优质的发展，已成为社会认可的优质教育品牌。
值园区建立十周年之际，推出成员校教学教研的探索与实践系列，期望与更多同行分享。
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| 內容簡介： |
数学枯燥、抽象、难懂？
数学在实际生活中没什么用？
如何通过数学教学启迪学生的思维？
如何引导学生感受到数学学习的乐趣？
唯有理解、思考，方能觉数学之味，品数学之美，察数学之温度。
《理解与欣赏——初中数学教学案例集》以高中自招可能涉及的经典数学试题及数学竞赛题为例，记录了作者引导、带领学生理解、欣赏数学的过程。期望与更多同行分享，从而帮助更多的学生在数学学习时，也能学会思考、学会学习，实现“再创造”。
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| 關於作者： |
柯新立，华东师范大学第二附属中学附属初中数学教师，教育学硕士、中学高级教师、中国数学奥林匹克高级教练员、上海市二期课改特约撰稿人。
长期从事初、高中数学教学及研究工作，辅导的学生在各级各类数学竞赛中获奖数百人次，多次获得团体前三名奖项；指导的学生参加“数学小论文”比赛，并多人次获奖；获得各级“优秀教练员”荣誉称号二十余次。
曾参与《培养六七年级学生数感的数学教学活动研究》等市级课题；在2016长宁区“活力教育”研讨活动中，获教育科学研究成果二等奖；在《中等数学》《数学教学》等杂志发表文章十余篇；参编教育类图书十余种，曾独立编著出版《圆》。
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| 目錄：
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推荐序1
推荐序2
前言
自序 理解数学 欣赏数学
1 一定要双垂直吗
2问题一般化及其引申——以一道与角平分线有关的赛题为例
3闲赏一道含60度角的三角形习题
4禅房花木深——两道平面几何题赏析
5探求新的结论——以一道经典平面几何习题为例
6意外的发现
7同心正三角形探究
8内嵌式同心正三角形探究
9正三角形——边角的转换器
10赏一路风景——以一道平面几何题为例
11从等腰三角形性质到高联二试题 /
12问题的实质与推广——以一道自主招生试题为例
13条件结论重组
14从中点三角形开始思考
15心心相印
16群“心”璀璨
17联想与反思——以两道自招训练题为例
18配对——一种思维方式
19尺规作图——两千多年前的神思
20圆的幂
21师生共玩平面几何题四则
22从多个角度思考——对一道自招试题解题思路的分析
23妙手偶得之吗——以第55届荷兰数学奥林匹克的一道试题为例
24从特殊到一般——三个学生作品展示
25为有源头活水来
26过圆锥曲线与直线交点的圆系方程
27函数f(x)=ax2 bx c的几何意义
28从群论视角看一道集合题
29有限集子集个数
30一道测验试题的评析与探究
31和即是差，差即是和——以应用于抽屉原理为例
32美丽的方程(组)
33配方的实质
34图难于其易——为什么要学习《乘法公式》
35判别式——一个有用的不变量
36形形色色的平均数
37创设情境，欣赏数学的生命价值——“数轴上两点间距离公式”教育价值探讨
38合理引导，欣赏数学思考的过程——以分数拆分为例
39在图形中求角的度数
40一道熟知赛题的应用
主要参考文献
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| 內容試閱：
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推荐序1
柯新立老师是我的师弟，我们的研究生导师是刘鸿坤教授.新立老师研究生毕业后先到上海中学任教，后来又去了延安中学，现在在华东师范大学第二附属中学，一直在教学第一线从事数学资优生的教学工作，硕果累累，学生中有数百人次获得了全国及上海市各类数学竞赛的等第奖.我们平时见面的机会较多，经常在一起讨论一些数学问题，以及国内外数学资优生的发现和培养方面的一些做法和经验.
看了新立老师的《理解与欣赏： 初中数学教学案例集》的电子稿后，我感慨良多.近年来，人们已经逐渐地认识到数学的重要性，数学是自然科学的基础，也是重大技术创新的基础.数学是一种工具学科，是学习其他学科的基础，往往数学上的突破，会带动很多其他学科的重大突破.但是对于许多中学生来说，数学是枯燥的、抽象的、难懂的，在实际生活中是没有用的.我们如何在中学数学教学中改变这种现象？怎样使数学变得有趣，能启迪思维？怎样激发学生的学习兴趣？这些是摆在我们每一位数学教育工作者面前的一个问题.
新立老师在他三十多年的教学实践中，以问题解决为抓手，以问题探究、问题讨论为切入点，在学生理解数学、欣赏数学方面，作了一些有益的思考和探索.
本书蕴含了新立老师的教育教学理念.如：书中《同心正三角形探究》这一讲，通过不断改变条件，鼓励学生“像数学家一样的思考”；通过有数学内涵的对数学问题探究，解决数学问题，品鉴数学之美.《问题的实质与推广》这一讲，通过对一些数学问题的拓展与讨论，培养学生的归纳、总结与推广的能力，从而进一步理解数学、欣赏数学的美.《配方的实质》这一讲，帮助学生理解、掌握知识内容，在学习数学思想方法的同时感悟数学的价值、数学的美、数学的本质.《妙手偶得之吗》这一讲，则通过对试题的各种不同解法的探索，以及对这些解法的反思，进一步培养和提高数学创新能力.
在《理解与欣赏： 初中数学教学案例集》出版之际，写了以上的一些体会，与新立老师共勉，同时也向各位读者请教，希望大家一起努力，在数学学习中更好地理解数学的精髓，欣赏数学的美，学好数学.
熊斌
2021年5月
推荐序2
柯新立老师是我校的数学教研组组长，他常年耕耘在数学教学一线，业务能力突出，教学艺术精湛，是学者型教师，是同事们敬佩和信赖的老大哥，是学生眼中的大神级教师.他还是上海市业余数学学校的资深教练，在数学资优生培养方面成绩卓著，为我校乃至整个上海的数学拔尖人才培养做出了卓越贡献.
本书收录了柯新立老师40篇数学随笔及问题研究小论文，内容涉猎广泛，包含了平面几何、方程、函数等初中数学核心内容.本书篇目编排不强调知识顺序，更像是数学散文集：既是他日常教学的体悟，也是他与同事及学生分享的素材.柯老师善于引申和推广，他注重数学思想方法的提炼，写作思路很清晰，数学问题表述简洁明了，展示的解题方法多样且深刻；间或用诗一般的语言，将自己对数学问题的深邃思考呈现给读者.
柯新立老师热爱数学、欣赏数学，他理解并认同“数学美丽”、“数学好玩”，并努力把自己对数学的感悟渗透于数学课堂教学和课外辅导活动中.书稿给人耳目一新的感觉，特别适宜爱好数学竞赛的中学生和数学教师阅读，是非常好的课外自学辅导书.全书以数学问题解决的简洁形态，准确、科学地呈现了数学问题的实质，展现数学方法解决问题的魅力，引导读者体味数学思想方法的深刻性与普适性.相信通过阅读本书，广大数学爱好者能领悟数学之魂、认识数学之功、经历数学之旅、欣赏数学之美、品味数学之趣、感受数学之妙.
让我们一起跟着柯老师的《理解与欣赏： 初中数学教学案例集》一书来开启一场美好的数学之旅吧！
华东师大二附中、华东师大二附中附属初中
施洪亮
2021.5.30
前 言
我曾给数学成绩优秀的初二学生开设过一门拓展课.参加的学生大约20人，占同年级学生比约10%，可以认为这些学生为数学资优生.这门课有一个很漂亮的名字，称作“数学很美丽”，课程目标为：理解数学、欣赏数学.希望通过构作情景、创设条件，让学生在理解数学中欣赏数学，通过欣赏数学促进数学理解，甚至数学创造.
实现上述目标的主要途径是数学解题.数学解题，不是一个热点或时髦话题，但它又是一个永恒的话题，因为人类从现实世界中抽象出数学以来，就离不开数学解题，研究或发现新的数学、学习现有的数学都离不开数学解题.在学生、家长、老师的社会认知里，学数学需要解题，天经地义，容易接受.喜欢数学的学生大都比较喜欢解题，但是由于对结果和效率的过度追求，很少驻足停留，欣赏一路美丽风景，这实在是一件憾事.
有人说：解数学题需要思考，思考，再思考.这个说法很有道理，美国数学家G.波利亚的《怎样解题》一书十万余言，说的就是如何思考.数学学习的目的是通过数学知识载体，习得数学思维方式、思想方法，感悟数学的价值、数学之美.数学既是一种文化，也是一门有温度的学科，因此在教学过程中要尽可能体现数学的本质、数学生动的思考、数学的人文内涵，以帮助学生理解、掌握知识内容的同时感悟数学的育人内涵，从而理解生活、理解社会、理解客观世界.数学思维方式、思想方法的习得，数学价值、数学美、数学的本质、数学的人文内涵的感悟都必须通过思考.著名数学家陈省身先生曾为少年儿童题词“数学好玩”.陈先生这里说的“好玩”首先是殷切希望少年儿童喜欢数学，热爱数学；其次，我想这里的“玩”还有“玩味、品玩、鉴赏”之意，而玩味、品玩、鉴赏都需思考，只有深度思考方能味到数学之美，品出数学之味.所谓思考是思维的一种探索活动，是主体对输入信息的加工过程，对于个体而言，这就是理解的过程，因此，这门课实际上也可以说是通过解题学思考，在思考(理解)中欣赏数学，品味数学，通过品鉴数学促进理解数学、创造数学.
对于解题，获得结果固然重要，但解题的思考过程更重要.一道题如果我们认真思考了，即使没有解出，我们也有收获，至少我们知道那些途径不能解出它，即所谓“思考必有所得”.如果我们解出了它，我们也要继续思考.裘宗沪先生认为我们不仅要“会解题”，还要“会得好”，这两者境界不一样.只有多思考、会多种方法，才能更深刻理解问题中条件和结论之间的内在联系、理解问题实质与内涵，才知道哪种方法好，才能“会得好”.因此，我更希望学生品玩解题、品玩数学，如是否还有其他解法？改变一些条件，情况会怎样？一般情况下结论如何？如果提出的问题不会解，怎么办？有不会解之题很正常，我们不可能解出所有的问题，提出问题比解决问题更重要.遇到问题，首先要独立思考，然后再与别人交流讨论.现代技术为我们交流讨论提供了很大的便利，喜欢数学、讨论数学的人群和渠道越来越多.
这门课程内容主要是提供一些问题，带领学生研究、讨论、品玩.有时我们做些探究，如《问题的实质与推广》《探求新的结论》等；有时师生一起共玩一题多解，如《师生共玩平面几何题四则》《妙手偶得之吗》等，当然有时也作些专题讨论，如《配对——一种思维方式》《正三角形——边角的转换器》《和即是差，差即是和》等，总之课堂形式灵活、多样.但是由于课堂时间有限，我们的很多研究需要延伸到课外，很多工作并不是课堂上完成，课堂上更多的是作品展示.本书中很多素材来源于这门拓展课，因此，这本书也可以说是我们师生共同思考的成果汇集，书中也尽可能展现对这些问题的思考过程和思考方法.本书所选题目多偏向高中自招试题和数学竞赛题，因此适合八、九年级喜欢数学的学生课外阅读，也可作给八、九年级资优生开设拓展课的教师参考书或者课程资源.尽管对书中各问题尽可能用初中知识解答，但还是少量牵涉到高中的三角知识，如正弦定理、余弦定理，及一些三角公式，不过书中对一个问题的解答通常有多种，读者可跳过此部分而不影响理解，也可以先查阅一下这些知识点以方便阅读和理解.当然书中的观点和方法并非一定最优，只是一种思考，有时甚至可能有错误之处，欢迎批评指正，我们将继续修订，丰富和完善这门拓展课.
柯新立
2021.5
自 序 理解数学 欣赏数学
关于数学欣赏，国外最早提出是在1989年英国国家数学课程的基本理念中.1998年，中国台湾数学课程标准中也提出：帮助学生欣赏数学中观察和思考的方式，进而培养学生愿意应用数学的态度.中国大陆地区对于数学欣赏没有提出明确要求，但在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中有所涉及，如“认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形”，“教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用，激发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美”，“还应当开发多品种、多形式的数学普及类读物，使得学生在义务教育阶段能够有足够的机会阅读数学、了解数学、欣赏数学”.2008年，张奠宙、赵小平指出：数学是一种文化，是人做出来的，恢复数学的本来面目，揭示它的人文背景会使更多人亲近数学，喜欢数学，让我们教会学生“欣赏数学”，学生既然会做数学，也一定能够欣赏数学.2010年，张奠宙、柴俊发表《欣赏数学的真善美》；2010年，《中学数学月刊》10、 11、 12连续三个月发表张奠宙教授撰写的文章《谈课堂教学中如何进行数学欣赏》，从此开启了“数学欣赏”理念在数学教学上各方面的研究.
一、 数学欣赏
（一） 数学欣赏的含义
究竟何谓“数学欣赏”，国内外均无严格的界定.美国、英国的课程标准认为数学欣赏就是使学生意识到数学和它在其中取得发展的历史情境之间的相互作用，以及这些相互作用对他们的生活所造成的影响.百度搜索“欣赏”一词的释义：享受美好的事物，领略其中的情趣；认为好；喜欢.《辞海》对“欣赏”的解释是：享受美好的事物，领略其中的趣味.可见欣赏是一个与主观意识和心理倾向紧密相关的概念．数学欣赏可理解为“个体认同、喜欢数学的一种心理趋向，一种对于数学的美好情感和认知”.我们认为：数学欣赏是以对数学理解、数学习得和数学认知作为前提，个体从数学中体验或获得的一种美好情感和认知.数学教育应该创造条件，构建合适的情景，促成学生感悟、感受、体验、获得，以期强化这种心理趋向、美好情感和认知.
（二） 数学欣赏融入数学教学活动的意义
数学欣赏融入数学教学活动能给学生带来多方面的收获：一是促使学生对数学知识的理解、方法的掌握、思想的感悟，二是激发学生学习数学的兴趣，三是让学生在倾心审美中受教，培养他们发现美的眼睛，四是向学生传递数学的“小用”与“大用”，促进学生追求“从‘小用’到‘大用’”.通过数学欣赏可提高学生的数学素养；帮助他们感受数学之美，激发其学习兴趣；从而激发其学习数学的内在动机，引发学生探究数学的热情.
（三） 数学欣赏的内容
“欣赏数学的简洁、欣赏数学的和谐、欣赏数学的奇异、欣赏数学的抽象、欣赏数学中的对称、欣赏数学的理性精神、欣赏数学的人文意境、欣赏数学的艺术境界、欣赏数学的历史生成”.“数学欣赏是对价值的真正认识，可从内在价值和工具价值两个维度实现对价值的真正认识”.张奠宙、柴俊倡导：欣赏数学的真善美.黄秦安、刘达卓、聂晓颖等认为：所谓数学的真，就是数学的真理属性，全部的数学知识都是以数学的真理性为依归的．而数学的善，则是衡量数学功用价值的一个重要尺度．至于数学的美，则是数学艺术价值的一种体现．数学的真、善、美构成了数学表现力的主要侧面，而三者的综合则是全面审视并欣赏数学的基本起点．因此，数学的欣赏可以从上述三个维度各自展开并予以适当的组合．
在数学教育的过程中，数学欣赏是伴随着一个立体的数学教学空间而展开的．具体如下：了解数学问题的研究过程，感受数学问题的趣味特性，掌握数学问题的思想内涵，明确数学问题的价值取向.
柏黎平在《处处都有好风景》中还指出：精彩的数学课堂教学活动组织形式值得欣赏，鲜活生命的学生同样值得欣赏.高劲松甚至还认为：欣赏学生的发现、欣赏学生的合作、欣赏学生创新、欣赏学生的过失.可见，数学欣赏的内容非常广泛，在具体的教学活动中，我们倾向赞同黄秦安的观点.另外，从教育意义上来讲，教育教学的对象、内容、过程都值得欣赏.
二、 理解数学
（一） 理解数学的含义
“学习需要理解”，这已成为一个不争的事实.有许多研究和措施的目的，就是为了推行理解式的学习.詹姆斯·罗伊（Jams M.Royer）曾发出“为理解而教”的呼吁（Jams M.Royer， 1986），数学学习尤其如此.然而理解数学究竟是什么意思呢？有许多从事数学教育研究的学者曾先后作过此方面的工作.英国著名的数学教育家斯根普（Richard Skemp）就是其中的一位.1971年，他研究得出：理解某个概念就是将它同化到一个适当的图式之中.此外，他还通过研究得出：图式化的学习效果要比机械学习高出两倍，这里的图式化学习就是理解式学习.1976年，他又提出“关系性理解与工具性理解（Relation Understanding & Instrument Understanding）”的概念，以阐明学习不仅要知其然，更要知其所以然.赫斯卡维克（N. Herscovics）和伯克朗恩（Bergeron）曾于1988年提出“具体性理解与抽象性理解(Concrete Understanding & Symbolic Understanding)”的概念；施罗德（Schroder）提出了“直觉性理解与形式性理解(Intuitive Understanding & Formal Understanding)”的概念.美国教育家毕格(Morris L.Bigge)也对此做过深入的研究.关于理解数学的含义，建立在认知科学基础上的希伯特和卡彭特(James Hiebert & Thomas P.Carpenter)两位学者的论述大概有一定的代表性.华东师大数学系的李士锜老师对“理解”也进行了深入的研究，其观点也与上述观点基本一致，他还指出理解的心理机制是同化和顺应，并强调了反省思维；苏珊·皮里和托马斯·基伦（Susan Pirie & Thomas Kieren）通过实验对理解进行了研究并得出与希伯特基本一致的结论并提出了一个理解模式.以下关于理解的论述将主要是希伯特与卡彭特的观点.
希伯特和卡彭特为讨论理解问题，对知识作出了如下假设：知识是一种内部的表示，而且这些表示是有条理的——结构性的.为区别交流与思考数学的表示方法，他们指出：为了交流，表示的方法应该是外部的，它的形式是口头语言，书面符号，图画和物体客体.一个特定的数学概念、事实和方法常常可以用上述一种和多种表示形式；为了思考数学，则用内部表示.并继续作了两个假设：其一，外部和内部的表示间存在某些关系；其二，可以把内部表示之间以有用的方法关联起来.
一个数学概念、方法或事实被理解了，如果它的智力表示成了表示网络的一部分，也就是说找到了此数学概念、方法或事实与内部表示网络中相关内容之间的联系.理解的程度由联系的数目和强度来确定.随着网络的变大和组织的更完善，理解就增长了.因此，理解不是一种全部的或者没有的现象.如果概念、方法或事实的智力表示的联系很弱，理解将会很有限.弱的和脆弱的联系在面对冲突或得不到支持的情况下就很可能没用，被激活的可能性就很小.关于联系，他们认为：构建内部网络的那些联系可以形成多种关系，如相似关系，相异关系，包含关系，归属关系.不同的表示形式之间及一个表示形式的内部均可建立联系.建立联系的手段并不仅仅通过演绎来完成，其他方式如归纳、类比、猜想、直觉等手段均可用于建构知识信息间的联系.
（二） 理解的形式与过程
智力表示的网络是逐渐地从对现在的网络联上新的知识信息或在以前没有联系的知识信息之间建立起新的关系而建成的.因此，理解不仅指在原有的表示网络联上新的知识信息（即外部输入），而且也包括对原有内部表示网络中的知识信息进行反省（即内部调整或整合）.例如，通过几个结构反省到一般的结构；对已有的结构进行反省，构造出新的结构；在以前的知识信息网络中意识到新的关系等.知识信息输入时，主体将调动原有的内部网络结构去对它进行加工，即理解它.但是，并非所有输入的知识信息均能被理解，它会出现三种情况，第一种是淘汰.例如，对一个小学生讲授高深微分几何知识，如果这位学生不是好奇，则他对所讲的内容将充耳不闻.被淘汰的知识信息并不一定是对于主体内部表示网络的生存和发展都没有意义，而是不合乎主体的愿望和需求，当然也受主体的内部网络结构所限，主体的内部网络结构不合理，则更有可能把一些有用的知识信息拒之门外，出现我们常见的熟视无睹现象.事实上，这种情况也可以认为主体理解了知识信息，只是错误理解而已.第二种情况是理解了它，即这种知识信息已构成了内部表示网络的组成部分.例如，学生学习直角三角形时，会主动把它纳入到三角形体系中去，认为直角三角形是三角形的一种特殊情况.但是这种网络结构也不是一成不变的，通过反省思维，会被重新组织.事实上，对概念、事实、方法的理解是一个永无止境、永不终结的过程.第三种情况是对输入的知识信息有一定的理解，但又没有与原有的网络结构形成丰富、稳定的联系，这时，被理解的知识信息只好暂时悬挂在内部网络结构上，但其地位相对独立.这种知识信息若没有被遗忘，它还会被激活，而且，由于其在网络结构中的独特地位，它常迫使主体有意识地去整合原有的网络结构，以达到重新理解，这就是反省思维.应该说明，造成主体进行反省的原因并非仅仅上述一种，主体的反省意识及知识信息输入引起主体对原有网络结构中的知识信息产生怀疑，均会造成主体进行反省.事实上，反省更具有创新的潜力，它有可能促使内部表示网络突破原有的格局，出现开拓性的发展，使主体的表示网络跃到更高层次.
网络的成长可以是多种方式产生，但非线性增长.有时表现为暂时倒退，有时表现为进步，较适当的描述是重新组织，经过重新组织后形成新的联系，而旧的联系可以改变或被抛弃.新关系建立后可能强迫受影响的网络形成一个新的构形.重新整顿或组织可能是局部的或广泛的或剧变的，在众多的有关网络间回荡.重新组织表现为新的洞察力，也可能有暂时的混乱，但最终随着重新组织会产生更丰富的、联系着的、有凝聚力的网络.
网络的变化是动态的，而不是静态的，每当建立了新的关系时，网络经常要经历重新整合或组织，此时被理解的内容获得了意义，原有的知识也获得了新的意义.
（三） 理解的心理机制与模式
理解的心理机制是同化（Assimilation）和顺应（Accommodation）.同化是指主体将其所遇到的外界知识信息直接纳入自己现有的内部表示网络中的过程.在这个过程中，主体虽然对自身的内部表示网络并未进行任何调整和改善，但也不能将此过程看成是一个完全被动的过程.因为，在这个过程中，主体对外界知识信息所作的不仅仅是感觉登记，还需要对这些知识信息进行某些调整和转换，以使其与主体当前的内部表示网络相匹配，便于被接纳.顺应是指主体通过调节自己的内部表示网络，以使其与外界知识信息相适应的过程.顺应的产生，对主体内部表示网络的发展与创造观念的产生具有十分积极的意义.
三、 理解数学与欣赏数学的关系
（一） 理解数学是欣赏数学的前提
理解数学即建立联系，这种联系是广泛的，可以是数学之间的联系，也可以数学与其他学科知识，还可以是数学与生活之间的联系.理解的程度是由联系的数目和强度来确定的.理解数学实质是在努力揭示数学之间、数学与现实等方方面面的广泛联系，揭示数学的本质和内涵，展示数学之美、趣味性、价值所在，这就是数学的真善美，这正是数学欣赏的内容.相反，如果个体的内部表示中缺乏这些联系，例如不知道“方程”为何物，自然无法理解方程在解决问题中的意义，当然也不可能欣赏到方程思想的价值.因此，理解数学是数学欣赏的前提，是基础.
例如现行初中数学教材中，一元二次方程的解法分为几种：开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法，每种方法分开教学，体现从特殊到一般，从简单到复杂的思想方法，符合学生的认识规律.但是各种方法之间有何关联呢？如果老师不引导，学生也不去整合各种方法之间的联系，则学生可能只欣赏到一元二次方程有多种方法可解这个层次.如果老师适当引领，学生能主动反思，则可能会认识到：因式分解法(这里指十字相乘法)只能解决一些数字系数简单的一元二次方程，数字系数复杂的一元二次方程还是得求助于求根公式法；对于可用平方差公式分解法解决的一元二次方程，可转化为开平方法；用求根公式法可彻底解决二次三项式的因式分解问题；配方法和求根公式法的本质，都是开平方法.有了对各种方法关联的理解，我们就能欣赏到数学联系的多样性、方法之间的统一性以及方法的本质性，我们还能从求根公式法、配方法和开方法之间的联系，欣赏到配方的实质：化方程ax2 bx c=0为(2ax b)2=b2-4ac，即化为最简的形式mx2=k.从而领悟到：配方是一种手段，判别式的实质为“实数能否开平方”.如果教师引导合理，或许还可让学生欣赏到判别式里的不变性(变中有不变).这里欣赏到的一切，都源于对一元二次方程各种解法的理解.所以理解是欣赏的前提和基础.
理解数学知识发展的时代背景、历史条件、发展历程，方能欣赏到数学文化的厚重.如果不去了解古希腊发现无理数的历史，我们怎能理解真理来之不易，理解追求真理有时需要付出一定的代价，甚至生命.理解数学思想的内涵，方能欣赏到人类智慧的光辉.如平面几何中“点是什么？”，如果回答“点是A”，那么，“A是什么？”，……没完没了，最终陷入“是先有鸡还是先有蛋”的问题纠缠.因此，数学先辈们注意到了这个问题，想到了“公理化”这一智慧的处理.现在的数学各分支都是建立在相应的公理化体系上.理解数学方法的实质，方能欣赏数学方法的价值，理解数学知识的内涵，才能应用自如.
例如：已知非零实数a、 b、 c同时满足a2-b2-bc=0； b2-c2-ca=0，求a2-c2-ab的值.
因条件和结论中的三式均为齐次，故可设a=bk，则c=a2-b2b=(k2-1)b，代入b2-c2-ca=0中整理得k4 k3-2k2-k=0.
若k=0，则a=0，不合题意，故k3 k2-2k-1=0.
于是a2-c2-ab=b2k2-（k2-1）b2-kb2
=（-k4 3k2-k-1）b2=［-k（-k2 2k 1） 3k2-k-1］b2
=（k3 k2-2k-1）b2=0.
当然，这道题也有简洁的方法：由a2-b2-bc=0得b c=a2b，代入b2-c2-ca=0中整理得bc ca=ab，从而a2-c2-ab=a2-c2-bc-ca=（a2-b2-bc） （b2-c2-ca）=0.
第二种方法虽然简洁漂亮，但是时有想不到的情况.我们经常曾一周前想到，一周后再做此题却想不到第二种方法;而第一种方法建立在对变量关系、代数式次数、结构的理解上，容易想到，不易遗忘.
（二） 欣赏数学促进数学理解
理解即建立联系，通常有两种方式：一是外部刺激，二是内部反省.知识信息输入时，主体将调动原有的内部网络结构去对它进行加工，即理解它；通过几个结构反省到一般的结构；对已有的结构进行反省，构造出新的结构；在以前的知识信息网络中意识到新的关系等，都是理解.事实上，反省更具有创新的潜力，它有可能促使内部表示网络突破原有的格局，出现开拓性的发展，使主体的表示网络跃到更高层次.无论是外部刺激还内部反省，都必须是个体主动，个体的内部网络结构不会自动变得稳固和强大，只可能逐渐消失、遗忘(如果不进行整理).数学欣赏在情感、态度上提供了可能性，在外部输入信息时，会以欣赏的态度去激活内部表示网络、主动纳入内部表示网络；由于欣赏，会主动整合内部网络表示，这就促进了理解，这种理解反过来增强了数学欣赏的能力，欣赏能力的增强又促进理解加深，形成良性循环.
四、 在理解数学中欣赏数学
数学欣赏如何融入数学教学活动呢？也有些研究.姚进认为：注重学生自主探究能力的培养，尽心选择教学内容，运用多媒体技术优化数学欣赏课教学，努力提高教师的综合素养.任念兵认为：谋求数学概念的本质统一、挖掘数理方法的内在联系、注重文史内容的数学解读.张奠宙、柴俊认为可通过以下途径欣赏数学的真善美：对比分析，体察古今中外的数学理性精神；提出问题，揭示冰冷形式后面的数学本质；梳理思想、领略抽象数学模型的智慧结晶；构作意境，沟通数学思考后的人文情景.这些研究都说明：课堂教学实现数学欣赏的途径是：构作情景，促进理解.
（一） 加强理解信念的教育，强化理解意识
理解数学有如下作用:影响数学信念，改进记忆，促进迁移，形成合理的知识网络结构.所以加强理解数学的信念，强化理解意识也具有很重要的意义.当前学生的理解意识较弱，往往倾向于机械记忆事实或在较狭窄的范围内理解知识，而缺乏知识间较宽、较广、较深层次的建构联系意识.例如，对不等式ab （二） 注重知识的内在联系，引导学生构建合理的知识结构
合理的知识结构是理解加深的一个必要条件.当前数学教学比较注重知识结构在量上的要求，即所谓的见多识广，而忽略了知识结构在质上的要求，对知识的内在联系关注不够.教材上的数学知识是前人思维结果的表达，忽略了活生生的思维过程，割裂了知识间的某些内在联系，因此数学教学要教授知识的发生过程.张奠宙先生认为，数学教学中最大的弊病是“学生不知道自己在做什么”，知其然而不知其所以然.由于数学成果的表达往往掩盖了思维的发生过程，把结果与思维过程割裂开来，而这对学习数学来说又极为重要，所以在数学教学中教师必须弥补教材的这一缺陷，强调知识的发生过程.强调知识的发生过程是一种手段，不是目的.之所以这样做，最终的目的是希望学生学会这种思维意识、方式、方法，以至能自己主动地发现问题，发现新知识.强调思维的发散，广泛地构筑知识间的联系.知识的编排总是在一定的体系下进行，而且在量上总是有限度的，所以关键在于学习者自己去发现、建构.体系内的知识间联系需要学习者去建构；体系之间的知识间联系也要去建构，还有体系内知识与许多未经编排的隐含经验类知识的联系也要去建构.为此，我们应鼓励学生思维的发散，构筑广泛的联系网，形成合理知识结构.
（三） 加强理解能力的培养
加强知识的分析、比较.理解知识信息的最基本方法是分析.要建立输入的知识信息与原有知识网络中知识信息的联系，主体首先必须将它分成许多组成部分，然后逐个地与原有知识网络进行比较，建立关系，关系建立得越多，理解越深刻.一般来说，某一知识的输入，主体能说出它是什么，属于哪个范畴，这就等于把它纳入到知识网络中去了，即有了初步的理解.至于此知识信息还要哪些属性，这些属性在哪个场合下会同其他知识发生怎样的关系，这就属于比较深刻的理解了.如果把此知识信息的各个组成部分都逐个作出上述属性和关系的分析，然后在分析的基础上，再综合成一个全面系统的认识，那么这个知识系统就是对该知识信息更深刻的理解.主体的理解能力越强，就会分析得越深刻，因而建构的联系也越丰富、稳固，因而对该知识信息的理解也越深刻.当然理解的深刻程度还与主体原有的知识网络合理程度有关.
加强对原有知识结构的反省.仅仅立足于将输入的知识信息纳入到原有的知识网络结构中去是不够的，尽管在此过程中，主体也常常要调整原有网络结构，但是，我们还要加强对知识信息的反省，不断重组、整顿原有的网络结构.而且反省更具有创造发明的潜力.对知识信息的理解过程并不是直线发展的，而是螺旋式前进.已学过的知识信息能帮助理解新输入的知识信息，新输入的知识信息也能帮助理解已学过的知识信息.所以，我们应经常回顾、总结、反省原有的知识网络结构.一节学完了，要回顾、总结、反省它，一章、一本书学完了也要这样做；高年级应该回顾低年级的知识内容，大学应该回顾中、小学的知识内容.每这样做一次定会有所收获，所谓“开卷有益”，古人很早就懂得这个道理，我们还有什么理由不去这样做呢？学习数学知识要如此，解决问题时也要如此.问题解决时，我们应不断反省所用的策略成功与失败的原因，是否有普遍性？是否可用于其他情境？惟其如此，我们才会不断从理解数学概念、事实方法中悟出新的东西.注重数学思想方法的教育.日本数学家、数学教育家米山国藏曾说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中等接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以通常是出校门后不到一两年，很快就会忘掉了.然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等（若培养了这方面的素质的话），都随时随地发生作用，使他们收益终生.”由此可见注重数学思想方法教育的重要性.然而，由于演绎法在数学中的作用，使我们形成了一种错误倾向：数学就等于演绎.事实上，数学一方面是合乎逻辑、客观、冷静、理性或严密——如同在教科书里一样，是完美的作品；另一方面，它又是充满想象、主观、个性化、本能和生动，包含了能够创造出新东西的过程.培养学生的理解能力，就是培养学生寻求新的关系的能力，建立联系的手段并不仅仅通过演绎来完成，其他方式如归纳、类比、猜想、直觉等手段均可用于建构知识信息间的联系.大量事实说明，只用演绎思维，不利于创造的产生，教学中，只强调演绎思维，不利于培养学生的创造能力.所以，我们应注重数学思想方法的教育，特别是不可忽视非演绎思维如归纳、类比、猜测、直觉，甚至是观察、实验在数学理解、甚至创造中的作用。
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