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| 編輯推薦： |
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本书帮助初学者掌握弹性力学问题求解的脉络。
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| 內容簡介： |
本书是一部弹性力学基础性教材，着重介绍弹性力学基本概念、基本方程以及分析求解弹性的问题基本方法。具体包括弹性体受力分析、变形分析、变形和受力之间的关系；线弹性力学定解问题一般方程及其简化、求解线弹性力学定解问题的不同方法；热弹性力学问题以及弹性力学的积分提法等。
本书的一个突出特点是对弹性力学重要方程尽量给出详细的数学推导和说明，希望籍此能够让读者深刻理解并掌握弹性力学的基本概念和思想。本书可以作为力学及有关专业的本科生、研究生教材，以及有关专业科研及工程技术人员的参考书。
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| 關於作者： |
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廖日东，江西贵溪人，生于1972年，北京理工大学教授，1994年毕业于北京理工大学应用力学系获工程力学专业学士学位，1999年毕业于北京理工大学车辆工程学院获动力机械及工程专业博士学位，一直从事车辆及动力机械工程中结构强度及可靠性领域的教学和科研工作，曾获国防科技进步二等奖2项、三等奖2项，2009年入选教育部“新世纪优秀人才计划”，2010年获中国内燃机学会“史绍熙人才奖”。
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| 目錄：
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章 弹性体的受力分析 ……………………………………………………… ( 1 )
1. 1 弹性体的外力分析……………………………………………………………… ( 1 )
1. 2 弹性体内力的表征———应力…………………………………………………… ( 4 )
1. 2. 1 应力的概念………………………………………………………………… ( 4 )
1. 2. 2 应力的记法………………………………………………………………… ( 8 )
1. 3 不同坐标系中应力分量的变换………………………………………………… ( 11 )
1. 4 柱坐标系和球坐标系中的应力分量…………………………………………… ( 14 )
1. 4. 1 柱坐标系中的应力分量…………………………………………………… ( 14 )
1. 4. 2 球坐标系中的应力分量…………………………………………………… ( 17 )
1. 5 一些特殊方向上的应力分量…………………………………………………… ( 19 )
1. 5. 1 剪应力为零的情况———主应力问题……………………………………… ( 19 )
1. 5. 2 主坐标系中等倾面上应力分量…………………………………………… ( 22 )
1. 5. 3 正/剪应力及其方向的确定 ………………………………………… ( 23 )
1. 6 几种特殊的应力状态…………………………………………………………… ( 28 )
1. 6. 1 简单应力状态———单向拉/压 …………………………………………… ( 28 )
1. 6. 2 特殊的平面应力状态———纯剪切………………………………………… ( 29 )
1. 6. 3 特殊的三维应力状态———三向等拉/压 ………………………………… ( 30 )
1. 7 应力对位置的变化规律———平衡方程………………………………………… ( 30 )
1. 7. 1 直角坐标系下的平衡方程………………………………………………… ( 30 )
1. 7. 2 柱坐标系下的平衡方程…………………………………………………… ( 34 )
1. 7. 3 球坐标系下的平衡方程…………………………………………………… ( 38 )
1. 7. 4 曲线坐标系下平衡方程推导的坐标变换法……………………………… ( 42 )
习题一 ………………………………………………………………………………… ( 44 )
第二章 弹性体的变形分析 ……………………………………………………… ( 46 )
2. 1 弹性体变形程度的表征———应变……………………………………………… ( 46 )
2. 1. 1 一些简单的情形…………………………………………………………… ( 46 )
2. 1. 2 一般情形…………………………………………………………………… ( 50 )
2. 2 直角坐标系中位移与应变的关系———几何方程……………………………… ( 53 )
2. 2. 1 几何方程的推导…………………………………………………………… ( 53 )
2. 2. 2 应变分量有效性的证明…………………………………………………… ( 56 )
2. 2. 3 应变的记法………………………………………………………………… ( 58 )
2 弹性力学基础
2. 2. 4 刚体运动时应变定义的检验……………………………………………… ( 61 )
2. 3 不同直角坐标系中应变分量的转换…………………………………………… ( 62 )
2. 4 柱坐标系和球坐标系下的应变………………………………………………… ( 63 )
2. 4. 1 柱坐标系下的应变………………………………………………………… ( 63 )
2. 4. 2 球坐标系下的应变………………………………………………………… ( 67 )
2. 5 曲线坐标系下几何方程推导的坐标变换法…………………………………… ( 70 )
2. 6 应变分量定义的统一形式……………………………………………………… ( 72 )
2. 7 特殊方向上的应变分量………………………………………………………… ( 73 )
2. 8 由柯西应变求位移……………………………………………………………… ( 75 )
2. 8. 1 线积分法…………………………………………………………………… ( 75 )
2. 8. 2 位移单值可积的条件———应变协调方程………………………………… ( 77 )
2. 8. 3 位移解中积分常数的讨论………………………………………………… ( 78 )
2. 8. 4 对多连通域位移协调方程的讨论………………………………………… ( 79 )
2. 8. 5 三个例子…………………………………………………………………… ( 80 )
2. 9 柱坐标和球坐标系下的应变协调方程………………………………………… ( 85 )
习题二 ………………………………………………………………………………… ( 86 )
第三章 弹性体的变形与受力的关系…………………………………………… ( 88 )
3. 1 线性各向同性材料的应力—应变关系………………………………………… ( 88 )
3. 2 弹性体应力—应变关系一般理论……………………………………………… ( 92 )
3. 2. 1 变形过程的功和能分析…………………………………………………… ( 92 )
3. 2. 2 线弹性体应力—应变关系的一般分析…………………………………… ( 94 )
3. 2. 3 线弹性体应力—应变关系的方向性……………………………………… ( 95 )
3. 3 线性各向同性弹性常数及应力—应变关系记法……………………………… (104)
3. 3. 1 各种弹性常数的测定、 相互关系及取值范围…………………………… (105)
3. 3. 2 线性各向同性应力—应变关系的记法…………………………………… (106)
3. 4 线性各向同性弹性体主应力和主应变之间的关系…………………………… (108)
3. 5 考虑温度变化的弹性体应力—应变关系……………………………………… (109)
习题三 ………………………………………………………………………………… (113)
第四章 弹性力学一般方程及其退化…………………………………………… (114)
4. 1 三维线弹性力学定解问题……………………………………………………… (114)
4. 1. 1 基本方程…………………………………………………………………… (114)
4. 1. 2 边界条件…………………………………………………………………… (116)
4. 1. 3 边界条件的近似———圣维南原理………………………………………… (117)
4. 2 弹性力学问题解的适定性……………………………………………………… (120)
4. 3 线弹性力学问题的叠加原理…………………………………………………… (122)
目 录 3
4. 4 线弹性力学定解问题的降维…………………………………………………… (123)
4. 4. 1 平面应力问题……………………………………………………………… (123)
4. 4. 2 平面应变问题……………………………………………………………… (130)
4. 4. 3 平面问题方程组的统一形式……………………………………………… (135)
4. 4. 4 平面问题方程组的极坐标形式…………………………………………… (137)
4. 4. 5 轴对称平面问题…………………………………………………………… (138)
4. 4. 6 一维应力问题……………………………………………………………… (140)
4. 4. 7 一维应变问题……………………………………………………………… (144)
4. 4. 8 球对称问题………………………………………………………………… (148)
习题四 ………………………………………………………………………………… (150)
第五章 线弹性力学定解问题的位移法求解 ………………………………… (152)
5. 1 线弹性力学定解问题基本解法概述…………………………………………… (152)
5. 2 直角坐标系中位移法基本方程的推导………………………………………… (153)
5. 2. 1 三维问题…………………………………………………………………… (153)
5. 2. 2 二维问题…………………………………………………………………… (154)
5. 2. 3 一维问题…………………………………………………………………… (154)
5. 3 柱坐标系中位移法基本方程的推导…………………………………………… (155)
5. 3. 1 三维问题…………………………………………………………………… (155)
5. 3. 2 轴对称结构轴截面平面应变问题………………………………………… (157)
5. 3. 3 轴对称结构横截面平面应变问题………………………………………… (158)
5. 3. 4 轴对称结构一维径向应变问题…………………………………………… (158)
5. 3. 5 轴对称结构一维轴向应变问题…………………………………………… (159)
5. 4 球坐标系中位移法基本方程的推导…………………………………………… (159)
5. 4. 1 三维问题…………………………………………………………………… (159)
5. 4. 2 球结构轴对称问题………………………………………………………… (160)
5. 4. 3 球对称问题………………………………………………………………… (160)
5. 5 均匀压力作用下的五面刚性光滑约束块体问题……………………………… (161)
5. 6 均匀压力作用下两端自由的厚壁圆筒问题…………………………………… (162)
5. 7 均匀压力作用下的球壳问题…………………………………………………… (166)
习题五 ………………………………………………………………………………… (168)
第六章 线弹性力学定解问题的应力法求解 ………………………………… (170)
6. 1 直角坐标系中应力法基本方程的推导………………………………………… (170)
6. 1. 1 三维问题…………………………………………………………………… (170)
6. 1. 2 平面应力问题……………………………………………………………… (172)
6. 1. 3 一维应力问题……………………………………………………………… (172)
4 弹性力学基础
6. 2 柱坐标系中应力法基本方程的推导…………………………………………… (172)
6. 2. 1 三维问题…………………………………………………………………… (172)
6. 2. 2 二维问题…………………………………………………………………… (176)
6. 3 球坐标系中应力法基本方程的推导…………………………………………… (177)
6. 3. 1 三维问题…………………………………………………………………… (177)
6. 3. 2 球对称问题………………………………………………………………… (178)
6. 4 重力作用下的柱体……………………………………………………………… (179)
6. 5 均匀压力作用下两端自由的厚壁圆筒问题…………………………………… (182)
6. 6 均匀压力作用下的球壳问题…………………………………………………… (184)
习题六 ………………………………………………………………………………… (186)
第七章 线弹性力学问题的应力函数法………………………………………… (187)
7. 1 直角坐标系下的艾瑞应力函数法及应用……………………………………… (187)
7. 2 极坐标系中的艾瑞应力函数法及应用………………………………………… (195)
7. 3 普朗特应力函数法及应用……………………………………………………… (205)
7. 4 三维问题的应力函数法………………………………………………………… (210)
习题七 ………………………………………………………………………………… (212)
第八章 线弹性力学问题的位移函数法………………………………………… (213)
8. 1 无体力弹性体位移场性质……………………………………………………… (213)
8. 2 无旋位移场的势函数法………………………………………………………… (214)
8. 3 伽辽金位移函数法……………………………………………………………… (218)
8. 4 其他位移函数法………………………………………………………………… (226)
习题八 ………………………………………………………………………………… (228)
第九章 热弹性力学问题 ………………………………………………………… (229)
9. 1 热传导问题简介………………………………………………………………… (229)
9. 2 热弹性力学问题的基本方程…………………………………………………… (232)
9. 3 自由物体热应力为零的条件…………………………………………………… (234)
9. 4 热弹性力学的位移法…………………………………………………………… (235)
9. 5 热弹性力学的应力法…………………………………………………………… (239)
9. 6 柱坐标下的热弹性力学………………………………………………………… (242)
9. 7 球坐标下的热弹性力学………………………………………………………… (248)
习题九 ………………………………………………………………………………… (254)
第十章 弹性力学的积分提法 …………………………………………………… (255)
10. 1 几个基本概念 ………………………………………………………………… (255)
10. 2 弹性力学问题的等效积分形式 ……………………………………………… (256)
10. 3 弹性力学问题的虚功原理 …………………………………………………… (257)
10. 4 小势能原理 ………………………………………………………………… (261)
6 弹性力学基础
10. 5 小余能原理 ………………………………………………………………… (265)
10. 6 微分提法与积分提法的对比 ………………………………………………… (266)
10. 7 弹性力学积分提法的应用 …………………………………………………… (269)
习题十 ………………………………………………………………………………… (278)
附录 弹性力学代表人物及其主要贡献………………………………………… (279)
主要参考书目 ………………………………………………………………………… (285)
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| 內容試閱：
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所谓弹性， 是指物体在卸除所受载荷后能够完全恢复成原来形状的性质; 与之相对
应的是不能恢复变形的性质， 即塑性。物体表现出弹性还是塑性是与其所受载荷密切相
关的。当载荷足够小时， 总可以认为物体是弹性的， 也就是弹性体。弹性力学是研究弹
性体在力的作用(也包括温度变化等其他因素) 下如何变形以及如何传递所受作用力的
一门理论。工程实践中， 大多数固体结构在其正常工作载荷条件下都可以近似看成弹性
体， 因此弹性力学与工程实践具有密切的联系。事实上， 正是由于工程技术发展的需要
促进了弹性力学的产生和进步。如今， 载运工具、动力机械、航空航天、土木水利等各
个工程领域都是弹性力学应用的广阔天地。同时， 弹性力学也是塑性力学、断裂力学、
板壳力学、复合材料力学、细观力学以及土壤力学等多种固体力学课程的先修课程。
作为固体力学的基础， 弹性力学的发展可谓源远流长， 弹性力学的天空中可谓群星
璀璨。但其早期的内容现在一般都归入材料力学的范畴。今天， 我们通常将19 世纪20 年
代纳维(Navier)、柯西(Cauchy) 等建立弹性力学基本方程组作为弹性力学的肇端。因
为弹性力学方程组的建立使得弹性力学问题得到完整的数学和物理描述， 弹性力学方程
组也与黏性流体力学方程组、电磁学方程组并称为19 世纪物理学的三大著名偏微分方程
组， 在自然科学中占有重要地位。
特别值得一提的是， 奠定弹性力学基础的纳维、柯西、泊松(Poisson) 以及圣维南
(Saint-Venant) 等人均学习和任职于法国巴黎综合工科学校(école Ploytechnique) 和桥
梁道路学校(école des Ponts et Chaussées)， 他们生活在同一时代， 都从事了大量的工程
设计工作， 且都十分重视理论与实践的结合。他们的成就是科学史上的一段佳话， 对今
天的工科学生应该具有重要的启示意义。
迄今， 国内外已经出版了大量的弹性力学教材， 其中很多都是经典名著。在参考部
分教材的基础上， 作者努力在以下几方面让本书具有一定的特色， 以期更有利于初学者
快速掌握弹性力学的基本概念、基本方程和基本方法。
(1) 注重问题牵引。全书将紧紧围绕“弹性体如何传递所受作用力并如何变形” 这
一核心问题顺序展开， 力求让读者始终明确自己解决这一核心问题时还面临的子问题，
始终以“问题” 作为自己前进的指南和牵引， 进而提高学习和研究弹性力学的内在动力。
(2) 强调数学推演。弹性力学问题是复杂的， 只有采用数学语言才能准确描述， 只
有经历数学推导和演算才能真正理解问题的解。本书对重要方程尽量给出详细的推导和
说明， 希望大篇幅的数学推导是让读者深刻掌握弹性力学的保障而不是障碍。书中涉及
的数学知识， 相信只要具有工科大学数学基础的读者都能完全理解， 并能从中体会到数
2 弹性力学基础
学的关键作用。
(3) 方便对比学习。弹性力学中很多概念、方法存在诸多相似之处， 书中在相关内
容的撰写上尽量采取相近的安排， 如对“应力” 和“应变” 概念的介绍， 对同一方程在
直角坐标系、柱坐标系和球坐标系中的推导以及对“位移法” 和“应力法” 的介绍， 对
“位移函数法” 和“应力函数法” 的介绍等， 有些内容甚至显得有些重复。作者希望通过
这样的安排让读者， 特别是初学者， 加深对概念的理解和对方法的掌握， 更清楚问题的
困难所在。
下面再介绍一下作者在撰写本书的过程中对一些具体内容所做的思考和处理。
依作者的经验， 学习弹性力学的一个突出困难是对“应力” “应变” 概念的理解。作
为一个需要用6 个量表示的二阶张量， “应力” “应变” 无疑是大多数学生所学过的复
杂的物理量或几何量。多数教材对这两个概念的引入和分析是很简略的， 从而导致初学
者难以做到深刻的理解和真正的掌握， 大大影响后续内容的学习。本书尽量站在初学者
的角度， 紧扣“如何表征变形体上一点处的受力状态” 和“如何描述变形体上一点的变
形程度” 这两个基本问题， 采用“先假设， 后证明” 的方式， 自然地提出直角坐标系中
的应力概念和应变概念。然后从概念的数学表征、不同记法、相关方程推导和应用等内
容上尽可能做详细的介绍， 帮助初学者建立对两个基本概念的深刻理解。
我们知道， 应力概念的提出是为了分析变形体上每一点的受力状态， 因此应力是针
对“点” 而言的。与多数教材不同， 本书没有采用直六面体而是采用了过同一点的3 个
“面” 来标示应力分量， 目的是强化一个点的应力和一个体的面力的区别， 从而更好地理
解应力概念的本质。
在介绍应变概念时， 本书没有直接给出常用的柯西应变的定义， 而是根据“描述一
点处变形程度” 的需要， 首先提出格林应变， 尽管格林应变具有复杂的非线性形式， 却
能让初学者树立清晰且完整的如何描述变形的概念， 然后指出柯西应变只是格林应变的
一次近似， 对柯西应变进行几何含义的解释无论怎样都只是近似的。
与许多教材不同的另一点是， 本书摒弃了“微元体” 分析法， 直接针对“有限体”，
采用高等数学中积分/ 极限运算记法来阐述应力、应变的定义以及推导有关基本方程(柯
西公式、平衡方程、几何方程等)， 整个过程中没有不必要的“假设” 和“技巧”， 作者
希望这样的处理能够使初学者对弹性力学概念的理解更加严谨， 也为高等数学知识的应
用提供了途径。
从矩阵分析角度看， 主应力、主应变无非是应力矩阵和应变矩阵的特征值， 但一般
来讲， 在应力分析中， 我们可以从“寻找过一点的某截面， 使得该点在截面上的应力向
量与法向重合” 这样一个清晰的问题来引出应力矩阵的特征值问题， 但由于传统应变矩
阵元素的定义过程， 应变矩阵的行或列失去了直观的向量特征， 这样就使得应变矩阵的
特征值问题失去了像应力矩阵特征值一样的问题牵引。为此， 本书提出了正应变和剪应
变的统一定义， 凸显应变矩阵行或列的向量性质， 使主应变的提出也具有了同样的问题
牵引。
前 言 3
张量分析是弹性力学的重要内容， 但对于张量的概念、记法和运算法则， 本书只根
据需要做一些必要但详细的介绍。本书力图表明弹性理论的建立需要(可以) 采用指标
记法和定义张量运算法则， 因为只有这样才能更好地简化有关推导过程， 才能让有关方
程在形式上变得简单且在不同坐标下得到统一的表达。
各向同性弹性体的应变和应力关系在弹性力学中占有重要地位， 本书充分发挥矩阵
分析的作用， 从数学上证明了常见的广义胡克定律是材料为线弹性各向同性的充分必要
条件。依据同样的思路， 本书也从数学上讨论了应变与温度变化的关系。相信这些内容
对初学者深刻理解理论分析与实验测定之间的相互关系具有重要作用。
本书在分析弹性力学定解问题的求解方法上采取了从一般到特殊、从高维到低维的
思路来组织有关内容。在给出三维弹性力学问题的一般描述和求解思路后， 我们完全从
数学上探讨三维问题向二维、一维问题降维的条件， 相应的方程以及可能的求解方法。
多年的教学实践表明， 这种方式便于对问题的分类， 便于初学者掌握弹性力学问题求解
的脉络。
在介绍弹性力学问题的积分表示时， 本书也是采用从一般到特殊的方式。在加权余
量表达式的基础上， 给出分别适用于位移法和应力法的虚位移原理、虚应力原理， 进而
给出适用于线弹性材料的小势能原理和小余能原理。为了更好地与后续有限元法课
程衔接， 本书对基于积分形式的近似解法也作了初步介绍。
本书在介绍弹性力学基本概念、基本方程和基本方法时， 分别给出了3 种不同坐标系
(直角坐标系、柱坐标系和球坐标系) 中的结果。事实上， 不同问题采用不同的坐标系来
分析和求解的难度是不同的。多数初学者似乎更容易接受直角坐标系， 但很多问题采用
直角坐标系涉及复杂的偏微分方程组的求解， 而若采用柱坐标或球坐标后， 问题都转化
为常微分方程的求解， 难度大大下降， 这充分说明了坐标系选择的重要性， 这一点希望
初学者能够细心体会。
解析求解是弹性力学的重要内容， 但是由于数值方法(特别是有限元法) 的发展，
人们觉得弹性力学问题的解析求解似乎已经没有再学习的必要， 然而事实显然不是这样
的。首先， 对于同一个问题， 如果同时获得了解析解和数值解， 则解析解对问题的揭示
是精确的、深刻的， 而数值解通常只是近似的、粗浅的; 解析解是用来检验该问题数值
求解方法是否正确的标准; 但对于不存在解析解的复杂问题， 该问题退化形式的解析解
往往也是理解复杂数值解的基础。事实上， 许多看似简单的问题的解析解， 如本书给出
的厚薄圆筒(或球壳) 问题的解、椭圆截面杆扭转问题的解、小孔应力集中问题的解等，
都对复杂工程应用具有重要的指导作用。这一点也希望读者能够结合有关应用进一步去
体会。
自研究生学习阶段起， 作者主要从事弹塑性力学有限元法的工程应用工作， 对弹性
力学缺乏深入的理论研究。2005 年至今， 作者承担了北京理工大学车辆工程、动力工程
及工程热物理以及机械工程专业的硕士研究生弹性力学的教学工作。10 多年来， 作者每
次授课前， 都将自己置身于初学者的位置， 以“问题提出” 牵引教学内容， 以“数学推
4 弹性力学基础
演” 控制课堂节奏， 这种原始的教学方式在当今演示文稿(PPT) 盛行的时代得到大多
数学生的认可和欢迎， 很多同学都热情鼓励作者将课上详细的板书编写成册， 本书的内
容便是在这样教与学的过程中锱铢积累而成的。
在此， 作者首先要对以往历届和我共同学习的学生们表示真诚的谢意， 并特别感谢
鲍珂、李文、黄志荣、程正坤、陈国华、桂学文等同学在与作者课后讨论中给予的启发
以及整理讲义、校对书稿时提供的帮助。但愿本书的完成， 也能唤起我的学生们在离开
学校多年以后对当年课堂往事的回忆。
北京理工大学物理学院范天佑教授和宇航学院赵颖涛副教授认真审阅了书稿， 在指
正错误和提出建议的同时也对本书的特点给予肯定， 作者对他们表示深切的谢意!
本书的出版得到北京理工大学“特立教材” 专项计划的资助; 北京理工大学出版社
宋肖、张路、熊琳编辑为本书的出版做了许多细致的、卓有成效的工作， 作者一并表示
感谢!
必须提及的是， 本书成稿的后一段时间， 正值新冠疫情肆虐之际， 每日里各路媒
体传来大量的关于染病和抗疫的人和事， 让我的心里满是感慨和感动， 自己无力为抗疫
做贡献， 唯愿本书的早日完成能够成为自己心中这段非常岁月的一个纪念。
受能力所限， 作者对很多问题的理解和认识可能是肤浅的或片面的， 虽然付出了不
少的努力， 但错误或是不妥定是难免， 热诚欢迎各方面的批评和指正。
|
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