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| 內容簡介： |
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本书是中山大学中法核工程与技术学院三年级*学期的数学教材的中文翻译版，包括以下主要内容：数项级数、代数的回顾和补充、赋范向量空间、向量值函数的求导、函数项序列和级数、线性变换和矩阵的化简及其在求解线性微分系统中的应用、微分演算和微分形式的介绍.这些内容涉及不同的数学分支，读者在阅读本书前需对某些数学分支的基础内容有所了解.在每章的开头部分，列出了学习该章内容所需的预备知识。
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| 目錄：
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目录序前言译者的话第1章数项级数11.1级数的概述：回顾21.1.1级数的定义和术语21.1.2收敛、发散、明显发散和**收敛31.1.3收敛级数的运算51.2正项级数51.2.1知识回顾51.2.2余项或部分和的比较151.2.3Stirling(斯特林)公式191.2.4两个正项级数的Cauchy(柯西)积211.2.5实数的十进制展开241.3实数项级数281.3.1知识回顾281.3.2两个**收敛级数的Cauchy积301.4复数项级数321.4.1**收敛和条件收敛的级数321.4.2等比级数和指数级数341.4.3Abel(阿贝尔)变换及其应用351.4.4两个**收敛级数的Cauchy积361.4.5比较关系的求和371.5可和族和Fubini(富比尼)定理的回顾391.5.1可和的正数族391.5.2正的二重级数411.5.3可和的复数族421.5.4复的二重级数43第2章代数的回顾和补充462.1线性代数472.1.1线性无关族472.1.2生成族512.1.3基522.1.4由基的像来刻画线性映射562.1.5维数的性质的回顾572.1.6向量子空间的和与直和602.1.7秩定理682.1.8线性映射的矩阵以及矩阵的分块计算692.1.9对偶772.2对称群912.2.1对称群、轮换和对换的定义912.2.2对称群的生成元942.2.3置换的符号952.3行列式982.3.1n-线性型、对称的、反对称的以及交错的982.3.2在基B下的行列式1012.3.3用行列式来刻画基底1032.3.4线性变换的行列式1052.3.5方阵的行列式1072.3.6矩阵行列式的实际计算111第3章赋范向量空间1163.1向量空间上的范数以及相应的距离1173.1.1范数和相应的距离的定义1173.1.2范数的性质以及点到集合的距离1193.1.3常用的范数1203.1.4范数的比较1233.2赋范向量空间的初等拓扑1293.2.1开集、闭集、有界集1293.2.2闭包和内部1363.2.3稠密子集1383.3赋范向量空间中的序列1393.3.1收敛和发散1393.3.2收敛序列的代数运算1403.3.3比较关系1413.3.4闭包、稠密子集和闭集的序列刻画1433.3.5子列、聚点以及紧子集1453.3.6Cauchy(柯西)序列和完备空间1503.4在一点处的极限和连续性1543.4.1定义和主要性质1543.4.2极限的运算1573.4.3极限和连续性的序列刻画1593.4.4在赋范向量空间的笛卡儿积取值的函数的情况1613.4.5Cauchy判据1653.5全局连续性1663.5.1定义和基本性质1663.5.2连续性的拓扑刻画1683.5.3空间B(X;F)和无穷范数1703.5.4紧集在连续映射下的像1723.5.5一致连续性和Heine(海涅)定理1733.5.6Lipschitz(利普希茨)映射以及不动点定理1753.6线性映射的连续性1783.6.1连续性的判据1783.6.2线性映射的算子范数1813.6.3推广到n-线性映射的情况1863.7有限维向量空间的情况1893.7.1范数的等价1893.7.2单位闭球的紧性和紧集的刻画1913.7.3完备性1923.7.4线性映射和多重线性映射的情况1933.8赋范代数中的级数1943.8.1概述1953.8.2Banach空间中的级数1963.8.3赋范代数的情况以及矩阵的指数197第4章向量值函数的求导2014.1单实变量向量值函数的求导2024.1.1定义和基本性质2024.1.2用坐标函数来刻画2064.1.3可导函数的运算2074.1.4有限增量不等式2114.1.5高阶导数2134.1.6分段Cn的函数2174.2实值函数的情况2194.2.1重要定理回顾2194.2.2同胚和Ck-微分同胚2214.3极限展开以及Taylor(泰勒)公式2234.3.1向量值函数的比较关系2234.3.2带积分余项的Taylor公式2244.3.3Taylor-Lagrange不等式2254.3.4Taylor-Young(泰勒–杨)公式2264.3.5极限展开2284.4附录2294.4.1有限增量不等式的证明229第5章函数项序列和级数2325.1定义和收敛模式2335.1.1简单收敛2335.1.2一致收敛以及一致收敛的Cauchy准则2365.1.3函数项级数的正规收敛2435.1.4不同收敛模式的比较2455.1.5其他收敛模式2465.2函数项序列/级数的极限的性质2475.2.1双重极限定理2475.2.2极限的连续性2515.2.3函数项序列在闭区间上的积分2575.2.4函数项序列或级数的求导2605.2.5函数项序列在任意区间上的积分2685.3闭区间上的逼近定理2765.3.1在闭区间上用阶梯函数逼近分段连续函数2765.3.2在闭区间上用多项式函数逼近连续函数2765.3.3用三角多项式逼近周期函数277第6章线性变换和矩阵的化简及其在求解线性微分系统中的应用2786.1稳定空间、特征值和特征向量2796.1.1稳定子空间2796.1.2特征值、特征向量、特征空间和谱2806.1.3特征空间的性质2826.2可对角化的自同态和矩阵2856.2.1可对角化的自同态：定义和例子2856.2.2可对角化的矩阵2876.2.3特征多项式2896.2.4可对角化的**类判据2936.2.5例子和反例2956.2.6同时对角化2976.3应用于微分系统2996.3.1线性微分方程和线性Cauchy-Lipschitz(柯西–利普希茨)定理2996.3.2常系数线性微分方程的特殊情况3016.3.3求解微分系统和线性微分方程组的例子3036.4自同态或矩阵的多项式3056.4.1定义和计算法则3056.4.2零化多项式和Cayley-Hamilton(凯莱–哈密顿)定理3076.4.3可对角化的第二类判据3106.5三角化3126.5.1定义和例子3126.5.2可三角化的充分必要条件3136.5.3三阶方阵的三角化3146.5.4同时三角化3176.5.5应用于矩阵乘方或指数的计算3186.5.6当A可对角化时微分系统X0=AX+B的求解3186.6附录3196.6.1特征多项式的性质的证明3196.6.2Cayley-Hamilton定理的证明321第7章微分演算和微分形式的介绍3237.1多变量函数的极限和连续性3247.1.1开集、闭集、有界集、紧集、完备集、凸集、星形集3247.1.2极限和连续性3267.1.3坐标映射和部分函数3287.2偏导数、微分以及C1的函数3297.2.1方向导数3307.2.2一阶偏导数3317.2.3与坐标映射的联系3337.2.4映射在一点处的微分和雅可比矩阵3337.2.5可微性、连续性和方向导数的存在性之间的联系3367.2.6函数的微分以及C1的函数3407.3C1函数的运算3417.3.1R-向量空间的结构3417.3.2实值函数的特殊情况3427.3.3复合3437.3.4C1映射的刻画3497.3.5有限增量不等式及其应用3497.4高阶偏导数3517.4.1二阶偏导数3517.4.2C2函数以及Schwarz(施瓦茨)定理3527.4.3黑塞矩阵以及二阶极限展开3537.4.4求解偏微分方程的例子3557.4.5Ck的函数(k>2)3577.4.6Ck-微分同胚的刻画3587.5**化3597.5.1内部局部极值存在的一阶必要条件3597.5.2Monge(蒙日)记号以及局部极值存在的二阶充分条件3607.6一次微分形式3627.6.1定义和例子3627.6.2闭的形式、恰当的形式以及Poincare(庞加莱)定理3637.6.3微分形式的曲线积分3657.6.4与向量场的环量的联系3667.6.5曲线积分的性质3697.6.6Green(格林)公式3707.7附录3717.7.1C1映射的刻画定理的证明3717.7.2Schwarz定理的证明3747.7.3Taylor-Young公式的证明376
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