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| 內容簡介： |
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本套书从作者6年多以来积累的上千篇博客中精心挑选，分别归类于生活中的数学数学之美几何的大厦精妙的证明思维的尺度五个部分，是能体会到十足思考的乐趣的数学趣题集。基本不涉及高深的数学理论，既有与现实生活联系紧密的应用型话题，又有打通几何、代数联系的富有启发性的讨论，还间或介绍了一些著名数学难题的*研究进展。
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| 關於作者： |
顾森
网名Matrix67，北京大学中文系应用语言学专业毕业，数学爱好者。2005年开办数学博客http：www.matrix67.com，至今已积累上千篇文章，已有上万人订阅。长期为各类科普杂志供稿，从事中小学数学教育工作多年。
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| 目錄：
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1 .史诗般壮观的数学证明
2 .停机问题与万能证明方法
3 .奇怪的函数（一）
4 .比无穷更大的无穷
5 .奇怪的函数（二）
6 .塔珀自我指涉公式
7 .俄罗斯方块可以永无止境地玩下去吗？
8 .无以言表的大数：古德斯坦数列
9 .乘法之后是乘方，乘方之后是什么？
10 .不同维度的对话：带你进入四维世界
在线试读如果你喜欢上一部分最后一节那些宏伟的构造性证明，你一定会喜欢这一部分。在这一部分中，我们将会看到一些更加壮观的数学构造。即使是整个宇宙也无法超越人类思维的尺度。一道看似简单的数学问题，有可能会瞬间导出一个比宇宙中所有原子的数量更大的数。
1史诗般壮观的数学证明.史诗般壮观的数学证明
你认为，是否有可能把全体正整数染成红蓝二色，使得不存在无穷长的等差数列，满足数列中的所有数都是一种颜色？
事实上，满足题意的染色方案是存在的。例如，我们可以从数字1开始，把正整数染成一段红一段蓝，使得每一段的长度都是其前一段的两倍。也就是说，我们把1染成红色，2和3染成蓝色，4到7染成红色，8到15染成蓝色，依此类推，单色区间的长度成倍地增加。可以证明，如此染色后，一定不存在无穷长的单色等差数列。这是因为，假设某个等差数列的公差为d，那么当单色区间的长度大于公差d时，等差数列将会一截一截地落在不同的染色区间中，从而拥有不同的颜色。
有趣的是，把上述命题中的无穷长换成 任意长，命题就不见得仍然正确了。1927年，荷兰数学家范德瓦尔登（Van der Waerden）证明了这么一个事实：对于任意大的正整数k，总存在正整数N，使得对从1到N的正整数进行红蓝二染色后，不管你是怎么染色的，里面总存在一个单色的长度为k的等差数列。当命题从两种颜色扩展到任意多种颜色时，该命题竟然也都成立。这个定理就叫做范德瓦尔登定理。下面，让我们来看看范德瓦尔登定理的证明过程。到了整个证明的最后一步，你一定会被震撼得说不出话来。如果你喜欢上一部分最后一节那些宏伟的构造性证明，你一定会喜欢这一部分。在这一部分中，我们将会看到一些更加壮观的数学构造。即使是整个宇宙也无法超越人类思维的尺度。一道看似简单的数学问题，有可能会瞬间导出一个比宇宙中所有原子的数量更大的数。
1史诗般壮观的数学证明.史诗般壮观的数学证明
你认为，是否有可能把全体正整数染成红蓝二色，使得不存在无穷长的等差数列，满足数列中的所有数都是一种颜色？
事实上，满足题意的染色方案是存在的。例如，我们可以从数字1开始，把正整数染成一段红一段蓝，使得每一段的长度都是其前一段的两倍。也就是说，我们把1染成红色，2和3染成蓝色，4到7染成红色，8到15染成蓝色，依此类推，单色区间的长度成倍地增加。可以证明，如此染色后，一定不存在无穷长的单色等差数列。这是因为，假设某个等差数列的公差为d，那么当单色区间的长度大于公差d时，等差数列将会一截一截地落在不同的染色区间中，从而拥有不同的颜色。
有趣的是，把上述命题中的无穷长换成 任意长，命题就不见得仍然正确了。1927年，荷兰数学家范德瓦尔登（Van der Waerden）证明了这么一个事实：对于任意大的正整数k，总存在正整数N，使得对从1到N的正整数进行红蓝二染色后，不管你是怎么染色的，里面总存在一个单色的长度为k的等差数列。当命题从两种颜色扩展到任意多种颜色时，该命题竟然也都成立。这个定理就叫做范德瓦尔登定理。下面，让我们来看看范德瓦尔登定理的证明过程。到了整个证明的最后一步，你一定会被震撼得说不出话来。
我们首先来证明k=3的情况：存在某个N使得对N个连续自然数进行二染色后，里面总存在长为3的单色等差数列。我们把全体正整数5个5个地分组，1到5为第一组，6到10为第二组，以此类推。每一组里总共有25种不同的染色方案，因此在前25 1组里面必然有两个组的染色一模一样，比方说第7组和第23组吧。把第7组里的数分别记作A1，A2，，A5，由鸽笼原理，A1、A2、A3里面一定存在两个颜色相同的数，不妨假设A1和A3都是红色吧。考虑A5的颜色：如果它是红色，我们的问题就解决了，A1，A3，A5已经是一个长度为3的等差数列。下面考虑A5是蓝色的情况。别忘了第7组和第23组的染色完全相同，如果把第23组里的数分别记作B1，B2，，B5，那么B1和B3也是红色，B5也是蓝色。下面我们来考虑全体正整数的第39组（注意到7，23，39是等差数列），我们把它里面的5个数分别记作C1，C2，，C5。考虑C5的颜色：如果它是红色，那A1，B3，C5就是一个全为红色的等差数列，否则A5，B5，C5就是一个全为蓝色的等差数列。显然，上述证明中的最坏情况就是，第1组和第33组的染色相同，且第1组的第1个数和第33组的第3个数是红色的，则下一个数最远可以是第65组的第5个数，即全体正整数的第325个数。换句话说，k=3时N=325即满足条件。（这不一定是最小的N，但确实是一个满足要求的N）。
有意思的是，对任意的颜色数c，上述证明都是适用的。比方说，当c=3时，取n=7237 1，把全体正整数n个n个分为大组，在头3n 1组中必然存在两个染色一样的组，不妨把它们记作大组A和大组B。把这两个大组里的数分别都7个7个地分成237 1个小组，在头37 1组中，必然有两个小组的染色方案一模一样，比如小组a和小组b。
在每一个小组的前4个数中，必然有2个数的颜色是相同的，假设第1个数和第4个数是红色。那这个小组里面的第7个数要么是红色（问题已解决），要么是另一种颜色（比如蓝色）。将与前两个小组构成等差序列的第三个小组记作小组c，由于一个大组中有237 1个小组，因此小组c一定还在该大组中。小组c中的第7个数要么是红色（问题已解决），要么是蓝色（问题已解决），要么是剩下的那种颜色（比如黄色）。那么，与两个大组构成等差序列的第三个大组（记作大组C）中，对于相应的小组c位置上的第7个数（图1中标记星号的位置）的颜色就没有任何选择了，它或者和每个大组的那个染黄色的数成等差数列，或者和大组A中的小组a的蓝色数、大组B中的小组b的蓝色数构成等差数列，或者是跨越层数最多的，和大组A中的小组a的第1个红色数、大组B中的小组b的第2个红色数构成等差数列。
类似地，对于更大的颜色数c，我们都可以归纳证明，只不过分组的层数更多，底数也相应变大。因此，我们解决了k=3且c任意大时的情形。
真正令人震撼的时刻到了。接下来，我们将对k施加归纳。下面尝试证明k=4、c=2的情况，即存在一个充分大的N，使得对1到N的正整数进行二染色后，里面总存在长度为4的单色等差数列。由于当k=3时每325个数里面必然有一个等差数列，因此我们按每487个数一组进行分组。这样可以保证每一组里面的前325个数中总存在长为3的单色等差数列，并且该数列的第4个数也在该组内。注意，一个487元组共有2487种染色方案，如果我们把它们看做2487种不同的广义颜色，由k=3、c=2487的情况知，必然存在3个组，这3个组的位置形成等差数列，并且它们的染色方案完全相同。考虑每一组中前325个数所形成的长为3的等差数列，并考虑该数列中第4个数的颜色：如果颜色相同，问题解决；否则便考察顺推下去的第4个组的相应位置上的数的颜色，它将别无选择。
类似地，我们可以归纳出任意大的k和任意大的c的情形。可想而知，也可以说难以想象，用这种做法得出的N是何等巨大，它将很快超出整个宇宙中任何具有实际意义的数字，其大小已经不能用通常的方式来记录了。这个证明的气势太宏大了，以至于当初很多人都没想到。当我第一次读到2487种颜色时，视野一瞬间广大得难以描述；并且当我向着k更大的方向看去时，不禁对思维的尺度表示深深的膜拜。
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