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編輯推薦： 研究分数微积分的经典书籍，致力于论述任意实数阶导数和积分概念、任意实数阶微积分方程以及它们在不同领域的应用。探讨分数微积分、分数微分方程及其解法与应用的基本概念与理论。 內容簡介： 本书是研究分数微积分的经典书籍，致力于论述任意实数阶导数和积分概念、任意实数阶微积分方程以及它们在不同领域的应用。主要目的是为读者展示分数微积分、分数微分方程及其解法与应用的基本概念与理论。全书共分七部分，包括分数微积分中的特殊函数、分数导数的经典定义与积分变换、分数阶系统描述与线性分数微分方程理论及其求解算法、分数阶控制理论与应用、分数阶元件与复杂系统行为过程的数学建模、分形与分抗、分数阶电路与系统等。 關於作者： Igor Podlubny为斯洛伐克科希策理工大学教授，应用数学博士，专注于研究数学在其他领域的应用，特别是对任意阶微分方程的应用。 袁晓，1964年生，四川中江人，工学博士，四川大学电子信息学院副教授。目前主要从事现代电路系统理论与技术、现代信号分析与处理等方面的研究与教学。近年来，致力于探索并建立表征与分析、理解与构造分数阶（电路）元件、分抗逼近电路、分数阶电路与系统等的一般数学原理与方法。提出标度拓展理论，探索与建立非正则标度方程相关理论与求解方法。 目錄： 第1章分数微积分中使用的特殊函数 1.1伽马函数 1.1.1伽马函数的定义 1.1.2伽马函数的一些性质 1.1.3伽马函数的极限表示 1.1.4贝塔函数 1.1.5围线积分表示 1.1.61z的围线积分表示 1.2米塔-列夫勒函数 1.2.1定义及其一些函数关系 1.2.2双参量米塔-列夫勒函数的拉普拉斯变换 1.2.3米塔-列夫勒函数的导数 1.2.4有关米塔-列夫勒函数的微分方程 1.2.5求和公式 1.2.6米塔-列夫勒函数的积分 1.2.7渐近展开 1.3赖特函数 1.3.1赖特函数的定义 1.3.2赖特函数的积分表达式 1.3.3赖特函数与其他函数的关系 第2章分数导数与分数积分 2.1基本概念与名称 2.2格林瓦尔-莱特尼科夫分数导数 2.2.1整数阶导数与积分的统一定义 2.2.2任意阶积分 2.2.3任意阶导数 2.2.4t－a的分数导数 2.2.5具有整数阶导数的复合运算 2.2.6分数导数的复合运算 2.3黎曼-刘维尔分数导数 2.3.1整数阶导数与积分的统一定义 2.3.2任意阶积分 2.3.3任意阶导数 2.3.4t－a的分数导数 2.3.5黎曼-刘维尔分数导数与整数阶导数的复合运算 2.3.6分数导数的复合运算 2.3.7黎曼-刘维尔定义与格林瓦尔-莱特尼科夫定义之间的关系 2.4其他一些定义 2.4.1卡普途分数导数 2.4.2广义函数法 2.5序贯分数导数 2.6左和右分数导数 2.7分数导数的性质 2.7.1线性性质 2.7.2分数导数的莱布尼茨法则 2.7.3复合函数的分数导数 2.7.4单参量积分的黎曼-刘维尔分数导数 2.7.5下端点附近的行为 2.7.6远离下端点的行为 2.8分数导数的拉普拉斯变换 2.8.1拉普拉斯变换的基本知识 2.8.2黎曼-刘维尔分数导数的拉普拉斯变换 2.8.3卡普途分数导数的拉普拉斯变换 2.8.4格林瓦尔-莱特尼科夫分数导数的拉普拉斯变换 2.8.5米勒-罗斯序贯分数导数的拉普拉斯变换 2.9分数导数的傅里叶变换 2.9.1傅里叶变换的基本知识 2.9.2分数积分的傅里叶变换 2.9.3分数导数的傅里叶变换 2.10分数导数的梅林变换 2.10.1梅林变换的基本知识 2.10.2黎曼-刘维尔分数积分的梅林变换 2.10.3黎曼-刘维尔分数导数的梅林变换 2.10.4卡普途分数导数的梅林变换 2.10.5米勒-罗斯分数导数的梅林变换 第3章分数微分方程：解的存在性与唯一性定理 3.1线性分数微分方程 3.2一般形式的分数微分方程 3.3作为解法的存在性与唯一性定理 3.4解与初始条件的依赖关系 第4章分数微分方程：拉普拉斯变换法 4.1标准分数微分方程 4.1.1常线性分数微分方程 4.1.2偏线性分数微分方程 4.2序贯分数微分方程 4.2.1常线性分数微分方程 4.2.2偏线性分数微分方程 第5章分数格林函数 5.1定义与性质 5.1.1定义 5.1.2性质 5.2单项方程 5.3双项方程 5.4三项方程 5.5四项方程 5.6一般情况：n项方程 第6章分数阶方程的其他求解方法 6.1梅林变换法 6.2幂级数法 6.2.1单项方程 6.2.2非定常系数方程 6.2.3双项非线性方程 6.3Babenko符号演算法 6.3.1符号法的思想 6.3.2在热传导和物质输运中的应用 6.3.3Babenko符号法与拉普拉斯变换法的联系 6.4正交多项式法 6.4.1正交多项式法的核心思想 6.4.2正交多项式法的一般技巧 6.4.3里斯分数位势 6.4.4左黎曼-刘维尔分数积分和导数 6.4.5有关左黎曼-刘维尔分数积分的其他谱系关系 6.4.6右黎曼-刘维尔分数积分的谱系关系 6.4.7蠕变理论中的Arutyunyan方程求解 6.4.8阿贝尔积分方程的求解 6.4.9有限部分积分 6.4.10与非可积权函数正交的雅可比多项式 第7章分数导数的数值计算 7.1分数阶导数的黎曼-刘维尔定义与格林瓦尔-莱特尼科夫定义 7.2分数导数的逼近 7.2.1分数差分法 7.2.2求积公式的应用 7.3短时记忆原理 7.4逼近阶 7.5系数的计算 7.6高阶逼近 7.7高炉墙体内热负荷强度变化的计算 7.7.1问题的引入 7.7.2分数阶微分和积分 7.7.3热流量的分数阶导数计算法方法A 7.7.4基于炉墙热场模拟仿真的热流量计算法方法B 7.7.5解法的比较 7.8有限部分积分与分数导数 7.8.1用分数导数进行有限部分积分计算 7.8.2用有限部分积分进行分数导数计算 第8章分数微分方程的数值求解 8.1初始条件：什么问题需要求解？ 8.2数值求解 8.3数值求解举例 8.3.1弛豫-振荡方程 8.3.2定常系数方程：浸入平板的运动 8.3.3不定系数方程：流体中气体溶解问题 8.3.4非线性问题：半无限体的辐射冷却 8.4短时记忆原理在分数微分方程初值问题中的应用 第9章分数阶系统与控制器 9.1分数阶系统与分数阶控制器 9.1.1分数阶控制系统 9.1.2分数阶传输函数 9.1.3米塔-列夫勒型新函数 9.1.4一般公式 9.1.5单位冲激响应与单位阶跃响应 9.1.6一些特殊情形 9.1.7PID控制器 9.1.8开环系统响应 9.1.9闭环系统响应 9.2举例 9.2.1分数阶被控系统 9.2.2整数阶逼近 9.2.3整数阶PD控制器 9.2.4分数阶控制器 9.3分数阶系统辨识 9.4小结 第10章分数微积分的应用综述 10.1阿贝尔积分方程 10.1.1一般要点备注 10.1.2一些方程可简化为阿贝尔方程 10.2黏弹性力学 10.2.1整数阶模型 10.2.2分数阶模型 10.2.3分数微积分相关方法 10.3反馈放大器的伯德分析 10.4分数阶电容器理论 10.5电路 10.5.1树分抗 10.5.2链分抗与串分抗 10.5.3多孔堤坝的电路模拟模型 10.5.4Westerlund广义分压器 10.5.5分数阶Chua-Hartley系统 10.6电分析化学 10.7电极-电解液界面 10.8分数多极点 10.9生物学 10.9.1生物系统的电导性 10.9.2神经元的分数阶模型 10.10分数扩散方程 10.11控制理论 10.12实验数据拟合 10.12.1经典回归模型的缺点 10.12.2分数导数法 10.12.3举例：Nizna Slana矿山钢缆 10.13分数阶物理学 附录A分数导数表 注译附录A 分数微积算子、分抗与分抗逼近电路及其运算特征 注译附录B Oldham分形链分抗逼近电路的输入阻抗函数序列的求解方法 注译附录C 粗糙界面电极的电路建模与标度拓展非正则标度方程 注译附录D 任意阶分数算子的有理逼近标度拓展与非正则标度方程 注译附录E 分数微积分的应用实现问题 中英文词汇对照表 参考文献 注译参考文献 注译后记 內容試閱： 敬告读者：由于文字中公式较多，完整的文前内容可通过华信教育资源网（www.hxedu.com.cn）免费注册下载阅读。 Igor Podlubny为斯洛伐克科希策理工大学教授，应用数学博士，专注于研究数学在其他领域的应用，特别是对任意阶微分方程的应用。 袁晓，1964年生，四川中江人，工学博士，四川大学电子信息学院副教授。目前主要从事现代电路系统理论与技术、现代信号分析与处理等方面的研究与教学。近年来，致力于探索并建立表征与分析、理解与构造分数阶（电路）元件、分抗逼近电路、分数阶电路与系统等的一般数学原理与方法。提出标度拓展理论，探索与建立非正则标度方程相关理论与求解方法。 前言 本书致力于论述任意实数阶积分和导数概念、任意阶微分方程的解法，以及它们在不同领域的应用。 非整数阶导数理论可追溯到1695年9月30日，莱布尼茨Leibniz给洛必达LHospital\[123\]回信的一个列表注记，信中讨论了半阶导数的意义。 莱布尼茨的这一注记导致了任意阶导数和积分理论的出现，但直到十九世纪末，才由刘维尔、格林瓦尔、莱特尼科夫和黎曼等逐步地建立起粗略的理论框架。分数导数理论历史综述可在文献\[44，153，179，226，232\]中找到。 三个多世纪以来，分数导数理论的发展和研究主要局限于纯数学理论领域。然而，最近二十几年来许多研究者指出，非整数阶导数和积分非常适合描述众多现实材料特征，比如聚合物材料。业已证明，新的分数阶模型比先前的经典整数模型更有效。文献\[30，254\]中给出了基于非整数阶模型的基本物理解释。 分数导数对于不同材料和过程的记忆与遗传特性提供了精妙的描述手段和研究方法。分数导数的主要优点在于，比起经典的整数阶模型，它能更准确地表征现实材料和复杂物理过程的上述性质，而在经典的整数阶模型中却忽略了这些效应。分数导数的优势还表现在，它不但能够很好地对现实材料的力学与电学特性进行数学建模，而且对于物质的流变性能，以及许多其他领域中的问题建模也有良好表现。 非整数阶导数另一大应用领域是近年来兴起的复杂且精细的分形理论。分形理论的发展更进一步推动了分数导数问题的深入研究，特别在自相似与多孔结构的动力学过程建模方面尤显突出。 分数积分和导数也出现在动力学系统的控制理论中。使用分数微分方程来描述被控系统或／和控制器的动力学特征更切实际。 在系统和过程的数学建模与仿真中，应用分数导数表征其性质时，就会自然地引入具有分数导数的微分方程，接着必须求解这样的方程。然而至今还没有找到求解这些方程的有效通用方法，甚至对于分数导数与积分最成功的应用情形亦是如此。 从物理、化学和工程应用的角度来看，Oldham和Spanier的著作《分数微积分：任意阶微分积分理论与应用》无疑是这一方面的杰作，并且在这一深奥理论的应用发展过程中，起着重要作用而被认为是应用分数微积分（Applied Fractional Calculus）书籍。该书是第一部全面致力于系统论述分数微积分概念、方法和应用的著作。 后来出现的有关论述在不同领域中的分数微积分问题的著作有： Samko，Kilbas和Maritchev］编辑的俄文版专论《分数阶积分和导数及它们的一些应用》（Nauka I Tekhnika，Minsk，1987） Gorenflo和Vessella所著的《阿贝尔积分方程：分析与应用》（Lecture Notes in Mathematics，vol1461，Springer-Verlag，Berlin，1991） Kiryakova所著的《广义分数微积分与应用》（Pitman Research Notes in Math，no301，Longman，Harlow，1994） McBride所著的《分数微积分与广义函数的积分变换》（Res Notes in Math，vol31，Pitman Press，San Francisco，1979） Miller和Ross所著的《分数微积分和分数微分方程引论》（John Wiley ＆ Sons Inc，New York，1993） Nishimoto所著的《Nishimoto分数微积分的本质》（Descartes Press，Koriyama，1991） Rubin所著的《分数积分与势》（Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics，vol82，Longman，Harlow，1996） Carpinteri 和Mainardi编辑的《连续介质力学中的分形与分数微积分》（Springer Verlag，Vienna-New York，1997） Yu Rossikhin和 Shitikova编辑的《分数微积分在固体线性和非线性遗传力学问题中的应用》（Appl Mech Rev，vol50，no1，1997） 卡普途［24］在1969年的意大利语著作中，系统地使用他所原创定义的分数微分去表示和求解黏弹力学问题，并将他的《地震学与流变构造地质学讲座》（Univ degli studi di RomaLa Sapienza，1992~1993）也加入到分数微积分这一科学长廊之中。 Oustaloup将分数导数在控制理论方面的应用编辑成丛书： 《分数阶线性系统》（Masson，Paris，1983）［183］ 《CRONE控制器》CRONE是法语Commande Robuste dOrdre Non Entier的首字母缩略词，是稳健分数阶控制（robust fractional-order control）之意。相关内容读者可参见本书第9章引言部分。（Hermes，Paris，1991） 《稳定性》（Hermes，Paris，1994） 《非整数阶导数：理论、综合与应用》（Hermes，Paris，1995） Oldham和Spanier所著的《分数微积分：任意阶微分积分理论与应用》（1974），米勒（Miller）和罗斯（Ross）所著的《分数微积分和分数微分方程引论》（1993）是应用科学家学习分数导数和分数微分方程的首选入门书。这两本书中的大量文献可帮助读者掌握分数微积分的初步研究方法。 本书的主要目的是为读者展示分数微分的基本理论、分数阶微分方程及其求解方法与应用。考虑到读者所有科技分支领域中工作者的应用研究需要，特别注意提供了易于理解与领会的应用实例来阐述概念和理论。基于同样的理由，书中针对分数微分的方式方法，都紧密结合现实应用而论述。作者在写作的语言叙述方式和文体风格上，力求适合广泛的潜在读者群，阅读后能够从中有效地学习和理解分数微积分的概念与理论。 本书共10章。 第1章引入特殊函数理论，主要论述伽马函数（函数）、贝塔函数（B函数）、米塔-列夫勒（Mittag-Leffler）函数和赖特（Wright）函数。这些特殊函数在分数导数与分数微分方程理论中起着至关重要的作用。 第2章陈述微分与积分概念广义化的一些方法。对于每一种情况，均从整数阶导数和积分入手，然后介绍怎样使用所选择的方法，广义化整数阶微分与积分到分数阶情形。在此重点考察格林瓦尔-莱特尼科夫、黎曼-刘维尔和卡普途分数导数，以及所谓的序贯分数导数sequential fractional derivatives。另外还讨论分数导数的广义函数方法、左和右分数导数概念。最后介绍这些不同定义的性质，包括复合运算规则、它们之间的相互联系，以及积分变换（拉普拉斯变换、傅里叶变换、梅林变换）的应用。 第3~8章专注于论述分数微分方程的处理方法。 第3章给出一些对于处理分数微分方程初始问题有用的存在性和唯一性定理，并用求解实例证明它们的有效性。该章也研究解结果与初始条件的依赖关系。 第4章论述求解线性分数微分方程的拉普拉斯变换法，并举例说明该方法的可行性。在此需要特别注意的是，包含标准（standard）与序贯（sequential）分数导数的分数微分方程之间的差别。该章同时也给出一些用拉普拉斯变换法求解偏微分方程的例子。 第5章首先给出分数格林函数的定义和性质，获得一般常线性分数微分方程解的格林函数显式表达式。紧接着研究特殊的单项、双项、三项和四项分数微分方程的求解。结合第4章和第5章的求解方法，对于常线性分数微分方程来说，就可能容易获得其初值问题的闭式解。 第6章讲述求解分数微分方程的一些其他解析方法，也即梅林变换法、幂级数法和Babenko符号法。这一章也包含求解分数阶积分方程的正交多项式法，并给出不同核类函数的谱关系概貌。该章所描述的所有方法都有实例说明。 第7章和第8章研究分数微分方程的数值求解算法。 第7章引入分数导数数值计算的分数差分法原文为the difference approach，译为分数阶差分法，简称分数差分法。，讨论其逼近。本章也论述短时记忆短时记忆short-memory，也可译为短暂记忆。原理，它允许我们快速估算分数导数。紧接着用高炉墙内热负载强度变化估算实例，阐明分数差分法和短时记忆原理的具体应用。最后采用分数导数的分数差分逼近，解决发散积分有限部分的数值估算问题。该问题通常出现在许多领域，特别在断裂力学（fracture mechanics）中，经常需要对有关发散积分的有限部分进行数值估算。 第8章应用分数差分法数值求解常分数微分方程初值问题。同时再一次用几个求解实例来验证分数差分法和短时记忆原理的实用价值和有效性。 第9、10两章，致力于分数微积分的应用，并用实例来展示前几章所给方法的具体应用步骤和求解过程。 第9章考察分数阶动力学系统和控制器问题。事实上，本章是前几章中所给方法的扩展应用。 第10章是分数导数在不同领域的应用综述。在某些学科，分数微积分已

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