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| 內容簡介： |
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《相依重尾风险模型的渐近分析》以重尾分布相关理论为基础, 从保险行业风险管理的角度, 量化巨灾风险和金融风险及其相依性、多维性对保险公司偿付能力造成的影响,从而为保险公司稳健经营以及风险预警提供理论支持. 《相依重尾风险模型的渐近分析》详细介绍了各种重尾分布族的定义、性质和分类, 并研究了相依情形下的max-sum 等价问题. 在此基础上, 结合经典的更新风险模型, 并充分考虑保险产品的多样性以及由此带来的相依性、保险资金风险投资带来的金融风险以及与索赔风险的交互作用, 建立了相应的风险模型, 并研究了模型中破产概率的渐近估计问题. 随着考虑因素的增多, 所得模型与现实更加贴近, 所得结论解释性和实用性更强.
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| 目錄：
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目录
前言
第1章 导论 1
1.1 幂律分布、齐普夫律以及帕累托法则 1
1.2 重尾分布与轻尾分布的定义及例子 3
1.3 常见的重尾分布子族及其性质 8
1.3.1 慢变函数与正则变换函数 8
1.3.2 正则变换分布族及其推广 13
1.3.3 长尾函数与长尾分布 15
1.3.4 次指数分布 17
1.4 局部重尾分布族 22
1.5 重尾密度族 25
1.5.1 重尾密度族的定义和性质 25
1.5.2 关于重尾密度几乎递减性质问题的讨论 27
1.5.3 几乎递减性质在局部重尾分布族中的应用 33
1.6 多元重尾分布族 36
1.6.1 多元正则变换分布族 36
1.6.2 多元次指数分布族 41
1.7 Levy过程 47
第2章 相依情形下随机游动的max-sum等价 51
2.1 现状和发展趋势 51
2.2 条件相依情形下的max-sum等价 53
2.2.1 主要结论及相关说明 53
2.2.2 主要结论的证明 57
2.3 条件独立情形下的max-sum等价 61
2.4 具有FGM相依结构的局部max-sum等价 70
2.4.1 主要结论 71
2.4.2 关于假设条件的几点说明 72
2.4.3 引理及其证明 75
2.4.4 定理2.4.1的证明 80
第3章 二维常利率相依更新风险模型中的一致渐近估计 86
3.1 现状和发展趋势 86
3.2 二维相依重尾更新风险模型破产概率的一致渐近估计 91
3.2.1 模型设定和相依性假设 91
3.2.2 主要结果及相关说明 93
3.2.3 满足条件1至条件4的copula例子及验证 95
3.2.4 引理及其证明 99
3.2.5 定理3.2.1的证明 102
3.3 二维折现索赔过程的一致渐近局部估计 107
3.3.1 局部时间相依结构条件 108
3.3.2 二维折现索赔过程的一致渐近局部估计 109
3.3.3 满足条件1至条件3的copula例子及其验证 111
3.3.4 引理及其证明 113
3.3.5 定理3.3.1的证明 119
第4章 相依综合风险模型中的一致渐近估计 124
4.1 连续时间综合风险模型研究综述 124
4.2 时依综合风险模型中的一致渐近估计 129
4.2.1 主要结论 129
4.2.2 关于主要结论的说明及其应用 132
4.2.3 模拟研究 133
4.2.4 考虑有限时间破产概率约束的保险公司**投资策略 143
4.2.5 与定理4.2.1相关的引理及其证明 149
4.2.6 与定理4.2.3相关的引理及其证明 163
4.2.7 主要结论的证明 168
4.3 离散时间综合风险模型研究综述 174
4.4 金融风险与保险风险相互作用下相依离散时间风险模型的破产渐近分析 176
4.4.1 强正则变换分布族与二维Sarmanov分布 176
4.4.2 破产概率的渐近估计和一致渐近估计 178
4.4.3 引理及其证明 180
4.4.4 主要结论的证明 180
参考文献 189
索引 203免费在线读第1章导论
1.1幂律分布、齐普夫律以及帕累托法则
大量历史事实表明，造成保险公司出现偿付能力不足甚至破产的往往并非日积月累的小额索赔，而是极少量的大额索赔，比如在1995年由阪神大地震造成的损失占当年全球约1500亿美元损失的一半以上.近十数年来，诸如2001年的美国9￠11恐怖袭击、2004年的印度洋海啸、2005年的卡特里娜飓风、2007年的金融危机、2008年的中国南方特大冰灾和汶川地震、2010年的海地地震，以及2011年的日本大地震，各类**事件时有发生，而在2015年的8月12日发生的天津港特大爆炸事故，据专家估计，直接经济损失高达700亿，造成的财产保险的赔付数额约为100亿元.
这些造成大额索赔的**事件的共同之处在于其重尾性，也就是说出现**值的可能性相对较大，关于重尾分布的严格定义将在1.2节给出.形象理解重尾的含义，就是有些东西可以超出想象的大，而且出现这么大的东西的概率比想象的大相对正态分布而言.幂律分布就是这种陡峭而延伸很长的分布，其密度函数满足
1.1
在幂律分布概念提出以前，已经有很多人研究类似的现象，这里面有两个重要人物：一个是齐普夫G.K.Zipf，一个是帕累托V.Pareto.
齐普夫在1932年和1935年研究不同语言词频的时候提出了刻画词频分布的齐普夫律.他把某种语言的文本数据拿来，分割成词，分完后统计不同的词各出现了多少次，然后按使用次数从多到少排序，将结果画在图上，横轴就是排序大小，纵轴就是对应的词出现的次数，在双对数坐标下呈现直线特征.齐普夫律的数学表达为
1.2
其中，x是规模，r是排序，是齐普夫指数，在很多情况下，=1.如果按照出现频率排序，则第二常见的单词出现频率是**常见单词出现频率的12，第三常见单词为**常见单词出现频率的13.比如，在Brown语料库中，“the”是*常见的单词，它在这个语料库中出现了大约7%100万单词中出现69971次，正如齐普夫律中所描述的一样，出现次数为第二位的单词“of”，占了整个语料库中的3.5%36411次，之后的是“and”28852次.仅仅135个字汇就占了Brown语料库的一半.这说明在英语单词中，只有极少部分的词被经常使用，而绝大部分词很少被使用.
在19世纪90年代，帕累托注意到，20%的人口掌握意大利约有80%的土地.目前，这种“8020”原则在管理领域流行度非常高.进一步可以定义广义的帕累托法则，即p份额的人口占据总财富1-p的份额.并且这个规律是可以迭代的，如p2份额的人口占据总财富的1-p2的份额，则可以得到帕累托分布
1.3
这是一个尾分布函数，表示大于某个量的人口份额正比于这个量的一个幂函数，其中k为帕累托指数.对于广义的帕累托法则，具有关系Hardy，2010
1.4
从现代的观点来看，这三者是等价的，是对于同一数据的三种不同侧面的展示.幂律分布可以通过逆累积分布得到帕累托分布.相反，如果对于帕累托分布求导数，就可以得到幂函数形式的概率密度函数.而帕累托分布和齐普夫律实际上是交换了自变量和因变量的位置，它们在图形上是关于y=x对称的.综上，这三者是同一个数据的不同展示形式，在双对数坐标下均为负斜率的直线，且满足关系
1.5
我们再看几个服从幂律分布的例子.①地震的能量震级与发生频率的关系Christensen et al.，2002.②城市规模的分布Newman，2005.③回信的时间间隔分布：Oliveira和Barabasi2005对爱因斯坦和达尔文这两个人的发出的邮件和收到的邮件做了配对，研究他们收到一封信之后，多少天才回复.发现它们在双对数坐标下表现为直线，说明具有幂律分布特征，甚至幂律指数几乎是一样的，都是1.5.④无标度网络scalefree network：复杂网络是真实系统简化得来的，在这个网络中个体被抽象为节点，关系被抽象为连边，节点的**功能就是通过连边传递信息.节点的连边数量称为度，这种度的分布均衡程度对于网络的功能具有重要影响.而无标度网络简单地说就是度分布服从幂律分布的网络Barabasi and Albert，1999.无标度网络中各节点之间的连接状况具有严重的不均匀分布性：无标度网络中大部分的节点的度都很小，属于“叶子”节点，删除它对于整个网络影响不大;少数节点被称为Hub点，拥有极其多的连接，对无标度网络的运行起着主导的作用，一旦移除掉Hub节点，整个网络结构被严重破坏.
从数学角度上讲，现实世界中的幂律分布的方差总是不存在的，甚至在一些情况下连期望都不存在.广义中心极限定理告诉我们，如果独立同分布的随机变量序列方差无限，则在一定条件下其正则化部分和的极限行为是L.evy稳定分布，这种分布虽然没有明确的密度函数形式，但尾部可以用幂律分布描述，参见文献 Feller，197117.5节的定理1和定理2.另外，它还有一个特征：标度不变性scaling invariance.以帕累托8020法则为例，8020法则说20%的人口掌握了80%的财富.而在这个掌握80%财富的20%人口中，又有20%掌握了其中的80%，而在穷人部分随便划出一部分，也会发现20%的较为富有的占有了这部分穷人总财富的80%.无论在任何财富区间，都会有同样的规律，这个规律和所划定的区间无关.这种现象被称为无特征尺度.
能产生幂律分布的机制非常多，如Barabasi在1999年提出的著名的偏好依附模型、Repetowicz等2005的货币转移模型、Mitzenmacher2004的*小值限制随机乘数模型以及猴子随机打字模型.对幂律分布参数的估计方法的研究可以参见文献Newman，2005;Clauset et al.，2009以及Gabaix and Ibragimov，2011.
1.2重尾分布与轻尾分布的定义及例子
本节首先进行记号上的约定：给定R上的分布F，称1-F为其右尾分布，记为.若对所有x，都有，则称分布F具有右无界的支撑.对任意给定的T0，记.定义风险函数为，进一步，如果F**连续，密度为f，则风险率函数定义为，从而有.若分布F满足，定义其积分尾分布为.
设X1，X2，，Xn是R上n个相互独立的随机变量，分布分别为F1，F2，，Fn，则的分布称为F1，F2，，Fn的卷积，记为F1*F2**Fn.进一步，如果X1，X2，，Xn是独立同分布的随机变量，其共同分布为F，则F的n重卷积的定义为，其中约定F1*=F.
对于单调不减函数，其左连续逆定义为
其中约定.
此外，对于任意两个正值函数ax和bx，当时，记作ax~bx.当时，记为或.当时，记为当时，记为.若ax=Obx，且bx=Oax，则记为.且对
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