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国家地理万物皆数学系列丛书将引导您思考数学如何塑造我们的世界，向您介绍趣味而广泛的数学话题，并清晰地叙述其来龙去脉、应用场景和相关知识。系列中的每本书都经过特别的委托与要求，在科普名家的笔下，深奥的数学理论灵动起来，以一种平易近人的风格和无比开阔的视野，栩栩如生地呈现。 从远古时代到当今的数字世界，8本书都各自侧重于作者所擅长的数学议题。源自生活的解读和充满智性的论点让文本易于理解，在下午茶时间，不妨以一本数学小书慰藉匆忙的生活。除了精心撰写的内容，丛书独特的引文设置回溯了数学领域众多关键词与人事物的历史，讲述了动人心魄的曲折故事。要想深入了解数学如何成为日常生活的一部分，万物皆数学系列丛书不可或缺。 -------- 万物皆数学科普丛书Everything is Mathematical 1、数学家、间谍与黑客：密码与解码 Mathematicians, Spies and Hackers： coding and cryptography ［西］琼戈麦斯（Joan Gmez）著 于秀秀 译 2、黄金比例：用数学打造完mei The Golden Ratio：The mathematical language of beauty ［西］尔南多科尔瓦兰（Fernando Corbalan）著 张鑫 译 3、数学星球：人类文明与数学 Planet Mathematics： a numerical journey around the world ［西］米克尔阿尔贝蒂（Miquel Albert）著 卢娟 译 4、丈量世界：时间、空间与数学 Getting the Measure of the World： calendars, longitudes and mathematics ［西］约兰达格瓦拉（Iolanda Guevara）卡尔斯普伊格（Carles Puig）著 孙珊珊 译 5、数学与决策：数学教你做决定 When Mathematics goes to the Polls： decision processes ［西］维森斯托拉（Vicen Torra）著 吕红艳 译 6、感官的盛宴：数学之眼看艺术 Playing with the Senses： Art through Mathematical Eyes ［西］弗朗西斯科马丁卡萨尔德雷（Francisco Martn Casalderrey）著 满易 译 7、的秘密：关于圆的一qie Secrets of the Number ： Why is it impossible to square the circle? ［西］华金纳瓦罗（Joaqun Navarro）著 李海亭 译 8、博弈论：决策制胜的法则 Prisoners with Dilemmas and Dominant Strategies： game theory ［西］乔迪德罗夫（Jordi Deulofeu）著 谭莹 译 關於作者： 琼戈麦斯（Joan Gmez），西班牙加泰罗尼亚理工大学（Universitat Politecnica de Catalunya ）数学系副教授，数学科普作家。主要研究数学、建模、传播学、教育学。著作有：《当直线弯曲时：非欧几里得几何》《超越欧几里得：其他几何》《密码学：保守秘密的艺术》等书。 目錄： 目录：前言 i 第一章 信息真的安全吗？ 1 第二章 19世纪之前的密码学 17 第三章 编码机 65 第四章 用数字0和1的通信 97 第五章 公开的秘密：公钥密码学 129 第六章 量子化的未来 149 附录 169 参考书目 186 在线试读前 言 暗号和密码曾经只应用于政治领域和精英的社交活动中， 而信息时代的到来使它们成为整个社会平稳运行的关键。本书旨在介绍密码学的历史，所选的角度乃是探索密码世界的最佳向导数学。 密码学是用暗码书写的艺术，与书写同时出现。虽然最早埃及人和美索不达米亚人使用过加密文字，但第一个充分利用密码的是古希腊人和古罗马人，因为这两个民族都有好战的文化，通信保密是战争胜利的关键因素。这样的保密催生了新的对垒双方宣称自己是秘密保护者的加密者和希望揭开秘密的密码破译者，也叫解密者。这场发生在台面之下的战争始终战况焦灼，随着时间的流逝，或许一方会暂时领先，超越对手，但始终没有哪边能收获决定性的胜利。比如9 世纪时，阿拉伯哲人肯迪（Al-Kindi）发明了一种密码破解方法，叫作频率分析，在当时看来，任何用密码书写信息的人在它面前都会败下阵来，但接下来，加密者花了几百年的时间创造出了多表加密法，又扳回一城。同样，多表加密法看似也是一件致命武器，后来出现了由一位英国天才所创的更强大的密码破译系统（后人研究他的个人文件时才发现这个秘密），再一次扭转了局势。从那以后，加密和解密双方各自使用的主要武器就成了数学，从统计学到模运算，还曾取道数论。 这场编解码大战后来迎来了一个转折点：第一台加密机的出现，以及不久之后出现的解码机。第一台可编程数字计算机由英国人发明，名为巨人，其目的就是破解纳粹德国的恩尼格玛密码机。 随着计算能力的大爆炸，代码取代了传统的保密方法，成为加密信息传输的主流。现代社会的通用语言既不是字母也不是表意文字，而是0 和1 两个数字，这就是二进制代码。 随着新技术的到来，到底哪一方获利更多，是加密者还是解密者？在这个计算机病毒、数据窃取和超级计算机满天飞的时代，还有可能保密吗？对于第二个问题的回答是肯定的，而我们要再次感谢数学，这次要感谢的是质数和质数的特性。但这次加密者的暂时优势能够持续多久呢？要回答这个问题，我们需要求助当代科学最前沿的阵地量子力学。了解过量子力学中令人感到自相矛盾却又震惊不已的理论之后，我们这场事关安全与保密的激动人心的数学之旅也将画上句号。 本书最后还提供了参考书目，希望对想要进一步探索加密和密码学世界的你有所帮助。 第六章 量子化的未来 齐默尔曼说的话对吗？加密者和解密者之间持续1 000 多年的爱恨对决已经结束了吗？前 言 童年时期我们可能都玩过这样一种游戏：几名小伙伴先商定一套暗号，然后用这套暗号互相收发秘密信息。有些孩子会幻想自己是特工，进而在这类编解码游戏上倾注热情，但不会真的窃听传输中的信息，对第三方造成威胁。但是，在成年人的世界中，这种讨人厌的窃取信息的行为屡见不鲜，因此对我们来说，保证通信工具的保密性至关重要。 暗号和密码曾经只应用于政治领域和精英的社交活动中， 而信息时代的到来使它们成为整个社会平稳运行的关键。本书旨在介绍密码学的历史，所选的角度乃是探索密码世界的最佳向导数学。 密码学是用暗码书写的艺术，与书写同时出现。虽然最早埃及人和美索不达米亚人使用过加密文字，但第一个充分利用密码的是古希腊人和古罗马人，因为这两个民族都有好战的文化，通信保密是战争胜利的关键因素。这样的保密催生了新的对垒双方宣称自己是秘密保护者的加密者和希望揭开秘密的密码破译者，也叫解密者。这场发生在台面之下的战争始终战况焦灼，随着时间的流逝，或许一方会暂时领先，超越对手，但始终没有哪边能收获决定性的胜利。比如9 世纪时，阿拉伯哲人肯迪（Al-Kindi）发明了一种密码破解方法，叫作频率分析，在当时看来，任何用密码书写信息的人在它面前都会败下阵来，但接下来，加密者花了几百年的时间创造出了多表加密法，又扳回一城。同样，多表加密法看似也是一件致命武器，后来出现了由一位英国天才所创的更强大的密码破译系统（后人研究他的个人文件时才发现这个秘密），再一次扭转了局势。从那以后，加密和解密双方各自使用的主要武器就成了数学，从统计学到模运算，还曾取道数论。 这场编解码大战后来迎来了一个转折点：第一台加密机的出现，以及不久之后出现的解码机。第一台可编程数字计算机由英国人发明，名为巨人，其目的就是破解纳粹德国的恩尼格玛密码机。 随着计算能力的大爆炸，代码取代了传统的保密方法，成为加密信息传输的主流。现代社会的通用语言既不是字母也不是表意文字，而是0 和1 两个数字，这就是二进制代码。 随着新技术的到来，到底哪一方获利更多，是加密者还是解密者？在这个计算机病毒、数据窃取和超级计算机满天飞的时代，还有可能保密吗？对于第二个问题的回答是肯定的，而我们要再次感谢数学，这次要感谢的是质数和质数的特性。但这次加密者的暂时优势能够持续多久呢？要回答这个问题，我们需要求助当代科学最前沿的阵地量子力学。了解过量子力学中令人感到自相矛盾却又震惊不已的理论之后，我们这场事关安全与保密的激动人心的数学之旅也将画上句号。 本书最后还提供了参考书目，希望对想要进一步探索加密和密码学世界的你有所帮助。 第六章 量子化的未来 根据菲利普齐默尔曼在西蒙辛格（Simen Singh）的《密码故事》（The Code Book）中的说法，在现代密码学中， 有可能创造出所有密码分析手段都破解不了的密码。前面我们说过，即便是性能最强大的计算机，其计算能力也无法暴力破解像RSA 或DES 那样的加密算法，甚至连PGP 那样的混合加密系统也不太可能被暴力破解。那么有没有可能存在某种数学捷径，能够降低密码破解的复杂性呢？虽然不能完全否认这种可能性，但也没人特别看好这种可能。 齐默尔曼说的话对吗？加密者和解密者之间持续1 000 多年的爱恨对决已经结束了吗？ 量子计算 答案是不一定。在20 世纪的最后10 年中，量子计算机， 这种在设计和操作方式上发生了革命性改变的计算机横空出世。尽管目前仍处于理论阶段，但经过不断摸索，量子计算机的计算能力有希望破解今天的加密算法。有朝一日，密码分析学会重回竞技场。 这场刚刚萌芽的技术革命基于量子力学。量子力学是20 世纪初，由包括丹麦人尼尔斯玻尔（18851962）、英国人保罗狄拉克（19021984）、德国人马克斯普朗克（18581947）、维恩海森伯（19011976）和埃尔文薛定谔（18871961）在内的诸多科学家构建的一座理论大厦。量子力学提出的宇宙观违反常识，爱因斯坦持反对态度，曾因此说过一句名言： 上帝不掷骰子。与爱因斯坦的保守形成对比的是，量子力学理论已经被成功验证了无数次，现在，它的正确性已毋庸置疑。整个科学界认为，从宏观层面上 由恒星、建筑、分子组成的宇宙宇宙遵循经典物理学的规律。但是在量子世界由夸克、光子、电子等亚原子粒子组成的小到不能再小的王国则需要另外一套规则，通向令人惊奇的悖论。没有量子理论，就不会有核反应堆，不会有激光扫码器，也无法解释太阳的灿烂光辉或者DNA 的功能。 既死又活的猫 1958 年，在量子力学的研讨会上，玻尔就一位发言人的观点提出了以下见解：我们都同意他的理论是疯狂的，但在关于这个理论正确与否的问题上，我们分成了两个阵营，无论它有多疯狂，都有50% 的概率是对的。量子力学到底有多疯狂？举个例子，就拿状态叠加的原理来说。当一个粒子同时占据两个以上位置或同时具有不同的能量时，我们就可以说它呈现出一种叠加状态。但当观察者测量这个粒子时，它总是只选择一个位置或具有某个具体的能量。薛定谔设计了一个思想实验，名为薛定谔的猫，用以阐释这个明显荒谬的概念。想象一只猫，把它放进一个不透明的密封箱子中，箱子中还放有一个烧瓶，烧瓶内装有有毒气体，通过某种设备把烧瓶和一个放射性粒子连接起来，如果粒子发生衰变，烧瓶就会被打破， 放出毒气，猫将中毒而死。但问题是粒子在一定时间内衰变的概率是50%。整套设备，取决于一个粒子的行为，而这个粒子遵循量子物理的规律。 假设已经到了既定的时间，猫会是死的还是活的？或者， 用量子力学的行话来说，箱子猫系统处于什么状态？只有当观察者打开箱子，观测了系统的状态，察知粒子是否衰变，之后才能回答这个问题。因此，存在系统的叠加状态：严格来说，猫既不活着也没死去，而是既活又死。 有人认为叠加状态是一种难以置信的假设，但这些人要注意了，令人尊敬的物理学家已经提出了多世界诠释。比如， 多世界诠释理论认为，叠加状态的概念是一种不可证实的论点，而实际上，对于每一个可能的状态，一个粒子都有它可能的位置、能量等；还存在另外一个宇宙，在那里，粒子具有某个具体的状态。换句话说，在一个宇宙中，猫是活的；在另外一个宇宙中，猫是死的。当观察者打开箱子，确定这只猫科动物实际活着时，他在另外一个可能的宇宙中也这样做了，而这两者是一个整体。在另外一个平行宇宙中，有它自己的恒星、行星、火车站和蚂蚁以及这位观察者，他也正看着箱子的内部， 满面忧伤，因为那个宇宙中的猫已经被毒死了。多世界诠释的支持者仍不确定这些宇宙彼此会不会相互作用。即便如此，理论说明的是对量子现实为何以这种方式作为行为的诠释，而不是行为本身，这点已经在无数实验中被证实了。 从 比特到 量子比特 话说回来，粒子的叠加状态和计算之间有什么关系吗？ 密码学又跟粒子的叠加状态有什么关系？ 1984 年之前，尚无人思考这两个领域之间的关系。大约那时，英国物理学家大卫多伊奇（David Deutsch）开始抛出一种革命性的观点：如果计算机不再遵循经典物理学，而是量子力学的定律，它们会是什么样呢？粒子的叠加状态如何促进计算呢？ 回想一下，传统的计算机处理信息的最小单位比特， 能够采用对应的数值：0 和1。另一方面，量子计算机处理信息的最小单位是粒子，而一个粒子具有两个可能的状态。比如，电子自旋只能有两个方向中的一个向上或向下 代表数值0（下旋）或1（上旋）。但这个粒子具有神奇的属性，通过叠加的自旋状态，它可以同时表示两个数值。这种信息的新单位叫作 量子比特，英文写作qubit，即quantum bit（量子比特）的缩写，这种处理能够打开通往超强计算机的大门。 传统计算机的计算是循序渐进的。下面以32 位的数字信息为例。用32 位数字，我们可以把从0 到4 292 967 295 的数字译成密码。传统计算机如果必须在这个范围内查找一个具体的数字，那它必须一点一点地进行。 但量子计算机执行这个任务速度要快得多。请想象，把32 个电子放进一个特制的容器，并让它们进入叠加状态。那么，通过应用足够强的电子脉冲改变电子自旋的方向，从上旋变为下旋，这32 个电子量子计算机的量子比特能够同时表现出所有上旋（1）和下旋（0）的可能组合。这样一来， 查找想要的数字，就可以同时执行每一个可能的选择。如果增加量子比特的数量，比如250，同时运算的数量会有大约1075 个，这个数字比我们宇宙包含的原子数还要多一点。 多伊奇的研究证明，量子计算机从理论上是可能的。终有一天它会成为现实，这是全世界众多高校和科研机构的目标。不过，迄今为止，科学家还未能克服建造一台可行的量子计算机所面临的技术难题。有些专家认为还要花费15~25 年的时间，有些专家则怀疑这个想法根本行不通。 內容試閱： 前 言 童年时期我们可能都玩过这样一种游戏：几名小伙伴先商定一套暗号，然后用这套暗号互相收发秘密信息。有些孩子会幻想自己是特工，进而在这类编解码游戏上倾注热情，但不会真的窃听传输中的信息，对第三方造成威胁。但是，在成年人的世界中，这种讨人厌的窃取信息的行为屡见不鲜，因此对我们来说，保证通信工具的保密性至关重要。 暗号和密码曾经只应用于政治领域和精英的社交活动中， 而信息时代的到来使它们成为整个社会平稳运行的关键。本书旨在介绍密码学的历史，所选的角度乃是探索密码世界的向导—数学。 密码学是用暗码书写的艺术，与书写同时出现。虽然早埃及人和美索不达米亚人使用过加密文字，但个充分利用密码的是古希腊人和古罗马人，因为这两个民族都有好战的文化，通信保密是战争胜利的关键因素。这样的保密催生了新的对垒双方—宣称自己是秘密保护者的加密者和希望揭开秘密的密码破译者，也叫解密者。这场发生在台面之下的战争始终战况焦灼，随着时间的流逝，或许一方会暂时领先，超越对手，但始终没有哪边能收获决定性的胜利。比如9 世纪时，阿拉伯哲人肯迪（Al-Kindi）发明了一种密码破解方法，叫作频率分析，在当时看来，任何用密码书写信息的人在它面前都会败下阵来，但接下来，加密者花了几百年的时间创造出了多表加密法，又扳回一城。同样，多表加密法看似也是一件致命武器，后来出现了由一位英国天才所创的更强大的密码破译系统（后人研究他的个人文件时才发现这个秘密），再一次扭转了局势。从那以后，加密和解密双方各自使用的主要武器就成了数学，从统计学到模运算，还曾取道数论。 这场编解码大战后来迎来了一个转折点：台加密机的出现，以及不久之后出现的解码机。台可编程数字计算机由英国人发明，名为“巨人”，其目的就是破解纳粹德国的恩尼格玛密码机。 随着计算能力的大爆炸，代码取代了传统的保密方法，成为加密信息传输的主流。现代社会的通用语言既不是字母也不是表意文字，而是0 和1 两个数字，这就是二进制代码。 随着新技术的到来，到底哪一方获利更多，是加密者还是解密者？在这个计算机病毒、数据窃取和超级计算机满天飞的时代，还有可能保密吗？对于第二个问题的回答是肯定的，而我们要再次感谢数学，这次要感谢的是质数和质数的特性。但这次加密者的暂时优势能够持续多久呢？要回答这个问题，我们需要求助当代科学前沿的阵地—量子力学。了解过量子力学中令人感到自相矛盾却又震惊不已的理论之后，我们这场事关安全与保密的激动人心的数学之旅也将画上句号。 本书后还提供了参考书目，希望对想要进一步探索加密和密码学世界的你有所帮助。 第六章 量子化的未来 根据菲利普·齐默尔曼在西蒙·辛格（Simen Singh）的《密码故事》（The Code Book）中的说法，“在现代密码学中， 有可能创造出所有密码分析手段都破解不了的密码”。前面我们说过，即便是性能强大的计算机，其计算能力也无法暴力破解像RSA 或DES 那样的加密算法，甚至连PGP 那样的混合加密系统也不太可能被暴力破解。那么有没有可能存在某种数学捷径，能够降低密码破解的复杂性呢？虽然不能完全否认这种可能性，但也没人特别看好这种可能。 齐默尔曼说的话对吗？加密者和解密者之间持续1 000 多年的爱恨对决已经结束了吗？ 量子计算 答案是不一定。在20 世纪的后10 年中，量子计算机， 这种在设计和操作方式上发生了革命性改变的计算机横空出世。尽管目前仍处于理论阶段，但经过不断摸索，量子计算机的计算能力有希望破解今天的加密算法。有朝一日，密码分析学会重回竞技场。 这场刚刚萌芽的技术革命基于量子力学。量子力学是20 世纪初，由包括丹麦人尼尔斯·玻尔（1885—1962）、英国人保罗·狄拉克（1902—1984）、德国人马克斯·普朗克（1858—1947）、维恩·海森伯（1901—1976）和埃尔文·薛定谔（1887—1961）在内的诸多科学家构建的一座理论大厦。量子力学提出的宇宙观违反常识，爱因斯坦持反对态度，曾因此说过一句名言：“ 上帝不掷骰子。”与爱因斯坦的保守形成对比的是，量子力学理论已经被成功验证了无数次，现在，它的正确性已毋庸置疑。整个科学界认为，从宏观层面上— 由恒星、建筑、分子组成的宇宙—宇宙遵循经典物理学的规律。但是在量子世界—由夸克、光子、电子等亚原子粒子组成的小到不能再小的王国—则需要另外一套规则，通向令人惊奇的悖论。没有量子理论，就不会有核反应堆，不会有激光扫码器，也无法解释太阳的灿烂光辉或者DNA 的功能。 既死又活的猫 1958 年，在量子力学的研讨会上，玻尔就一位发言人的观点提出了以下见解：“我们都同意他的理论是疯狂的，但在关于这个理论正确与否的问题上，我们分成了两个阵营，无论它有多疯狂，都有50% 的概率是对的。”量子力学到底有多疯狂？举个例子，就拿状态叠加的原理来说。当一个粒子同时占据两个以上位置或同时具有不同的能量时，我们就可以说它呈现出一种叠加状态。但当观察者测量这个粒子时，它总是只选择一个位置或具有某个具体的能量。薛定谔设计了一个思想实验，名为“薛定谔的猫”，用以阐释这个明显荒谬的概念。想象一只猫，把它放进一个不透明的密封箱子中，箱子中还放有一个烧瓶，烧瓶内装有有毒气体，通过某种设备把烧瓶和一个放射性粒子连接起来，如果粒子发生衰变，烧瓶就会被打破， 放出毒气，猫将中毒而死。但问题是粒子在一定时间内衰变的概率是50%。整套设备，取决于一个粒子的行为，而这个粒子遵循量子物理的规律。 假设已经到了既定的时间，猫会是死的还是活的？或者， 用量子力学的行话来说，箱子—猫—系统处于什么状态？只有当观察者打开箱子，“观测”了系统的状态，察知粒子是否衰变，之后才能回答这个问题。因此，存在系统的叠加状态：严格来说，猫既不活着也没死去，而是既活又死。 有人认为叠加状态是一种难以置信的假设，但这些人要注意了，令人尊敬的物理学家已经提出了“多世界诠释”。比如， “多世界诠释”理论认为，叠加状态的概念是一种不可证实的论点，而实际上，对于每一个可能的状态，一个粒子都有它可能的位置、能量等；还存在另外一个宇宙，在那里，粒子具有某个具体的状态。换句话说，在一个宇宙中，猫是活的；在另外一个宇宙中，猫是死的。当观察者打开箱子，确定这只猫科动物实际活着时，他在另外一个可能的宇宙中也这样做了，而这两者是一个整体。在另外一个平行宇宙中，有它自己的恒星、行星、火车站和蚂蚁以及这位观察者，他也正看着箱子的内部， 满面忧伤，因为那个宇宙中的猫已经被毒死了。多世界诠释的支持者仍不确定这些宇宙彼此会不会相互作用。即便如此，理论说明的是对量子现实为何以这种方式作为行为的诠释，而不是行为本身，这点已经在无数实验中被证实了。 从“ 比特”到“ 量子比特” 话说回来，粒子的叠加状态和计算之间有什么关系吗？ 密码学又跟粒子的叠加状态有什么关系？ 1984 年之前，尚无人思考这两个领域之间的关系。大约那时，英国物理学家大卫·多伊奇（David Deutsch）开始抛出一种革命性的观点：如果计算机不再遵循经典物理学，而是量子力学的定律，它们会是什么样呢？粒子的叠加状态如何促进计算呢？ 回想一下，传统的计算机处理信息的小单位—比特， 能够采用对应的数值：0 和1。另一方面，量子计算机处理信息的小单位是粒子，而一个粒子具有两个可能的状态。比如，电子自旋只能有两个方向中的一个—向上或向下— 代表数值0（下旋）或1（上旋）。但这个粒子具有神奇的属性，通过叠加的自旋状态，它可以同时表示两个数值。这种信息的新单位叫作“ 量子比特”，英文写作“qubit”，即“quantum bit”（量子比特）的缩写，这种处理能够打开通往超强计算机的大门。 传统计算机的计算是循序渐进的。下面以32 位的数字信息为例。用32 位数字，我们可以把从0 到4 292 967 295 的数字译成密码。传统计算机如果必须在这个范围内查找一个具体的数字，那它必须一点一点地进行。 但量子计算机执行这个任务速度要快得多。请想象，把32 个电子放进一个特制的容器，并让它们进入叠加状态。那么，通过应用足够强的电子脉冲改变电子自旋的方向，从上旋变为下旋，这32 个电子—量子计算机的量子比特—能够同时表现出所有上旋（1）和下旋（0）的可能组合。这样一来， 查找想要的数字，就可以同时执行每一个可能的选择。如果增加量子比特的数量，比如250，同时运算的数量会有大约1075 个，这个数字比我们宇宙包含的原子数还要多一点。 多伊奇的研究证明，量子计算机从理论上是可能的。终有一天它会成为现实，这是全世界众多高校和科研机构的目标。不过，迄今为止，科学家还未能克服建造一台可行的量子计算机所面临的技术难题。有些专家认为还要花费15~25 年的时间，有些专家则怀疑这个想法根本行不通。

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