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| 內容簡介： |
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本书主要讨论量子信息论中基础理论的精确数学表示和证明，可帮助读者全面理解这一领域的关键结论、证明技术和方法论，进而将其应用到不同的研究方向。书中首先给出线性代数、数学分析和概率论等必要的数学预备知识，在此基础上，对所有结论均给出了清晰和完整的证明。此外，书中还配备了一些有挑战性的练习，目的是帮助读者提升技能，逐步加深对量子信息论的理解。本书主要面向数学、计算机科学和理论物理方向的研究人员和高校研究生。
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| 關於作者： |
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约翰·沃特罗斯（John Watrous） 滑铁卢大学计算机科学学院教授，量子计算研究所成员。他是加拿大高等研究院（CIFAR）研究员，以及圆周理论物理研究所成员。他的主要研究方向是量子信息与计算，目前的研究重点是量子信息理论及其在算法、复杂性理论和密码学中的应用。
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| 目錄：
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出版者的话
译者序
前言
符号说明
第 1 章 数学基础 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 线性代数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1.1 复欧几里得空间 . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 线性算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 算子的分解与范数. . . . . . . . . . .20
1.2 分析、凸性和概率论 . . . . . . . . . . . . 28
1.2.1 分析和凸性 . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.2 概率论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.3 半定规划 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3 推荐参考资料. . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
第 2 章 量子信息基本概念 . . . . . . . . . . . . . 47
2.1 寄存器与态 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1 寄存器与经典态的集合 . . . . . . 47
2.1.2 寄存器的量子态. . . . . . . . . . . . .49
2.1.3 量子态的约化与纯化 . . . . . . . . 54
2.2 量子信道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.1 信道的定义与基本概念 . . . . . . 58
2.2.2 信道的表示与特征. . . . . . . . . . .61
2.2.3 信道与其他映射的例子 . . . . . . 72
2.2.4 极点信道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.3 测量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.1 测量的两种定义. . . . . . . . . . . . .80
2.3.2 测量的基本概念. . . . . . . . . . . . .83
2.3.3 极点测量与系综. . . . . . . . . . . . .89
2.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5 参考书目注释. . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
第 3 章 态与信道间的相似性及距离 . . . . 98
3.1 量子态区分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.1.1 区分一对量子态. . . . . . . . . . . . .98
3.1.2 区分系综的量子态 . . . . . . . . . 104
3.2 保真度函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.1 保真度函数的基本性质 . . . . . 110
3.2.2 保真度函数的特征 . . . . . . . . . 113
3.2.3 保真度函数的其他性质 . . . . . 122
3.3 信道距离与区分 . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.1 信道区分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.2 完全有界迹范数 . . . . . . . . . . . 132
3.3.3 信道间的距离. . . . . . . . . . . . . .139
3.3.4 完全有界迹范数的特征 . . . . . 147
3.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.5 参考书目注释. . . . . . . . . . . . . . . . . .158
第 4 章 保幺信道与优超. . . . . . . . . . . . . . .161
4.1 保幺信道的分类 . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.1.1 混合酉信道. . . . . . . . . . . . . . . .161
4.1.2 Weyl 协变信道 . . . . . . . . . . . . 170
4.1.3 Schur 信道 . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.2 保幺信道的普遍性质 . . . . . . . . . . 179
4.2.1 保幺信道集合的极点 . . . . . . . 179
4.2.2 保幺信道的不动点、谱和模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184
4.3 优超 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.3.1 实向量的优超. . . . . . . . . . . . . .188
4.3.2 Hermite 算子的优超. . . . . . . .194
4.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.5 参考书目注释. . . . . . . . . . . . . . . . . .200
第 5 章 量子熵与信源编码 . . . . . . . . . . . . 202
5.1 经典熵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.1.1 经典熵函数的定义 . . . . . . . . . 202
5.1.2 经典熵函数的性质 . . . . . . . . . 204
5.2 量子熵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.2.1 量子熵函数的定义 . . . . . . . . . 214
5.2.2 量子熵函数的基本性质 . . . . . 215
5.2.3 量子相对熵的联合凸性 . . . . . 222
5.3 信源编码 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.3.1 经典信源编码. . . . . . . . . . . . . .229
5.3.2 量子信源编码. . . . . . . . . . . . . .232
5.3.3 在量子态上编码经典信息 . . . 236
5.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
5.5 参考书目注释. . . . . . . . . . . . . . . . . .247
第 6 章 二分纠缠 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.1 可分性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.1.1 可分算子与可分态 . . . . . . . . . 249
6.1.2 可分映射与 LOCC 范式 . . . . 261
6.1.3 可分测量与 LOCC 测量 . . . . 268
6.2 关于纠缠的操作 . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.2.1 纠缠变换 . . . . . . . . .
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| 內容試閱：
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本书是关于量子信息的数学理论教材，着重于定义、定理与证明的形式化表述．本书主要面向有一定量子信息与计算基础 譬如本科与研究生入门级课程，或本领域内现有书籍所涉及的内容 的研究生和科研人员．
近年来 特别是近 20 年来，量子信息科学得到了爆炸式的发展．因此，这整个领域，即使是仅涉及理论层面，也远不是一本书所能完整介绍的．基于这样的事实，本书并没有尝试用所选章节的内容去代表整个领域．量子信息科学理论的许多有趣且基础的分支方向，譬如量子误差校正与容错、量子算法与复杂度理论、量子密码学以及拓扑量子计算等，皆未纳入本书．然而，对于希望学习这些主题的读者而言，接触本书中的一些核心数学概念也十分有帮助．
进一步说，虽然对量子信息理论的研究确实是被量子力学与量子计算设备的应用前景所同时驱动的，但这些主题远超本书所涉及的范围．因此本书不会涉及薛定谔方程，并且直接忽视了建造量子信息处理设备的艰难的技术挑战．总的来说，本书并未考虑如何激发读者学习量子信息理论的动力．这里我们假设读者已对该领域的学习有一定的热情，可能还对独立证明量子信息中的新定理有兴趣．
有些读者可能会发现，本书与传统的量子信息和计算标准框架有差异，特别是在符号与术语方面．例如，本书并未采用通常使用的狄拉克符号，某些概念的名称和符号与其他教材也有区别．但是这些差异其实是非常表面的，如果读者过去对这些概念与传统量子信息框架有所涉猎，将本书中的符号、术语与其他书籍中的进行相互转换并非难事．
除第 1 章之外，本书每一章皆包含一个习题集．其中一些习题可能很简单，一些习题可能很困难．虽然这些习题可能对相关课程的教师有帮助，但是它们的真正目的还是帮助该方向的学生．没有什么比刻苦钻研困难的问题 能解决自然更为理想 更对学生的学习有帮助．有的时候，这些习题可能来自某些已发表的科研论文．在这些情况下，我们自然没有试图掩饰这一事实或隐藏其来源，毕竟那些文献可能清楚地揭示了其解决方法.
在这里我要感谢 Debbie Leung、Ashwin Nayak、Marco Piani 和 Patrick Hayden 就本书涉及的一些课题提供了很有帮助的讨论．在过去的数年中，本书从讲义开始，经历过数版草稿，最终发展成当前的版本．在此期间，许多人指出了书中的错误并且给出了有价值的建议，在这里也对他们表示感谢．由于列出所有值得感谢的人的名单会显得过于冗长，因而并未在此列出整个名单，但是特别感谢 Yuan Su 与 Maris Ozols 对本书的贡献，他们提供了广泛且详细的评论、更正与建议．另外也感谢 Sascha Agne 提供的关于德文翻译的帮助．
这里我还要感谢滑铁卢大学计算机科学学院与量子计算研究所为我提供撰写本书的机会与完成本书的环境．另外我也要对加拿大自然科学和工程研究理事会与加拿大高等研究院为我的研究项目提供的资金支持致以诚挚的谢意．
最后，我还要感谢 Christiane、Anne、Liam 和 Ethan，虽然这无关乎量子信息．
John Watrous
2018 年 1 月于滑铁卢
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