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| 內容簡介： |
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本书提供了凸优化一个全面的、最新的介绍，这是一个日益重要的领域，在应用数学、经济和金融、工程和计算机科学，特别是在数据科学和机器学习领域有广泛应用。
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| 關於作者： |
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尤里·涅斯罗杰夫（Yurii Nesterov）是的优化专家。他是Nesterov梯度加速法、多项式时间内点法、平滑技术、正则化牛顿法等方面开创性著作的作者。曾获丹吉格奖2000、冯·诺依曼理论奖2009、SIAM杰出论文奖2014、欧洲金奖2016等多项国际大奖。
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| 目錄：
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译者序
前言
致谢
引言
第一部分黑箱优化
第1章非线性优化
11非线性优化引论
111问题的一般描述
112数值方法的性能
113全局优化的复杂度界
114优化领域的“身份证”
12无约束极小化的局部算法
121松弛和近似
122可微函数类
123梯度法
124牛顿法
13非线性优化中的一阶方法
131梯度法和牛顿法有何不同
132共轭梯度法
133约束极小化问题
第2章光滑凸优化
21光滑函数的极小化
211光滑凸函数
212函数类F∞,1Ln的复杂度下界
213强凸函数类
214函数类S∞,1μ,Ln的复杂度下界
215梯度法
22最优算法
221估计序列
222降低梯度的范数
223凸集
224梯度映射
225简单集上的极小化问题
23具有光滑分量的极小化问题
231极小极大问题
232梯度映射
233极小极大问题的极小化方法
234带有函数约束的优化问题
235约束极小化问题的算法
第3章非光滑凸优化
31一般凸函数
311动机和定义
312凸函数运算
313连续性和可微性
314分离定理
315次梯度
316次梯度计算
317最优性条件
318极小极大定理
319原始对偶算法的基本要素
32非光滑极小化方法
321一般复杂度下界
322估计近似解性能
323次梯度算法
324函数约束的极小化问题
325最优拉格朗日乘子的近似
326强凸函数
327有限维问题的复杂度界
328割平面算法
33完整数据的算法
331目标函数的非光滑模型
332Kelley算法
333水平集法
334约束极小化问题
第4章二阶算法
41牛顿法的三次正则化
411二次逼近的三次正则化
412一般收敛性结果
413具体问题类的全局效率界
414实现问题
415全局复杂度界
42加速的三次牛顿法
421实向量空间
422一致凸函数
423牛顿迭代的三次正则化
424一个加速算法
425二阶算法的全局非退化性
426极小化强凸函数
427伪加速
428降低梯度的范数
429非退化问题的复杂度
43最优二阶算法
431复杂度下界
432一个概念性最优算法
433搜索过程的复杂度
44修正的高斯牛顿法
441高斯牛顿迭代的二次正则化
442修正的高斯牛顿过程
443全局收敛速率
444讨论
第二部分结构优化
第5章多项式时间内点法
51自和谐函数
511凸优化中的黑箱概念
512牛顿法实际上做什么
513自和谐函数的定义
514主要不等式
515自和谐性和Fenchel对偶
52自和谐函数极小化
521牛顿法的局部收敛性
522路径跟踪算法
523强凸函数极小化
53自和谐障碍函数
531研究动机
532自和谐障碍函数的定义
533主要不等式
534路径跟踪算法
535确定解析中心
536函数约束问题
54显式结构问题的应用
541自和谐障碍函数参数的下界
542上界：通用障碍函数和极集
543线性和二次优化
544半定优化
545极端椭球
546构造凸集的自和谐障碍函数
547自和谐障碍函数的例子
548可分优化
549极小化算法的选择
第6章目标函数的原始对偶模型
61目标函数显式模型的光滑化
611不可微函数的光滑近似
612目标函数的极小极大模型
613合成极小化问题的快速梯度法
614应用实例
615算法实现的讨论
62非光滑凸优化的过间隙技术
621原始对偶问题的结构
622过间隙条件
623收敛性分析
624极小化强凸函数
63半定优化中的光滑化技术
631光滑化特征值的对称函数
632极小化对称矩阵的最大特征值
64目标函数的局部模型极小化
641Oracle线性优化
642合成目标函数的条件梯度算法
643收缩型条件梯度
644原始对偶解的计算
645合成项的强凸性
646极小化二次模型
第7章相对尺度优化
71目标函数的齐次模型
711圆锥无约束极小化问题
712次梯度近似算法
713问题结构的直接使用
714应用实例
72凸集的近似
721计算近似椭球
722极小化线性函数的最大绝对值
723具有非负元素的双线性矩阵博弈
724极小化对称矩阵的谱半径
73障碍函数次梯度算法
731自和谐障碍函数的光滑化
732障碍函数次梯度法
733正凹函数极大化
734应用
735随机规划的替代——在线优化
74混合精度优化
741严格正函数
742拟牛顿法
743近似解的解释
附录A求解一些辅助优化问题
参考文献评注
参考文献
索引
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| 內容試閱：
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写作本书的想法来自Springer的编辑，他们建议作者更新著作Introductory Lectures on Convex Optimization： Basic Course，这是2003年由Kluwer出版社出版的［39］.事实上，这本书的主要部分写于1997~1998年，所以其内容至少有20年的历史.对于凸优化这样一个活跃的领域，这确实是很长的时间.
然而，在开始研究相关内容之后，作者很快意识到，这一不大的目标根本无法实现.［39］主要是为关于凸优化的短学期课程12节课服务的，反映了当时该领域的主要算法成果.因此，一些重要的概念和想法，特别是与各种对偶理论有关的，被毫不留情地从内容中删除了.在某种意义上，［39］仍然适用于介绍凸优化算法基本概念的较短课程.对该内容的任何扩充都需要做出复杂的解释，以说明为什么所选的内容比书架上的许多其他有趣的候选材料更为重要.
于是，作者做出了一个艰难的决定——写一本新书，它包括［39］的所有内容，以及该领域在过去20年中最重要的进展.从时间节点上看，本书涵盖的时间段直到2012年当然，为了保持一致性，我们添加了几篇最新发表的论文成果，这对书中讨论的主题很重要. .因此，有关随机坐标下降法和通用方法的较新结果、零阶算法的复杂度结果和求解大规模问题的方法仍然没有包括进来.然而，在我们看来，这些非常有意义的主题还没有成熟到可以进行专题介绍的地步，尤其是以讲课的形式.
从方法论的角度看，这本书的新颖之处主要在于对偶的大量出现.现在读者可以从两个方面看待问题：原始和对偶.与［39］相比，本书的内容增加了一倍，这看起来对一个全面的介绍来说是合理的.但是很显然，本书的内容太多了，不适合作为一个学期的教材.然而，它很适合一个两学期的课程，或者，它的不同部分可以分别用于不同的现代优化教学课程.我们将在“引言”的最后讨论这个问题.
在本书中，我们包括三个对专题文献来说全新的主题.
● 光滑技术.该方法完全改变了我们对大多数应用中出现的非光滑优化问题复杂度的理解.它基于可用光滑函数逼近不可微凸函数，并用快速梯度法极小化新目标.与标准的次梯度法相比，新算法每次迭代的复杂度没有变化，然而，新算法迭代次数的估计值变成与标准次梯度算法迭代次数的平方根成正比.由于在实践中这些迭代次数通常是成千上万甚至百万的数量级，所以计算时间方面的好处非常惊人.
● 二阶算法的全局复杂度界.二阶算法及其最著名的代表——牛顿法，是数值分析中最古老的算法之一.然而，在牛顿法的三次正则化被发现之后，它们的全局复杂度分析才刚刚开始.对于这种经典算法的新变形，我们可以为不同问题类给出全局复杂度界.因此，我们现在可以比较不同的二阶方法的全局效率，并开发加速算法.这些算法的一个全新特点是极小化过程中用到目标函数的模型积累.同时，我们可以为它们推导复杂度下界，并研究最优的二阶算法.对于求解非线性方程组的算法也可以进行类似的修改.
● 相对尺度优化.定义最优化问题近似解的标准方法是引入绝对精度.然而，在许多工程应用中，以相对尺度百分比来度量解的质量是很自然的.为了朝这个方向调整极小化算法，我们引入了目标函数的一个特殊模型，并为计算一个与目标函数拓扑结构相兼容的适度度量应用了高效的预处理算法.因此，我们得到了非常有效的优化算法，其复杂度界与输入数据的大小具有弱依赖关系.
我们希望本书对广大读者有用处，包括数学、经济学和工程专业的学生，不同领域的实践者，以及优化理论、运筹学和计算机科学的研究人员.过去几十年这个领域发展的主要经验是，有效的优化算法只能通过智慧地使用特定问题实例的结构来研究.为了做到这一点，参考成功的例子总是有用的.我们相信本书将为感兴趣的读者提供大量这类信息.
尤里·涅斯捷罗夫，比利时新鲁汶
2018年1月
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