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| 內容簡介： |
本书主要讨论三类典型的数学物理方程：波动方程?热传导方程?拉普拉斯方程.全书共分5章.第1章介绍三类典型方程的推导?定解问题的提法及数学物理方程的一些基本知识.第2章至第4章分别介绍波动方程?热传导方程?拉普拉斯方程定解问题的求解方法,以及这些典型方程定解问题解的适定性.第5章则是对二阶线性偏微分方程做简要的分析和总结.
本书叙述详尽,条理清晰,通俗易懂,读者只需掌握微积分基础知识就可以阅读和学习.
本书可作为一般高校含师范院校数学专业?物理学专业学生的本科教材,也可作为其他相关专业的研究生及工程技术人员的参考书.
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| 目錄：
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前言
第1章典型方程和定解条件
1.1典型方程的推导
1.2偏微分方程的一些基本知识
1.3初始条件和边界条件
1.4定解问题
习题
第2章波动方程
2.1用分离变量法解混合问题
2.2达朗贝尔公式和波的传播
2.3高维波动方程的初值问题
2.4能量方法、唯一性和稳定性
习题
第3章热传导方程
3.1混合问题的分离变量法
3.2傅里叶变换及其基本性质
3.3用傅里叶变换解初值问题
3.4极值原理、唯一性与稳定性
习题
第4章拉普拉斯方程
4.1边值问题的提法
4.2用分离变量法解边值问题
4.3格林公式、调和函数的基本性质
4.4极值原理、第一边值问题的唯一性和稳定性
4.5格林函数、用格林函数法解边值问题
4.6强极值原理、第二边值问题解的唯一性
习题
第5章二阶线性偏微分方程的分类与总结
5.1两个自变量的二阶方程的化简与分类
5.2多个自变量的二阶方程的分类
5.3三类典型方程的比较
习题
附录傅里叶变换简表
参考文献
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| 內容試閱：
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前言
数学物理方程是指自然科学和工程技术的各门分支中出现的一些偏微分方程（有时也包括积分方程、微分方程等），这些方程反映了物理量关于自变量（时间变量和空间变量）和其偏导数之间的制约关系.例如：在研究振动和波、声波、电磁波等问题时建立的波动方程
2ut2-a22ux2=0（一维波动方程），
2ut2-a22ux2+2uy2+2uz2=0（三维波动方程）；
在研究固体中热传导问题时所建立的热传导方程
ut-a22ux2=0；
在研究平稳温度场和静电场等问题时所建立的拉普拉斯方程和泊松方程
Δu=0（拉普拉斯方程），
Δu=f（x，y，z）（泊松方程），
式中Δ=2x2+2y2+2z2是一个算符，叫作拉普拉斯算符.
人们对数学物理方程研究的历史可追溯到17世纪.17世纪微积分产生以后，人们就开始把连续介质力学中的一些问题和规律归结为常微分方程或偏微分方程来进行研究.早在18世纪初，人们已经将弦线振动的基本规律归结为如下的偏微分方程
2ut2=a22ux2，
并探讨了它的解法.随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁场相互作用，以及原子核和电子的相互作用等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且给出了典型问题的解答.与此同时，人们对偏微分方程及其解的性质方面的了解也越来越多、越来越深入，并在此基础上逐渐形成了数学物理方程这一学科.
虽然数学物理方程的研究范围十分广泛，且在不断更新和发展，永葆着旺盛的生命力，但是它所研究的内容主要还是来自于自然科学和技术科学领域的偏微分方程.因此，它紧密联系着微积分、线性代数等基础数学课程，故各高校都希望在学生学完微积分、线性代数、常微分方程课程后，再来学习数学物理方程这门课程，以便使学生在学完上述三门课程后进一步了解并体会所学数学知识在自然科学及工程技术中的应用，增加学生的数学应用意识和进一步的求知创新意识.然而，据了解在全国目前开设有数学与应用数学本科专业的500多所高校中，除了一些重点高校的数学与应用数学专业外，有较多的一般高校未能开设数学物理方程课程.其中原因之一是适合这类高校学生学习这门课的教材较少.编写本书的目的就是想为一般高校（含师范院校）的数学专业学生和工科研究生提供一本较为适用的教材，使数学物理方程这一课程能够在一般高校中更多地开设起来.
本书有下列特点：
1.降低了学习数学物理方程的入门要求.
本书主要介绍数学物理方程的经典部分：波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程.鉴于部分高校的数学专业不开设“实变函数”和“泛函分析”课程，或将其安排在本科的较后学年甚至安排成选修课，广大的非数学专业的工科本科生及研究生更没有机会接触到“实变函数”和“泛函分析”课程，同时考虑到课时数的限制（48～64课时），本书着重讲解三类典型方程的基本内容、基本理论和基本方法，不涉及非线性偏微分方程的内容和广义函数等知识，使只具备微积分基础知识的读者可以阅读和学习，这样也便于一般高校的非数学专业学生使用.
2.按照学生的认知规律，力争做到通俗易懂、深入浅出.
例如，为了减少学生初学时对初始条件和边界条件的不理解，本书将这部分内容单独列为一节，并举例详细介绍如何导出第二类边界条件和第三类边界条件，使学生对以后出现的定解条件理解其背景，减少因不理解而产生的学习上的困难.又如，由于学生对中学物理学的动能、势能及能量守恒定律是熟知的，为了引起学生学习时的联想和共鸣，我们对混合问题解的唯一性和稳定性的讨论仅限于一维情形，而对初值问题解的唯一性和稳定性的讨论则仅限于二维情形.
3.尽力按“探索—发现”的方式介绍重点内容，便于启发式教学.
例如，2.1节用分离变量法解混合问题的介绍，及2.3节高维波动方程的初值问题的介绍. 2.3节中，先讨论三维波动方程的球对称解——由于球对称解u（r，t）与r的乘积满足一维波动方程，故可得球对称解u（r，t）的一般表达式，但对于一般的非球对称解u，则不能写成r与t的函数，此时的ru不可能满足一维波动方程，为了利用一维波动方程解的一般式导出三维波动方程初值问题的解，应该考虑“什么样的函数既与解u有关又只是r和t的函数，而且还是球对称的……”顺着这个思路引导学生想到解u在半径为r的球面上的平均值u，这个平均值u显然与u有关且只是r和t的函数，然后再引导学生考察 ru是否满足一维波动方程，再导出三维波动方程初值问题解的泊松公式.
本书由张卫国和章国庆主编，参与编写的还有李想、张海强、汪文军、徐建.
在本书的编写过程中我们参考了一些国内外的优秀教材、著作及研究成果，已在参考文献中列出.在此我们向诸位前辈和作者表示由衷的感谢.
由于编者水平有限，错误和不足之处在所难免，恳求广大读者批评指正.
编者
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