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| 內容簡介： |
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本书讨论偏微分方程在工程技术科学与自然科学中的应用，以傅里叶方法（傅里叶级数、傅里叶变换和拉普拉斯变换）作为讲授的主线，讲授的内容是高级工程数学、自然科学范畴的数学方法中非常重要的部分。
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| 目錄：
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第1章 热传导方程1
1.1 引言1
1.2 一维杆中热传导方程的推导2
1.3 边界条件11
1.4 平衡温度分布14
1.4.1 给定温度14
1.4.2 绝热边界16
1.5 二维或三维热传导方程的推导19
第2章 分离变量法32
2.1 引言32
2.2 线性性质32
2.3 在有限端处具有零温度的热传导方程35
2.3.1 概述35
2.3.2 分离变量35
2.3.3 时变常微分方程37
2.3.4 边值问题38
2.3.5 乘积解和叠加原理43
2.3.6 正弦函数的正交性46
2.3.7 实例48
2.3.8 小结50
2.4 有关热传导方程的例子：其他边值问题55
2.4.1 绝热端杆中的热传导55
2.4.2 细绝热圆环中的热传导59
2.4.3 边值问题小结64
2.5 拉普拉斯方程：求解和定性性质67
2.5.1 矩形区域内的拉普拉斯方程67
2.5.2 圆盘内的拉普拉斯方程72
2.5.3 绕过圆柱体的流体流动（升力）76
2.5.4 拉普拉斯方程的定性性质79
第3章 傅里叶级数86
3.1 引言86
3.2 收敛定理88
3.3 傅里叶余弦级数和傅里叶正弦级数92
3.3.1 傅里叶正弦级数92
3.3.2 傅里叶余弦级数102
3.3.3 用正弦级数和余弦级数表示fx105
3.3.4 偶部和奇部106
3.3.5 连续傅里叶级数107
3.4 傅里叶级数的逐项微分112
3.5 傅里叶级数的逐项积分123
3.6 傅里叶级数的复形式127
第4章 波动方程：振动弦与振动膜130
4.1 引言130
4.2 弦振动方程的建立130
4.3 边界条件133
4.4 端点固定的振动弦137
4.5 振动膜143
4.6 电磁波与声波的反射与折射145
4.6.1 斯涅耳折射定律146
4.6.2 反射波与折射波的强度（振幅）148
4.6.3 内部全反射149
第5章 施图姆–刘维尔特征值问题151
5.1 引言151
5.2 例子151
5.2.1 非均匀杆内的热流151
5.2.2 圆对称热流153
5.3 施图姆–刘维尔特征值问题155
5.3.1 一般分类155
5.3.2 正则施图姆–刘维尔特征值问题156
5.3.3 定理的举例和说明157
5.4 例子：非均匀杆中的无热源热流163
5.5 自伴算子和施图姆–刘维尔特征值问题167
5.6 瑞利商184
5.7 例子：非均匀弦的振动189
5.8 第三类边界条件192
5.9 大特征值（渐近行为）207
5.10 逼近性质211
第6章 偏微分方程的有限差分数值法217
6.1 引言217
6.2 有限差分与截断泰勒级数217
6.3 热传导方程224
6.3.1 概述224
6.3.2 偏差分方程224
6.3.3 计算226
6.3.4 傅里叶–冯·诺伊曼稳定性分析228
6.3.5 偏差分方程的分离变量和常差分方程的解析解235
6.3.6 矩阵记号238
6.3.7 非齐次问题242
6.3.8 其他数值格式242
6.3.9 其他类型的边界条件243
6.4 二维热传导方程247
6.5 波动方程250
6.6 拉普拉斯方程253
6.7 有限元法260
6.7.1 非正交函数逼近（偏微分方程的弱形式）260
6.7.2 最简三角形有限元263
第7章 高维偏微分方程268
7.1 引言268
7.2 时间变量的分离269
7.2.1 振动膜：任意形状269
7.2.2 热传导：任意区域271
7.2.3 小结272
7.3 振动矩形膜272
7.4 特征值问题?φ+φ= 0的定理叙述和说明282
7.5 格林公式、自伴算子和多维特征值问题287
7.6 瑞利商和拉普拉斯方程293
7.6.1 瑞利商293
7.6.2 依赖时间的热传导方程与拉普拉斯方程294
7.7 振动圆形膜和贝塞尔函数295
7.7.1 概述295
7.7.2 分离变量296
7.7.3 特征值问题（一维情形）297
7.7.4 贝塞尔微分方程299
7.7.5 奇异点和贝塞尔微分方程299
7.7.6 贝塞尔函数及其渐近性质（在z=0附近）301
7.7.7 涉及贝塞尔函数的特征值问题302
7.7.8 振动圆形膜的初值问题304
7.7.9 圆对称情形305
7.8 贝塞尔函数的进一步讨论312
7.8.1 贝塞尔函数的定性性质312
7.8.2 特征值的渐近公式313
7.8.3 贝塞尔函数的零点和结点曲线314
7.8.4 贝塞尔函数的级数表示316
7.9 圆柱体上的拉普拉斯方程319
7.9.1 概述319
7.9.2 分离变量320
7.9.3 侧面及顶部或底部为零温度的情形322
7.9.4 顶部和底部为零温度的情形323
7.9.5 修正贝塞尔函数326
7.10 球内的问题和勒让德多项式330
7.10.1 概述330
7.10.2 分离变量和一维特征值问题330
7.10.3 连带勒让德函数和勒让德多项式332
7.10.4 径向特征值问题335
7.10.5 乘积解、振动模式和初值问题335
7.10.6 球内部的拉普拉斯方程336
第8章 非齐次问题341
8.1 引言341
8.2 有源热流与非齐次边界条件341
8.3 带齐次边界条件的特征函数展开法（微分特征函数的级数）347
8.4 利用格林公式的特征函数展开法（带或不带齐次边界条件）353
8.5 受迫振动膜与共振358
8.6 泊松方程366
第9章 定常问题的格林函数374
9.1 引言374
9.2 一维热传导方程374
9.3 常微分方程边值问题的格林函数379
9.3.1 一维稳态热传导方程379
9.3.2 参数变易法379
9.3.3 格林函数的特征函数展开法382
9.3.4 狄拉克δ函数及其与格林函数的关系384
9.3.5 非齐次边界条件391
9.3.6 小结392
9.4 弗雷德霍姆择一性与广义格林函数398
9.4.1 概述398
9.4.2 弗雷德霍姆择一性400
9.4.3 广义格林函数402
9.5 泊松方程的格林函数409
9.5.1 概述409
9.5.2 多维狄拉克δ函数与格林函数410
9.5.3 用特征函数展开法表示格林函数与弗雷德霍姆择一性411
9.5.4 格林函数的直接解法（一维特征函数）（可选）413
9.5.5 用格林函数解带非齐次边界条件的问题415
9.5.6 无穷空间格林函数416
9.5.7 用无穷空间格林函数得到有界区域的格林函数419
9.5.8 用无穷空间格林函数求半无穷平面（y0）的格林函数：像源法420
9.5.9 圆的格林函数：像源法423
9.6 扰动特征值问题430
9.6.1 概述430
9.6.2 数学例子431
9.6.3 拟圆膜振动432
9.7 小结435
第10章 无穷域问题：偏微分方程的傅里叶变换解法437
10.1 引言437
10.2 无穷域上的热传导方程437
10.3 傅里叶变换对441
10.3.1 傅里叶级数恒等式的启示441
10.3.2 傅里叶变换442
10.3.3 高斯函数的傅里叶逆变换443
10.4 傅里叶变换与热传导方程450
10.4.1 热传导方程450
10.4.2 傅里叶变换热传导方程：导数的变换455
10.4.3 卷积定理457
10.4.4 傅里叶变换性质小结461
10.5 傅里叶正弦和余弦变换：半无穷区间上的热传导方程463
10.5.1 概述463
10.5.2 半无穷区间上的热传导方程Ⅰ463
10.5.3 傅里叶正弦和余弦变换465
10.5.4 导数的变换466
10.5.5 半无穷区间上的热传导方程Ⅱ467
10.5.6 傅里叶正弦和余弦变换表469
10.6 应用变换求解的例子473
10.6.1 无穷区间上的一维波动方程473
10.6.2 半无穷带上的拉普拉斯方程475
10.6.3 半平面上的拉普拉斯方程479
10.6.4 四分之一平面上的拉普拉斯方程482
10.6.5 平面上的热传导方程（二维傅里叶变换）486
10.6.6 二重傅里叶变换表490
10.7 散射和逆散射495
第11章 波动方程和热传导方程的格林函数499
11.1 引言499
11.2 波动方程的格林函数499
11.2.1 概述499
11.2.2 格林公式500
11.2.3 互反性502
11.2.4 使用格林函数504
11.2.5 波动方程的格林函数506
11.2.6 格林函数的另一个微分方程506
11.2.7 一维波动方程的无穷空间格林函数和达朗贝尔解507
11.2.8 三维波动方程的无穷空间格林函数（惠更斯原理）509
11.2.9 二维无穷空间格林函数511
11.2.10 小结511
11.3 热传导方程的格林函数514
11.3.1 概述514
11.3.2 热传导方程的非自伴特性515
11.3.3 格林公式516
11.3.4 伴随格林函数517
11.3.5 互反性518
11.3.6 用格林函数表示解518
11.3.7 格林函数的另一个微分方程520
11.3.8 扩散方程的无穷空间格林函数521
11.3.9 热传导方程的格林函数（在半无穷域上）522
11.3.10 热传导方程的格林函数（在有限区域上）523
第12章 线性和拟线性波动方程的特征线法527
12.1 引言527
12.2 一阶波动方程的特征线528
12.2.1 概述528
12.2.2 一阶偏微分方程的特征线法529
12.3 一维波动方程的特征线法534
12.3.1 通解534
12.3.2 初值问题（无穷区域）536
12.3.3 达朗贝尔解540
12.4 半无界弦和反射543
12.5 定长振动弦的特征线法548
12.6 拟线性偏微分方程的特征线法552
12.6.1 特征线法552
12.6.2 交通流量553
12.6.3 特征线法Q=0555
12.6.4 冲击波558
12.6.5 拟线性举例570
12.7 一阶非线性偏微分方程575
12.7.1 由波动方程推导出的短时距方程575
12.7.2 求解均匀介质中的短时距方程和反射波576
12.7.3 一阶非线性偏微分方程579
第13章 偏微分方程的拉普拉斯变换解法581
13.1 引言581
13.2 拉普拉斯变换的性质581
13.2.1 概述581
13.2.2 拉普拉斯变换的奇点582
13.2.3 导数的变换586
13.2.4 卷积定理587
13.3 常微分方程初值问题的格林函数591
13.4 波动方程的信号问题593
13.5 有限长度振动弦的信号问题597
13.6 波动方程及其格林函数600
13.7 用复平面上的围线积分计算拉普拉斯逆变换603
13.8 利用拉普拉斯变换求解波动方程（复变量）608
第14章 色散波：缓变、稳定性、非线性性和扰动法611
14.1 引言611
14.2 色散波和群速度612
14.2.1 行波和色散关系612
14.2.2 群速度Ⅰ615
14.3 波导617
14.3.1 对f频率集中周期性源的响应620
14.3.2 模式传播的格林函数620
14.3.3 模式不传播的格林函数621
14.3.4 设计思路622
14.4 光纤623
14.5 群速度Ⅱ和稳定相位法627
14.5.1 稳定相位法628
14.5.2 对线性色散波的应用630
14.6 缓变色散波（群速度和焦散曲线）634
14.6.1 色散偏微分方程的近似解634
14.6.2 焦散曲线的形成636
14.7 波包络方程（集中波数）642
14.7.1 薛定谔方程643
14.7.2 线性化KdV方程645
14.7.3 非线性色散波：KdV方程647
14.7.4 孤立子与逆散射650
14.7.5 非线性薛定谔方程652
14.8 稳定性和不稳定性656
14.8.1 常微分方程和分歧理论简介656
14.8.2 偏微分方程稳定平衡解的基本例子663
14.8.3 偏微分方程的典型不稳定平衡点和模式形成664
14.8.4 不适定问题667
14.8.5 微不稳定色散波和线性化复金茨堡–朗道方程668
14.8.6 非线性复金茨堡–朗道方程670
14.8.7 长波的不稳定性67
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| 內容試閱：
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本书讨论偏微分方程在工程技术科学与自然科学中的应用，适合作为涉及傅里叶级数、正交函数或边值问题的课程的教材，也可以作为学习格林函数、变换方法或部分高级工程数学和自然科学中的数学方法等相关课程的教材．当然，读者也可以把本书视为学习应用数学的入门书．
本书突出简单的热传导、振动弦和振动膜模型，从物理原理仔细推演方程，引出许多数学主题，并耐心讨论求解方法．对书中的数学结果通常给出物理解释，定理证明（如果给出的话）放在根据解释性实例所做的说明之后．本书包含1000多道难易程度不同的习题，书后还附有对带“*”号习题的解答．
本书对分离变量法、傅里叶级数、正交函数和傅里叶变换等标准内容进行了相当详细的讨论；深入介绍了偏微分方程的有限差分数值法；简要叙述了有限元法；广泛介绍了线性与非线性波动方程的特征线法，包括对交通流量冲击波动态特征的讨论；详细介绍了非齐次问题，其中包括拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程的格林函数．此外，本书还包含大量其他主题，如傅里叶级数的微分与积分、施图姆–刘维尔特征函数与多维特征函数、瑞利商、振动圆形膜的贝塞尔函数以及球面问题的勒让德多项式；包含某些更深的题材，如大特征值的渐近展开式、利用弗雷德霍姆择一性计算扰动频率、有限差分法的稳定性条件以及散射与逆散射．
简单讨论的应用包括：流体流过圆柱体的曳力与升力，光波与声波的斯涅耳折射律，从波动方程推导短时距方程，水波的色散关系，波导与光纤．
本书在作者对多所大学（麻省理工学院、加州大学圣迭戈分校、拉特格大学、俄亥俄州立大学和南卫理公会大学）的不同学生讲授这门课程的经验的基础上做了改进．读者需要具备微积分和初等常微分方程的知识，书中有时会在需要的地方对这些知识加以回顾．对初学学生开设的课程，核心内容一般包含第1～5章与第7章中的大部分材料，不过通常还需要再补充少许其他题材．本书对教师而言有一定的灵活性，因为第6～13章的大部分内容仅依赖于第1～5章的材料．第11章关于热传导方程与波动方程的格林函数例外，它依赖第9章和第10章的材料．
第14章是更深入的内容，讨论线性与非线性色散波、稳定性和扰动法．这一章对优秀本科生来说是比较容易理解的．该章分析线性色散波的群速度与包络方程，其应用包括光学系统中的彩虹焦散线；讨论非线性色散波，包括对弱非线性长波方程（KdV方程）和弱非线性波包络方程（非线性薛定谔方程）的孤立子的初步讨论；此外，讨论偏微分方程的不稳定性与分歧现象以及扰动法（多尺度问题与边界层问题）．本章还描述了当代物理学问题中偏微分方程的一些前沿研究成果．
本书内容包括：化学污染物的扩散、频率的伽辽金数值逼近、热传导方程的相似解、波动方程的二维格林函数、冲击波速度及其分解的非唯一性、行进冲击波的空间结构、常微分方程组的稳定性与分歧理论、两个空间维的波包络方程、调制不稳定性的分析、长波不稳定性、反应扩散方程的模式形成以及图灵不稳定性等．
在第5版中，尽力保持第4版原貌，同时做出了重大改进．第2章对线性原理进行了简单的改进，证明了热传导方程是线性方程．第4章包含了对振动膜的直接推导，这是对以前版本的很大改进．此外，还增加了一些新的简单练习．第2、4、5、7和10章中求解偏微分方程的许多练习都通过添加大量提示而简化了．所涉及问题通常都是一样的，因此学习以前版本的读者适应新版不会有任何困难．在这些练习中，提示通常包括变量分离，所以对学生来说解题更直接．对于偏微分方程的初值和边值问题，学生应该更容易得到正确的答案．
书中用200多幅图形解释各种概念，这些图形是作者用MATLAB制作的．大部分数学图形文件可以从Web网页http：faculty.smu.edurhaberma获得．现代技术中的图形能力是特别重要的，我在书中不遗余力地用三维可视化图形解释各种概念．
总的来说，我已清楚地讲解偏微分方程的许多方面，可引领读者进入这一广阔而重要的领域．当学生有了一定能力与理解力后，可以把本书作为参考读物，至于补充材料，读者应从其他书籍获取，例如“参考文献”中所列的某些书籍．
最后希望本书能使读者在研究数学同自然科学的关系中获得乐趣．
作者对审稿人Andrew Belmonte（宾夕法尼亚州立大学）、William Fitzgibbon（休斯顿大学）、Isom Herron（Rensselaer工艺学院）、Steven G. Krantz（华盛顿大学）、Julie Levandosky（斯坦福大学）、Jennifer Mueller（科罗拉多州立大学）、Martin Schechter（加利福尼亚大学欧文分校）、Judith A. Silver（马歇尔大学）、Sabir Umarov（塔夫茨大学）、Jianke Yang（佛蒙特大学）表示衷心的感谢.
我也要感谢本书以往、现在和未来的读者（学生与教师）．此外，在对前一版进行LaTeX排版时，Shari Webster曾给予我很大帮助，在此表示由衷的谢意．
Richard Haberman
rhaberma@mail.smu.edu
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