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『簡體書』渴望不可能——数学的惊人真相

書城自編碼: 3473923
分類: 簡體書→大陸圖書→自然科學數學
作者: [美]约翰·史迪威 著,涂泓 译,冯承天 译校
國際書號(ISBN): 9787542871534
出版社: 上海科技教育出版社
出版日期: 2020-02-01

頁數/字數: /
書度/開本: 16开 釘裝: 平装

售價:NT$ 458

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音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切。
克莱因
本书涉及看似不可能的艺术、文学、哲学和物理学,虽然我们的直觉无法领会它们,但它们在数学符号体系的帮助下可以被精确理解。数学中的一切伟大发现都接近于不可能,渴望不可能是数学中取得的许多进步的源头。
內容簡介:
数学就是一个与不可能发生近距离冲突的故事,因为数学中的一切伟大发现都接近于不可能。有许多表面看来不可能的例子,它们对于数学而言很重要。
渴望不可能是数学中取得的许多进步的源头。本书中的大多数例子:无理数、虚数、无穷远点、弯曲空间、理想,以及各种类型的无穷这些概念初看起来是不可能的,因为我们的直觉无法领会它们,但它们在数学符号体系的帮助下是可以被精确理解的,而数学符号体系是对于我们的感官的一种技术延伸。
本书涉及看似不可能的艺术、文学、哲学和物理学,摆脱了对数学概念的狭隘解释,拓宽了学生的视野。
關於作者:
约翰史迪威来自墨尔本,1970年获得麻省理工学院数学博士学位,是旧金山大学数学系教授,2005年获得美国数学协会Chauvenet奖。
目錄
第1章无理数 1
1.1毕达哥拉斯之梦 3
1.2毕达哥拉斯定理 7
1.3无理三角形 10
1.4毕达哥拉斯之噩梦 14
1.5解释无理数 17
1.62的连分数表示 22
1.7平均律 28
第2章虚数 32
2.1负数 34
2.2虚数 38
2.3求解三次方程 41
2.4通过虚数得到实数解 44
2.51572年之前虚数在哪里 46
2.6乘法的几何学 50
2.7复数提供的超过了我们所要求的 55
2.8为什么将它们称为复数 60
第3章地平线 63
3.1平行线 66
3.2坐标 69
3.3平行线与视觉 74
3.4不用度量的画法 79
3.5帕普斯定理和德萨格定理 83
3.6德萨格小定理 88
3.7代数定律有哪些 92
3.8射影加法与乘法 96
第4章无穷小 101
4.1长度和面积 103
4.2体积 106
4.3四面体的体积 108
4.4圆 112
4.5抛物线 116
4.6其他曲线的斜率 119
4.7斜率和面积 123
4.8的数值 127
4.9那些死去的量的鬼魂 130
第5章弯曲空间 134
5.1平面空间与中世纪空间 136
5.2二维球面与三维球面 140
5.3平坦曲面与平行公理 145
5.4球面与平行公理 148
5.5非欧几何 152
5.6负曲率 155
5.7双曲平面 158
5.8双曲空间 162
5.9数学空间与真实空间 164
第6章第四维 168
6.1数对的算术 170
6.2搜寻适合三元数组的算术 172
6.3为什么n3时的n元数组不像数 174
6.4四元数 178
6.5四平方数定理 182
6.6四元数和空间旋转 185
6.7三维中的对称 188
6.8四面体对称与正二十四胞体 191
6.9正则多胞形 196
第7章理想 200
7.1发现与发明 202
7.2带有余数的除法 205
7.3唯一素因子分解 209
7.4高斯整数 212
7.5高斯素数 215
7.6有理斜率与有理角度 218
7.7唯一素因子分解失效 220
7.8理想,重获唯一素因子分解 224
第8章周期空间 229
8.1不可能的三杆 231
8.2柱面与平面 234
8.3狂野事物的所在地 237
8.4周期世界 240
8.5周期性与拓扑学 242
8.6周期性简史 246
第9章无穷 252
9.1有限和无穷 254
9.2潜在的无穷与真实的无穷 256
9.3不可数的 259
9.4对角线论证 262
9.5超越数 265
9.6渴望完整 269
结语 272
参考文献 276
內容試閱
本书缘起于一篇我(有点半开玩笑地)称之为数学接受不可能的文章。1984年,我为莫纳什大学的《函数》(Function)杂志撰写了这篇文章,主要目的是要表明左边所显示的这幅不可能图形(彭罗斯三杆)实际上并非不可能。这个三角形存在于一个完全合理的空间之中,这个空间不同于我们认为自己居住在其中的空间,然而却是有意义的,并为数学家所知。我希望通过这个例子向大众展示,数学是一门需要想象力,甚至可能需要幻想的学科。
有许多表面看来不可能的例子,它们对于数学而言很重要,而数学家也对这种现象感到震撼。例如,戴维斯(Philip Davis)在1965年出版的《矩阵的数学》(The Mathematics of Matrices)一书中写道:
数学被誉为一门容不下任何矛盾的学科,而事实上它却有着与矛盾和睦相处的悠久历史,这看上去有些荒谬。在2500年的时间里,从人们对数的概念所做的扩展中,尤其能看出这一点从某一合适的立场来看,每一次扩展都是克服了一系列相互矛盾的需求。
数学语言中散落着一些贬义的和神秘的词语例如无理的、虚的、不尽根的、超越的这些词语曾用来嘲弄那些据说不可能的对象,而且这些还只不过是用于数的词语。几何中也有许多概念在大多数人看来是不可能的,例如第四维、有限宇宙和弯曲空间然而它们对于几何学家(及物理学家)而言却是不可或缺的。因此,数学无疑并没有把不可能当成一回事,而且似乎通过这样做来取得进展。
问题是: 这是为什么?
我认为俄罗斯数学家科尔莫戈罗夫(A. N. Kolmogorov)在1943年对其中的原因作出了最佳的表述:
在任何给定的时刻,平凡的和不可能之间只隔着薄薄的一层。数学发现就是在这一层中作出的。
换言之: 数学就是一个与不可能发生近距离冲突的故事,因为数学中的一切伟大发现都接近于不可能。本书的目的就是,通过呈现在整个数学范围内的一些有代表性的冲突,简略地而且几乎不需要任何预备知识地讲述这个故事。通过这种方式,我还希望能捕捉到某种变化不定的观念的感觉,而在将发现书写成文的过程中,常常会丢失这种感觉。教科书和研究论文中略去了这些与不可能的冲突,在引入新概念时只字不提它们,不用它们来澄清混淆之处。这样处理当然能做到长话短说,但我们必须去体验其中的一些困惑,才能理解为什么需要这些新的、奇怪的构想。
知道为什么需要新构想会有所帮助,但是通往数学之路仍然没有捷径可走。具有良好高中数学知识背景的读者应该能够知道本书中的全部概念,并能理解大部分概念。不过,有许多概念很难,而且也没有任何方法来降低难度。你可能不得不将某些段落反复阅读好几遍,或者重新阅读书中先前的一些部分。如果你觉得这些构想很吸引人,那么你可以阅读推荐的参考文献以继续深入研究。(这也适用于数学家,他们之中的有些人可能为了了解他们专业以外的领域而阅读本书。)
作为一个特殊的后续阅读材料,我推荐我的《数学及其历史》(Mathematics and Its History)此书中译本由高等教育出版社出版,袁向东、冯绪宁译,2011年。译注一书。那本书更加详细地展开了本书中所描述的这些构想,并用练习来加以巩固。它还提供了一条通往数学经典著作的途径,从中你可以亲身体验到渴望不可能。
有好几个人帮助我撰写并修改本书。我的妻子伊莱恩(Elaine)一如既往地走在最前面。她阅读了好几版初稿,并进行了第一轮的批评和修改。冈纳森(Laurens Gunnarsen)、爱尔兰(David Ireland)、麦科伊(James McCoy)和谢尼策(Abe Shenitzer)也仔细地阅读了本书,他们提出了至关重要的建议,这帮助我厘清了整体视角。
致谢
我要感谢位于荷兰巴伦的M. C. 埃舍尔公司允许我转载埃舍尔M. C. 埃舍尔(M. C. Escher,18981972),荷兰版画家,因其绘画中的数学性而闻名,作品多以平面镶嵌、不可能的结构、悖论、循环等为特点,从中可以看到对分形、对称、双曲几何、多面体、拓扑学等数学概念的形象表达。译注的作品: 图8.1中所示的《瀑布》(Waterfall)、图5.18中所示的《圆极限IV》(Circle Limit IV),以及图5.18和图5.19中所示的《圆极限IV》的两幅变形。埃舍尔的作品版权所属为copyright (2005) The M. C. Escher Company Holland,网站为www.mcescher.com。
我还要感谢纽约艺术家权利协会(Artists Rights Society of New York)允许我转载图8.8中所示的马格里特勒内马格里特(Ren Magritte,18981967),比利时超现实主义画家。译注的照片《不可复制》(La reproduction interdite)。这幅照片的版权所属为copyright (2006) C. Herscovici, BrusselsArtists Rights Society (ARS), New York。

 

 

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