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| 內容簡介： |
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本书系统而全面地介绍复变理论及其在工程问题上的应用，理论与实际应用密切结合，对工程类学科的学生来说，这种方式更生动地表达了数学理论的内涵。
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| 目錄：
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第1章 复数1
1.1 复数代数1
1.2 复数的点表示7
1.3 向量与极式14
1.4 复指数26
1.5 幂与根33
1.6 平面集39
1.7 黎曼球面与球极射影44
小结51
第2章 解析函数53
2.1 复变函数53
2.2 极限与连续性58
2.3 解析性65
2.4 柯西–黎曼方程73
2.5 调和函数79
*2.6 调和函数的一个实例—恒温87
*2.7 迭代映射—茹利亚集与芒德布罗集91
小结95
第3章 初等函数99
3.1 多项式与有理函数99
3.2 指数函数、三角函数与双曲函数110
3.3 对数函数118
3.4 垫、楔与壁125
3.5 复幂函数与复反三角函数131
*3.6 在振荡系统中的应用138
小结145
第4章 复积分149
4.1 周线149
4.2 周线积分161
4.3 积分与路径的无关性173
4.4 柯西积分定理180
4.4.a 周线形变法180
4.4.b 向量分析法191
4.5 柯西积分公式及其推论204
4.6 解析函数的界214
*4.7 在调和函数中的应用221
小结230
第5章 解析函数的级数表示235
5.1 序列与级数235
5.2 泰勒级数242
5.3 幂级数252
*5.4 收敛的数学理论262
5.5 洛朗级数269
5.6 零点与奇点277
5.7 无穷远点287
*5.8 解析延拓292
小结304
第6章 留数理论307
6.1 留数定理307
6.2 [0,2π]上三角函数的积分314
6.3 –∞,+∞上某些函数的反常积分318
6.4 涉及三角函数的反常积分328
6.5 凹周线337
6.6 关于多值函数的积分345
6.7 辐角原理与儒歇定理355
小结367
第7章 共形映射369
7.1 拉普拉斯方程的不变性369
7.2 几何性质377
7.3 默比乌斯变换383
7.4 默比乌斯变换（续）395
7.5 施瓦茨–克里斯托费尔变换407
7.6 在静电学、热流与流体力学中的应用419
7.7 共形映射在物理中的进一步应用432
小结443
第8章 应用数学的变换445
8.1 傅里叶级数（有限傅里叶变换）446
8.2 傅里叶变换464
8.3 拉普拉斯变换476
8.4 z变换486
8.5 柯西积分与希尔伯特变换495
小结509
附录A 共形映射的数值结构513
附录B 共形映射表531
奇数练习答案539
Contents
Contents
1 Complex Numbers 1
1.1 TheAlgebraofComplexNumbers ................... 1
1.2 Point Representation of Complex Numbers . ............. 7
1.3 VectorsandPolarForms ........................ 14
1.4 TheComplexExponential ....................... 26
1.5 PowersandRoots ............................ 33
1.6 PlanarSets ............................... 39
1.7 The Riemann Sphere and Stereographic Projection . ......... 44
Summary ................................ 51
2 Analytic Functions 53
2.1 FunctionsofaComplexVariable .................... 53
2.2 LimitsandContinuity.......................... 58
2.3 Analyticity ............................... 65
2.4 TheCauchy-RiemannEquations .................... 73
2.5 HarmonicFunctions........................... 79
2.6 *Steady-State Temperature as a Harmonic Function . ......... 87
2.7 *IteratedMaps：JuliaandMandelbrotSets . . ............. 91
Summary ................................ 95
3 Elementary Functions 99
3.1 PolynomialsandRationalFunctions . . . . . ............. 99
3.2 The Exponential, Trigonometric, and Hyperbolic Functions . . . . . . 110
3.3 TheLogarithmicFunction ....................... 118
3.4 Washers,Wedges,andWalls ...................... 125
3.5 Complex Powers and Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . 131
3.6 *ApplicationtoOscillatingSystems . . . . . ............. 138
Summary ................................ 145
4 Complex Integration 149
4.1 Contours................................. 149
4.2 ContourIntegrals ............................ 161
4.3 IndependenceofPath .......................... 173
4.4 Cauchy’sIntegralTheorem ....................... 180
4.4a Deformation of Contours Approach . . . ........... 180
4.4b VectorAnalysisApproach ................... 191
4.5 Cauchy’s Integral Formula and Its Consequences ........... 204
4.6 BoundsforAnalyticFunctions ..................... 214
4.7 *ApplicationstoHarmonicFunctions . . . . . . ........... 221
Summary ................................ 230
5 Series Representations for Analytic Functions 235
5.1 SequencesandSeries .......................... 235
5.2 TaylorSeries .............................. 242
5.3 PowerSeries .................
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| 內容試閱：
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本书之所以出第3版，是因为我们确信学过微积分的理工科大学生完全有能力理解复分析基础，并且可以应用其方法来解决工程问题．因此，在写作本书时，对那些没有耐心阅读定理证明的读者，也尽力使其更加容易接受复分析的基础．为了实现这一目标，在本书内容的讲解和编排上，我们参考了微积分教材的叙述方式，并且还具体体现了书中理论在工程上的应用．这样，读者就不会觉得本书的数学方法枯燥无味了．
下面具体谈谈本书的编写方式．首先，我们回答大部分教师都会问的问题：这本书包含的内容层次是什么？也就是说，哪些结果被论证了，哪些结果仅仅被陈述？我们的回答是：反映解析函数性质的结果，我们都加以证明了；对于大部分涉及实分析更深层内容的结果（例如，复分析的黎曼和的收敛、判断收敛的柯西判别法、古萨的广义柯西定理以及黎曼映射定理），我们没有给予证明．其次，在本书中，我们避免了传统的叙述方式，没有讨论复数的有序数对，而采用了更加清晰明了的（基于代数扩域的）描述方法．
在第4章，我们给出了柯西定理的两个可供选择的表述．第一个表述基于周线的形变，即拓扑学家所谓的同伦．我们尽量使初学者觉得这个方法容易理解，因为该方法易于形象化，并且易于应用到具体的问题中．第二个方法是从周线积分来解释的，证明时利用了线积分和格林定理．这两个平行的方法使得4.4节有两部分内容，读者可以只读其中一部分，而忽略另一部分，这样并不会影响对本书后面内容的进一步学习（尽管从这里读者很容易看出我们的优选）．
笔者认为二维稳定状态下的温度形式是大家最熟悉的调和函数的实例，所以我们主要从理解这个问题来使解析函数理论形象化．整本书中都可以看到这个应用，尤其在第7章共形映射的背景中强调了这一点．在第7章，我们还指出了直接方法和间接方法的不同．前者要求先构造出映射进而解决实际问题，而后者先假设出映射，然后研究该映射解决的问题．许多比较早的书中的技巧都不能运用间接方法，因此，在学习这部分内容时，我们希望读者不要先入为主．
在第3版中，L. N. Trefethen和T. Driscoll更新了附录A．该附录反映了共形映射的数值结构在近些年所取得的进展．附录B汇编了一些常用的映射，并且给出了它们的具体表达式和图形．
线性系统分析是本书多次涉及的另一个应用．在第3章中学习了超越函数后，紧接着介绍了频率分析的基本思想；另外，我们在适当的时候提到了史密斯图、电路合成和稳定性准则；在第8章中，随着对傅里叶变换、梅林变换、拉普拉斯变换、希尔伯特变换和z变换的解析函数的讲解，以及信号处理和通信工程中的新应用的介绍，这方面的内容达到了极致．因此，对于想在这些领域进一步学习的读者来说，我们希望本书能对他们有所帮助．
第3版的特色
第3版的新颖之处是：讨论了黎曼球面，从而解释了复分析中“无穷远点”这一概念的本质意义；介绍了函数的迭代和独特而有趣的茹利亚集，并在复平面上给出了它们的图形；在对多项式和有理函数的分析中，引入复观点，丰富了过去的研究结果；对于简单几何图形，全面介绍了用于计算恒温的调和函数方法．选讲章节前面都加了星号，以便读者选学．在每章的最后给出了小结．与前两版一样，正文精选了大量用于阐明定理、技巧以及复分析应用方面的例子，使本书的品质更加完美．
教师（以及感兴趣的学生）可以从Francisco Carreras开发的MATLAB工具箱中得益，可从下面的网站下载该工具箱：
http：ee.eng.usf.edupeoplesnider2.html
（点击complextools.zip可以顺利地下载）．文件compman.doc详细地说明了该工具箱的使用方法．MATLAB工具箱提供了形象化的机上作图、有趣的复数代数处理、常见的共形映射以及设计儒可夫斯基（Joukowski）机翼的入门指导．
该书难免有误，读者可通过勘误表反映给我们．勘误表是一个可下载的PDF文件，可以在上面的网站上找到．
笔者的导师Joseph L. Walsh和Paul Garabedian对本书给予了指导，在此对他们表示衷心的感谢．南佛罗里达大学的Samuel Garrett是笔者多年的同事，在此也对他致谢．另外，编辑George Lobell对本书给予了很大的支持，Adam Lewenberg提供了技术支持，出版商Bob Walters在本书印刷过程中给予了指导．下面的数学家对书稿提出过宝贵意见：马里兰大学的Carlos Berenstein、科罗拉多大学的Keith Kearnes、阿肯色大学的Dmitry Khavinson、华盛顿大学的Donald Marshall（第1~4章）、加州大学圣芭芭拉分校的Mihai Putinar、亚利桑那州立大学的Sergei Suslov、巴特勒大学的Rebecca Wahl、得克萨斯技术大学的G. Brock Williams，在此对他们表示衷心的感谢！
E. B. Saff
esaff@math.vanderbilt.edu
A. D. Snider
snider@eng.usf.edu
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