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內容簡介： 《微分求积升阶谱有限元方法》作者刘波在2008年左右就开始了针对升阶谱方法的研究。为了克服微分求积有限元方法和升阶谱有限元方法的不足，刘波将两种方法结合起来提出微分求积升阶谱有限元方法。微分求积升阶谱有限元方法是在升阶谱有限元方法的基础上在单元的边界上配置了微分求积结点，同时在单元矩阵的计算等方面结合了微分求积有限元方法的一些思想。微分求积升阶谱有限元方法继承了升阶谱有限元方法自适应的特点，但这种单元更接近固定界面模态综合方法，即在单元边界上有一定数量的结点，在单元内部只需一定数量的固定界面模态即可得到很高精度的结果，但微分求积升阶谱有限元方法不需要做模态分析。 內容試閱： 有限元方法自20世纪60年代正式提出以来便以其有效性和通用性得到工程、科研人员的普遍重视，并广泛应用于各类工程领域。传统有限元技术主要通过加密网格来提高精度（h-型），该方法以其简单有效、数值特性良好已经成为各大商用软件的主流方法，经过多年的发展以及工程问题的检验，其相关技术已日趋成熟。然而，传统有限元方法在实际应用中通常会出现收敛速度较慢、复杂模型前处理困难以及难以实现自适应分析等困难．据统计工程分析中80%以上的时间用于前处理，这些问题已经成为传统有限元方法发展的瓶颈。伴随传统低阶有限元方法技术的发展，通过提高多项式的阶次来提高精度（p-型）的高阶有限元方法也在发展，由于该方法采用很少的自由度即可得到很高精度的结果，因此得到工程、科研人员的广泛研究。Babuska等从理论上证明了p-方法具有比h-方法更好的收敛特性，在合适的网格下甚至能达到指数收敛速度。研究表明高阶方法对网格奇异和各种闭锁问题不敏感。如果在自由度安排上，p阶单元矩阵是p 1阶单元矩阵的一个子阵，则称为升阶谱有限元方法。Zienkiewicz在20世纪70年代提出了升阶谱有限元方法的概念，该方法以其易于实现自适应分析的特点而得到认可，并在20世纪七八十年代得到迅速发展。其中，我国学者诸德超教授的研究工作对一升阶谱单元的构造做出了突出贡献，其对目前升阶谱方法中广泛采用的正交基函数的构造做出了重要贡献。Babuska等在1989年创建了ESRD公司并发布了第一套p-型单元程序StressCheck。值得指出的是，高阶方法对单元的几何精度提出了更高的要求，同时由于数值稳定性等问题，使得升阶谱有限元方法的应用远没有常规有限元方法普及。 20世纪80年代，Bellman等提出了微分求积方法来求解微分方程的初边值问题。90年代Bert等将微分求积方法引入到结构分析中，应用表明该方法不仅计算精度高，同时还具有计算量小的特性，因此受到广泛关注。其高精度主要是因为采用了基于非均匀分布结点的全局插值函数。最初的微分求积方法由于采用强形式的计算格式，使得该方法在边界条件的处理、单元的组装上存在困难。微分求积方法非均匀结点的应用对降低结构矩阵的条件数具有良好作用，但在处理不规则区域的高阶导数时还是容易出现数值计算困难。邢誉峰和刘波把微分求积方法和微分方程的弱形式相结合，提出了微分求积有限元方法，有效降低了导数阶次，并使得其在边界条件施加和单元组装方面与常规有限元方法一样，解决了微分求积方法的上述难题。该方法最具有特点的地方是把微分求积结点取为高斯一洛巴托积分点，使得在充分利用微分求积方法高精度特性的同时离散了势能泛函并尽可能地减少了计算量。微分求积有限元方法在计算过程中表现出计算精度高、计算量小等特点。但由于微分求积有限元方法采用拉格朗日函数的张量积形式作为二维和三维问题的基函数，从而使得局部的网格加密会引起全局网格的变化、链接不同自由度的单元以及构造采用非均匀分布结点的三角形单元变得困难。

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