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| 編輯推薦： |
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本书从概念引入、拓展、应用上尽可能直观、通俗且联系实际，既降低学生学习数学的困难，又*限度地做到科学以致用，以提高学生学习数学的积极性，增强实效性。
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| 內容簡介： |
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本书主要针对经管类应用型本科生而编写 ,内容包括：极限与连续、导数及其应用、积分及其应用、微分方程、多元积分学.本书可作为经管类专业的教材，也可作为独立学院、民办学院及成人高校相关专业的教材.
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| 關於作者： |
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邱凎俤 宁德师范学院数学系主任、教授，闽南师范大学硕士生导师，研究方向复分析，被授予福建省优秀教师、福建省师德先进个人、福建省高校教学名师、宁德市专业技术拔尖人才荣誉称号，获福建省优秀教学成果二等奖、福建省自然科学优秀论文二等奖，多次应邀参加国际性和全国性复分析学术会议并在会上报告论文，应邀担任山东大学博士论文评审专家，山东大学博士论文答辩委员会委员，福建师范大学数学与计算机科学学院硕士论文答辩委员会主席，主持多项福建省自然科学基金项目、省高校专项科研项目、省教育厅科研项目，在国内外各级学术刊物发表学术论文六十余篇，出版著作、教材8部。
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| 目錄：
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目录
第 1章极限与连续............................................................. 1
1.1经济活动中的几个常见函数............................................... 1
1.1.1需求函数......................................................... 1
1.1.2供给函数......................................................... 1
1.1.3成本函数......................................................... 2
1.1.4收益函数与利润函数............................................... 3习题1.1................................................................ 3
1.2极限.................................................................. 4
1.2.1函数极限......................................................... 4
1.2.2左、右极限....................................................... 5
1.2.3二元函数极限..................................................... 6
1.2.4极限运算法则..................................................... 6
1.2.5两个重要极限..................................................... 7
1.2.6无穷小量与无穷大量............................................... 8习题1.2................................................................ 11
1.3连续.................................................................. 12
1.3.1连续的概念....................................................... 12
1.3.2函数的间断点..................................................... 13
1.3.3连续函数的性质................................................... 14习题1.3................................................................ 16
第 2章导数及其应用........................................................... 17
2.1变化率问题............................................................. 17
2.2导数概念............................................................... 17习题2.2................................................................ 19
2.3求导法则及公式......................................................... 19
2.3.1导数的四则运算................................................... 19
2.3.2反函数求导法则................................................... 20
2.3.3复合函数求导法则链式法则....................................... 20
. IV .录.................目................2.3.4基本初等函数导数公式............................................. 20
2.3.5隐函数求导法则................................................... 22
2.3.6偏导数概念及求法................................................. 23习题2.3................................................................ 24
2.4高阶导数............................................................... 25
2.4.1一元函数的高阶导数............................................... 25
2.4.2二元函数的高阶偏导数............................................. 27习题2.4................................................................ 27
2.5微分.................................................................. 28
2.5.1一元函数的微分................................................... 28
2.5.2二元函数的全微分................................................. 29习题2.5................................................................ 30
2.6微分中值定理........................................................... 31
2.6.1罗尔定理......................................................... 31
2.6.2拉格朗日定理..................................................... 31
2.6.3柯西定理......................................................... 32习题2.6................................................................ 33
2.7洛必达法则............................................................. 33
2.7.1 0 与 8 形式的极限............................................... 34
082.7.2其他未定式的极限................................................. 35习题2.7................................................................ 37
2.8导数的应用............................................................. 37
2.8.1函数的单调性..................................................... 37
2.8.2函数的极值....................................................... 39
2.8.3函数的最值....................................................... 41
2.8.4经济分析中的应用................................................. 43习题2.8................................................................ 48
2.9二元函数的极值与最值................................................... 50
2.9.1二元函数的极值................................................... 50
2.9.2二元函数的最值................................................... 51
2.9.3条件极值与拉格朗日乘数法......................................... 53习题2.9................................................................ 55
录 .V..................目................第 3章积分及其应用........................................................... 56
3.1定积分概念............................................................. 56
3.2微积分基本公式......................................................... 59
3.2.1积分上限函数..................................................... 59
3.2.2不定积分......................................................... 59
3.2.3微积分基本公式................................................... 61
3.3积分的性质............................................................. 62习题3.3................................................................ 63
3.4积分计算方法........................................................... 64
3.4.1换元法........................................................... 64
3.4.2分部积分法....................................................... 70习题3.4................................................................ 74
3.5几种特殊类型函数的积分................................................. 75
3.5.1有理函数的积分................................................... 75
3.5.2三角函数有理式的积分............................................. 77
3.5.3简单无理函数的积分............................................... 79
3.5.4积分表的使用..................................................... 80习题3.5................................................................ 81
3.6定积分应用............................................................. 82
3.6.1定积分元素法..................................................... 82
3.6.2平面图形面积..................................................... 83
3.6.3经济活动中的应用................................................. 85习题3.6................................................................ 89
3.7无穷区间上的广义积分................................................... 90习题3.7................................................................ 91
第 4章微分方程............................................................... 92
4.1基本概念............................................................... 92习题4.1................................................................ 93
4.2一阶微分方程........................................................... 94
4.2.1可分离变量方程................................................... 94
4.2.2一阶线性方程..................................................... 95习题4.2................................................................ 98
4.3二阶常系数线性微分方程................................................. 98
4.3.1二阶常系数齐次线性方程........................................... 98
4.3.2二阶常系数非齐次线性方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. VI .录.................目................习题4.3................................................................107第 5章多元积分学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.1二重积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.1.1二重积分概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.1.2二重积分性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.1.3二重积分计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109习题5.1................................................................116
5.2三重积分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.2.1三重积分概念及计算公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.2.2柱面坐标与球面坐标计算公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118习题5.2................................................................121附录 A积分表. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123附录 B Mathematica入门. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132习题答案. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
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| 內容試閱：
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前言
微积分是高等学校经管类专业的重要公共基础课，对于学生应用数学知识与方法解决经济问题以及数量经济方面的后续课程起着十分重大的作用 .虽然当前国内外微积分的书籍为数不少，但针对应用型大学、独立学院和民办高校学生使用的教材却几乎空白，给这类院校的教师与学生均带来诸多不便和困难，鉴于此,我们编写本书以期解决上述问题.本书以够用为原则，以实用为指导，以应用为主线来构建财经类高等数学的知识体系，在内容组织上体现如下特色：1.以经济活动中的实例引入相关数学概念，着重介绍数学知识的产生、应用和发展的全过程，强化学生对概念的经济背景的认识 .同时，突出数学知识在经济活动中的各种应用，提高学以致用的实效.
2.淡化抽象的数学定理的严谨推理论证，着重强调其实际应用，最大限度地降低学生的学习难度.
3.将多元函数的知识有机整合于一元函数相关知识之中（如函数、极限、连续、导数（偏导数）等概念、性质、计算方法），这样既方便学生从一元函数知识类似推移到多元函数，又减少了许多简单的重复，显得更为精炼、富有条理性.
4.以牛顿莱布尼茨公式为纽带将不定积分与定积分计算融为一体，充分展示两者之间的紧密关系.此外，强调了两者之间的异同以及综合应用.
衷心感谢宁德师范学院数学系陈省江、郭伟红、林影、周仙耕、李小燕、刘涛、张静、林珑、陈婷、张玉玲、江西红、叶秋盈、林燕莲等师生在本书编写过程中所付出的精力和心血，同时感谢清华大学出版社给予的大力支持和帮助.虽然我们精心致力于编写一本重点突出、特色鲜明的教材，限于水平，书中不尽如人意之处恐在所难免，敬请广大读者不吝指正.邱凎俤ndsyqgd@aliyun.com 2017年 2月
第 1章极限与连续
学习目标与要求 1.熟练掌握经济活动中的常见函数. 2.理解函数极限与连续的概念和性质. 3.掌握求极限的基本方法.
1.1经济活动中的几个常见函数1.1.1需求函数需求是指消费者在一定的价格水平上对某种商品有支付能力的需要 .因此 ,需求是以消费者货币购买力为前提的 ,它是对商品的某一价格水平而言的 .人们对某一商品的需求受许多因素的影响,如价格、收入、偏好等 .一般来说,需求主要是价格的函数,记为 Q QpP q ,其中 P表示价格, Q表示需求量.依实际意义,需求函数 Q QpP q总是单调下降的.例 1.1市场上小麦的需求量 每月如表 1.1所示.表 1.1小麦的价格与需求量价格 P 元 kg 1 2 3 4 5 6 7 8需求量 Q kg 30 25 20 15 12 10 9 8
需求函数的曲线,如图 1.1所示.图 1.1需求函数的曲线这条曲线说明 ,小麦的需求量是价格的减函数 ,即当 P增加时 , Q下降 ,这一性质在经济学上称为需求向下倾斜规律,这一规律适合许多商品.
1.1.2供给函数供给函数是生产者或销售者在一定价格水平下提供给市场的商品量.供给量受诸多因素的影响 .一般而言 ,它主要是价格的函数 ,记为 S SpP q .依实际意义 ,供给函数 S SpP q总是单调上升的.
图 1.3需求曲线与供给曲线图 1.4均衡价格示意图需求曲线 Q QpP q与供给曲线 S SpP q相交处的价格 P 6元kg.在这个价格上 ,消费者愿意购买的小麦量为 10kg,生产者愿意提供小麦的数量为 10kg,两者处于平衡状态 .这时 P 6元kg称为它们的均衡价格.一般地,需求曲线 Q QpP q与供给曲线相交处的价格称为均衡价格 如图 1.4所示.在 P1处,商品供不应求 ,商品的价格将提高 .在 P2处,供过于求 ,商品价格有下降的趋势 .在 P0处,供给量等于需求量,价格平衡.这里需要说明的是 ,在需求函数和供给函数中 ,作为自变量的价格 P并不一定是按实数值连续变化的.如例 1.1和例 1.2中 P限制在某个范围且仅取正整数值.在研究时为方便,将其连续化 ,并给出相应的近似的解析表达式 ,由此所得的结果是实际情形的近似 .在经济与商务分析中所应用的大部分函数都有类似的情况.
1.1.3成本函数成本是指生产制造产品所投入的原材料、劳动力与技术等生产资料的货币表现 .它是产量的函数,记为 Cpxq ,其中 x为产量.1.1经济活动中的几个常见函数 .3..................................在经济和商务分析中 ,把一定时期内的成本划分为固定成本和变动成本 .固定成本是指在一定时期和一定业务量范围内 ,不受产量增减变动影响的成本 ,如厂房、机器、管理等费用 ,记为 F .变动成本是指在一定范围内随产量变化而变化的成本 ,如原材料、燃料等费用 ,记为 V pxq,其中 x为产量.一定时期的总成本函数为Cpxq F ` V pxq.单位成本函数 也称为平均成本函数为Cpxq FV pxqCpxq ` .x xx1.1.4收益函数与利润函数销售收益是生产者出售一定量的产品所得到的全部收入 ,记为 R.假设在销售过程中价格不动,则销售收益等于产品单价 P与销售量 Q的乘积,即 R P Q.当把销售量看成是价格的函数时,即 Q QpP q 需求函数,则有 R PQpP q,即收益函数是价格的函数.当把价格看成是销售量的函数时,则销售收益为R P pQqQ,即销售收益是销售量的函数, R也称为收益函数.收益与成本之差称为利润,视为 L,于是 L RpQq CpQq.
习题 1.11.已知某产品的总成本函数为 CpQq 1000 ` Q102 ，求生产 100个该种产品时的总成本和平均成本.2.设生产与销售某产品的总收益 R为产量 x的二次函数 ,经统计得知当 x 0, 2, 4时, R 0, 6, 8，试确定总收益 R与产量 x的函数式.
3.某制造厂以每件5元的价格出售其产品 ,问：1销售 5000件产品时 ,总收益是多少？ 2固定成本为 3000元,估计可变成本为总收益的 40%,销售 5000件产品后总成本是多少？ 3该厂的保本产量是多少？
4.某商品供给量 Q对价格 P的函数关系为Q QpP q a ` bcP .已知当 P 2时, Q 30；P 3时, Q 50；P 4时, Q 90.求供给量 Q对价格 P的函数关系.5.某化肥厂生产某产品 1000t,每吨定价为 130元,销售量在 700t以内时按原价出售；超过 700t时,超过部分需打 9折出售,试将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表示.
1.2极限1.2.1函数极限1.自变量趋于无穷大 px . 8q时的极限定义 1.1函数极限 px . 8q如果当 x . 8时,函数 fpxq无限接近于一个确定的常数 A,则称 A为 x . 8时函数 fpxq的极限,记为 lim x.8 fpxq A或 fpxq . A, x . 8.
当 x . 8 x沿着负实轴趋于 8与 x . `8 x沿着正实轴趋于 `8时,可类似定义.例 1.3 1 lim 1 0; 2 lim 2x 0; 3 lim e x 0.x.8 x x.8 x.`82.数列极限一般地,我们把按一定顺序排列的无穷多个数称为数列.数列中第 n项 xn叫做数列的通项或一般项.因此,数列也可用通项简记为 {xn}.例如：1, 2, 3, , n, 1.111 11,,, ,, 1.223nn1, 1, 1, 1, , p1q, 1.3 a, a, a, , a, 1.4都是数列,其通项分别为 xn n, n 1 , p1qn,a.由于数列可以看成定义在正整数集上的特殊函数 fpnq xnpn 1, 2, q,因此仿照定义1.1可得数列极限定义如下：定义 1.2数列极限如果当 n . 8时,数列 txn为 n . 8时 txnu的极限,记为 不收敛的数列称为发散数列. u无限接近于一个常数 A,则称数列 txnlim n.8 xn A. u为收敛数列 , A称
例 1.4 1 lim n ` 1 1; 2 lim qn 0 p|q|.5..................................图 1.5很明显地 ,当 x越来越接近 1时, fpxq的值越来越接近于 3.据此 ,我们引进自变量趋向有限值时函数的极限概念.定义 1.3函数极限 px . x0q设函数 fpxq在区间 px0 , x0 ` q p 0q内有定义 fpxq在 x0可以没有定义 .如果当 x . x0时,函数 fpxq的值无限接近于一个确定的常数 A,则称 A为 x . x0时 fpxq的极限,记为 lim x.x0 fpxq A或 fpxq . A, x . x0.
注：定义中 fpxq在 x0处可以没有定义，说明 fpxq的极限与 fpxq在 x0有无定义即 fpx0q为何值无关.
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