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| 編輯推薦： |
一、本书以教学实践为基础，首先案例均选自作者多年在教育*线的亲身教学实践，是真实发生过的案例,真实展现了卓越数学教育的探索历程；其次这些案例大都关注了思维的发生、发展过程，关注学生学习的认知特点；再者这些案例都具有可操作性和可复制性，便于教师在实际教学中使用；*后这些案例也便于学生阅读，体会其中的数学思想。
二、本书以一线教师的视角，通过大量教学案例，展现在数学教育中对理性精神的培育、批判性思维的训练和创新意识培养的教学策略，可供教师在实际教学中借鉴参考，也为教育研究人员提供了丰富的研究素材。
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| 內容簡介： |
卓越教育，以志向不狭窄，人格不依附，思维不趋同，言行不虚浮和自我日清晰，反思成习惯，人生会选择，发展能自觉为精神和特质，以发现和发展每个学生的潜能和为卓越人才的终身发展奠基为目标的教育理念。本书以此理念为指引，探索卓越数学教育的内涵，教学实践以及卓越教师的成长路径。
卓越数学教育，即以批判性思维为工具培育理性精神和创新意识为核心目标的数学教育。本书以实践经验为基础系统阐述了数学教育与理性精神、理性精神与批判性思维、批判性思维与创新意识的培育之间的关系，并以案例的形式，讨论和探索数学教育中理性精神培育，以及对卓越人才理性精神的必要性以及相应的教学策略。本书以较大的篇幅，讨论批判性思维对人的终身发展的重要作用，讨论批判性思维与创新意识的培育对卓越人才的重要性，并以教学案例的形式深入探索数学教育中批判性思维的训练，以及创新意识的培养的教学策略与注意事项。
本书以数学教育*线的实践经验为基础，体现一线教师对卓越数学教育的思考与实践。
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| 關於作者： |
王平，华东师范大学第二附属中学数学高级教师。毕业于华东师范大学数学系。从教以来，立足追求卓越，崇尚创新，注重对数学教学攻坚任务的创造性研究和探索，担任过全国理科实验班的竞赛辅导和班主任工作，创造过
4人同时入选国家数学奥林匹克集训队的佳绩。出版专著《探究性学习教学示例》（浙江教育出版社.2004），《高中数学重点、难点16讲》（上海交大出版社.2006）《中学数学探索中的合情推理》（华东师大出版社.2008）并先后在《数学教学》、《上海中学数学》、《文汇报》等发表了多篇教研文章。
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| 目錄：
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前言 i
第一章 卓越数学教育的核心理念 1
第一节 卓越教育的核心理念 2
第二节 卓越数学教育的核心理念 8
第二章 理性精神的培育 24
第一节 理性精神与数学德育 27
第二节 理性精神与数学证明 32
第三节 数学发展史中的理性精神 51
第三章 批判性思维的培育 72
第一节 批判性思维促进概念理解 72
第二节 批判性思维与问题解决 90
第三节 批判性思维触发深度学习 104
第四节 批判性思维引发创新 124
第五节 基于批判性思维训练的教学模式探究 141
第六节 基于批判性思维的数学设计 155
第四章 创新意识的培育 173
第一节 创新意识源自自由的探索 174
第二节 创新意识源自灵活多样的课程体系 185
第三节 创新源自学生的自主创新活动 205
第五章 卓越教师的成长 210
第一节 立意高远的卓越教师 210
第二节 研究学生的认知特征 212
第三节 教材的重构与整合 218
第四节 数学问题研究与命题研究 232
后记 252
案例索引
案例1洗牌、周期性与费马小定理 29
案例2数学归纳法与理性精神 36
案例3不等式证明中的理性思考 41
案例4函数概念形成中的理性探索 52
案例5复数的历史及其教育价值探索 58
案例6从圆引发的度量问题弧度制教学设计 62
案例7集合概念的教与学 73
案例8周期性概念的批判思考 79
案例9平面向量唯一分解定理 84
案例10问题解决过程中的批判性思维案例 93
案例11数学解题教学中的批判性思维的训练 97
案例12从三角不等式到欧拉不等式 105
案例13数学问题模式的发现 113
案例14透过迷雾寻求真相 119
案例15圆锥曲线中新结论的发现路径 125
案例16善用教材例题、培养创新意识 131
案例17小题大做 135
案例18概念发展模式举例数列概念的形成 143
案例19类比形似与神似 146
案例20容斥原理的探索与发现 153
案例21数学概念形成的教学设计 155
案例22数学课堂教学中的语言设计 159
案例23数学教学过程中的问题设计 162
案例24高三复习课的快与慢 175
案例25从无知到智慧 180
案例26课程开发数学探索中的合情推理 186
案例27教材使用的创新重构向量教材 191
案例28关于一些三角比公式的证明及推广 205
案例29课堂观察与倾听 212
案例30中学生对向量知识的理解 214
案例31高中教材中角的定义及其教法探究 219
案例32教材的解构案例坐标平面上的直线 223
案例33以学定教说问题 233
案例34说问题类抛物线问题的探源 239
案例35命制试题的方法与意义 246
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| 內容試閱：
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长期在教学第一线工作的华师大二附中数学老师王平，总结他的教学经验，编写了《卓越数学教育的理论与实践》一书，这是很有意义的事。王老师希望我写个序言。
作为引子，讲一点经历：20世纪90年代，在天津南开大学召开过一个讨论如何把中国建设成数学大国的会议，与会者是中青年数学工作者和数学系的研究生。主持会议的是国家教委负责人李铁映，坐在主席台中央的是国际著名数学家陈省身先生（沃尔夫奖获得者），坐在主席台上的还有著名物理学家周培源院士。李铁映问陈省身，你认为21世纪中国能成为世界数学大国吗？陈省身的回答十分巧妙，他说，中国是一个人口大国，有那么多人学习和研究数学，应该是个数学大国。但目前我们还得向邻国日本学习。因为日本至今已获得4次菲尔兹奖、1次沃尔夫奖（这些奖被称为数学界的诺贝尔奖）。我国大陆还没有人获得同类的数学奖。
这里介绍一下其中一位获奖者、日本著名数学家小平邦彦。小平邦彦是一个靠自己努力成为著名数学家的典型。小平邦彦小时候算术好，但语文不好，又有口吃毛病，因此不受老师看好；到了中学，小平邦彦喜欢数学与物理，化学还可以。但是英文、日语、史地都不行，尤其是体育，军事体操更差。按当时的规定读完四年中学有一次考高等学校的机会，小平邦彦没有参加四年级后的高考。直到读完五年级，他报考了第一高等学校，这是全日本最难考的学校。他认为考砸了，不会上榜，便在发榜前躲到好友家的别墅里。结果小平邦彦的母亲打电报给他说：考取了，回来吧。可见小平邦彦小时候学习并不出色，而且比较内向、木讷。
1935年小平邦彦进了东京帝国大学数学系。当时考数学系的学生会挨家长骂，说以后难混饭吃，不过小平邦彦父亲没有意见。当时帝国大学有一批日本数学家，为小平邦彦学习数学创造了良好的学习环境。
小平邦彦读大学的感想是：对我来说，没有比数学书更难念了，数百页书从头到尾念完很难。但他认为数学读懂了其实不难，因此他只读定理，证明自己想。这个方法实际上是一种数学实践的方法，需要很大的毅力。小平邦彦后来把他的经验总结为《数学中没有捷径》（这是他成功后写的一篇文章，影响很大），他学习抽象代数时是通过抄书把书读懂的。
大学最后一年（旧时日本大学为三年制），即1938年数学系毕业后，小平邦彦又考进东京大学物理系。由于佩服大学者，他读了赫尔曼外尔（Hermann Weyl）的《群论与量子力学》和冯诺依曼的《量子力学数学基础》。
因为战争期间没有学籍就得上战场，小平邦彦考进了物理系，就不必再上战场。在此期间小平邦彦把外尔的结果扩展到n维，写成了《Riemann流型的调和张量场》分三次在《日本学士院欧文纪要》上发表。当时日本战争激烈，日本境内文献进不来，杂志也全部停刊了。战争结束后，1948年小平邦彦托角谷静夫所认识的驻日美军把论文Harmonic
fields in Riemannian
manifolds带到美国投《数学年刊》。1949年10月《数学年刊》刊出了小平邦彦的论文。外尔在审查中看到后，认为这是一篇好文章，就聘小平邦彦去普林斯顿高等研究所工作，为期一年。小平邦彦到普林斯顿后见到大数学家外尔和美国原子弹之父奥本海默，那时奥本海默是研究所所长。外尔是德国人，圆脸，身材高大，满脸笑容，是一位好爷爷般的大数学家［他是20世纪十大数学家之一，与陈省身的导师嘉当（E.Cartan）相仿］。小平邦彦是个为人谦虚，语言能力不强的学者。在美国的学术环境下，他努力工作，在代数几何和复几何领域作出了许多重要贡献：证明了复曲面的黎曼洛赫定理；证明了小平消弭定理和小平嵌入定理；把紧复曲面作了系统分类。39岁时，小平邦彦以出色的成果获得了1954年的菲尔兹奖。由于他在复流形上调和分析方面的出色工作，1985年小平邦彦70岁时又获得沃尔夫数学终身成就奖。在国际上，小平邦彦是与陈省身、丘成桐地位相仿的著名数学家。
从小平邦彦成为著名数学家的经历可以看到，要取得杰出成果的数学家必须热爱数学，愿意付出巨大的努力。
当然数学好并不一定要成为数学家，但数学好可以做出成绩的机会更大。例如我国两院院士王选，王选用数学方法创立了中文计算机排版系统，成为现代毕昇。王选是在上海南洋模范中学读高中的，他对数学老师赵宪初先生的课印象十分深刻，赵老师讲课生动有深度，为南洋模范中学培养了许多数学优秀的学生。
在科学研究中，有时一个错误判断足以消耗毕生的精力。英国数学家安德鲁怀尔斯（Andrew
Wiles）花了7年时间获得了费马大定理的证明。1993年怀尔斯在一个数学会议上报告他的证明，受到数学家们的热烈的关注。1993年6月29日《纽约时报》报道安德鲁怀尔斯放出数学卫星，350年的老问题已经被攻克。然而当怀尔斯把证明稿件送到《数学发明》后，被查出证明中有一个错误，结果又花了14个月才改正了这个错误，给出了正确的证明。从开始研究到给出正确证明大约花了8年时间（具体内容可参考《费马大定理》一书）。小平邦彦说通过做题和证明定理，提升自己判断和鉴赏数学的能力很重要。在理性思维无法用上时，数学鉴赏能力会派上用场。在科学研究过程中目标不清（即能到达怎样的结果也不知道）是经常发生的，此时理性思维就无法应用。因此加强数学实践是根本的，是排在第一位的能力。
理性思维在研究过程可以缩短科研所花的时间，可以避免片面性，看清事物的本质。这方面本书作了详细的阐述，值得阅读。
上海二期课改高中数学教材主编袁震东
2017年3月12日
于华东师范大学
第一章 卓越数学教育的核心理念
卓越数学教育的核心理念
我们生活在一个变化的时代，也是充满各种危机的时代，每一个教育工作者，尤其是上海市双名工程即上海市普教系统名校长名师培养工程的直接参与者，我们有思考教育的责任。这是因为教育正处在机遇与挑战并存的时代，有人与自然的生存危机、人与社会的人文危机、人与人的道德危机、人与自己的心理危机、国家与国家的安全危机、文化与文化的价值观危机、经济与经济的金融危机等。所有这些危机，同时也是难得的机遇，我们唯有直面危机，勇于接受挑战，才能抓住机遇，创造卓越。思考教育的目的，事关我们下一代的成功或失败，他们将如何塑造我们这个世界。这绝不是小事。
卓越教育是华东师范大学第二附属中学在新的时代条件、社会环境和教育背景下，以发展民族教育为立足点，面向现代化、面向世界、面向未来，以培育终身发展的卓越人才为目标，系统开展的关于教育改革路径与发展方向的理论思考和实践探索。在此教育理念的引领下，经过积极探索与实践研究，逐渐形成以培育学生的理性精神、批判性思维、创新意识为目标的卓越数学教育理念与相应的教学策略。
第一节 卓越教育的核心理念
卓越，《辞海》中解释为超出一般。卓，超然独立、高明、高超。卓，高也《说文》；如有所立，卓尔《论语》；卓，高远、遥远，如卓如日月《后汉书?祭遵传》；也有独特之意如，彼特以天为父，而身犹爱之，而况其卓乎！《庄子》。越，超越，跃过，如戒勿越《礼记?曲礼》；超过、超出，如越职逾法，以取名誉《汉书?宣帝纪》；也有传播，宣扬之意，如使越于诸侯《国语?晋语》。
教育，教化培育，以现有的经验、学识推敲于人，为其解释各种现象、问题或行为，其根本，是以人的一种相对成熟或理性的思维来认知对待，让事物得以接近其最根本的存在，人在其中，慢慢地对一种事物由感官触摸而到以认知理解的状态，并形成一种相对完善或理性的自我意识思维但同时，人有着自我意识上的思维，又有着其自我的感官维度，所以，任何教育性的意识思维都未必能够绝对正确，而应该感性式地理解其思维的方向，只要它不偏差事物的内在；教育又是一种思维的传授，而人因为其自身的意识形态，又有着另样的思维走势，所以，教育当以最客观、最公正的意识思维教化于人，如此，人的思维才不至于过于偏差，并因思维的丰富而逐渐成熟、理性，并由此，走向最理性的自我和拥有最正确的思维认知，或许，这就是教育的根本所在。
卓越教育要培养卓越的学生。卓越教育的评判不在于学生毕业后所处的地位高低、财富多寡，而在于其是否能不断超越自我，成为所在团队的核心和灵魂，成为卓越的人。卓越人浑身洋溢着不断进取的力量，无论他处在社会上的任何位置都会追求卓越，并感染和带动周围的人一起努力和奋斗。卓越体现在学生的身上，应当是富有独特个性、独特的眼界和志向、独特的智慧和能力，这三方面会在具体个人身上形成独特的组合，影响着一个人的毅力、气质和精神。没有毅力和进取动力的人无法达到卓越的境界。
因此，可用八个字来诠释卓然独立，越而胜己。
一、 卓越卓然独立，越而胜己
卓然独立的解读，华东师范大学叶澜教授提出可以从不的角度解读卓然独立是什么：
1. 志向不狭窄
教育要使人做到志向不狭窄，不拘泥于眼前利益，教育是要打开学生眼界，让他们对人生、世界、宇宙产生积极的兴趣，而不是被眼前的考试所束缚，被眼前的一点成绩冲昏头脑。
2. 人格不依附
人格不依附至少包括两个方面，一是不仰视所谓的大人物；二是不俯视所谓的小人物。独立绝不是无视他人，而是一个人性和才华的表现。事实上只有这样独立的、不依附的人才能做到真正的相互合作。只有大家都独立，在一个群体里才能形成有意义的合作，这个群体的力量才能得以正面显现。
3. 思维不趋同
表现在对问题的诠释有创造性，不局限已有的答案，而是追求更多的可能性。善于发现问题是创造性思维更重要的方面，我们要培养学生的思维不趋同，很重要的一点就是不扼杀学生的探索的欲望、学习的兴趣、研究的积极性以及培养发现的能力。
4. 言行不虚浮
在实现追求的过程中，不说大话空话，言行一致，求实奋进，这样的人格让人感动，让人难忘，才可能成为我们期望的未来的创新人才，卓越人才。
越而胜己从积极进取的意义看，需要认识到人生发展过程是一个不断地超越自己的过程。具体说，越而胜己主要体现为以下四点：
1. 自我渐清晰
高中是学生开始对自我的认识进入到相对理性系统思考的起始阶段，他会想我是谁？会想我到底是个怎样的人？我能够成为怎样的人？等等。当学生开始拷问自己，这些问题就会在他的思考中占有重要位置。这就是为什么卓越人生的起航，最重要的是帮助学生清晰地认识自己。
2. 反思成习惯
反思是一个人成长过程中的重要一环，没有人能够看清你所有的正确或失误，最后最明白自己的领悟、问题、发展及障碍的还是自己。他人是一面镜子。要学会在自己实践的过程中，在元认知的意义上，对自我作整体意义上的反思。反思实际上是一种习惯，养成这种习惯就容易胜己。不反思，就不明白问题在哪里，也不明白进步是如何取得的，更不清楚自己还可以怎样前行。
3. 人生会选择
要成就自我、超越自我，需要每个阶段对自己做出的选择具有清醒的意识和能力。我们要培养学生在认识自我、反思自我的基础上，懂得为何选择和如何选择。处于多元的当代社会，主流价值往往得不到学生的认同，倒是非主流更具有吸引力。在这种大背景下，教育该怎么办呢？堵是堵不尽的，导也未必有效，因而引导、帮助学生形成内在价值观，学会在纷繁喧闹中进行选择，则成为教育的重要任务。学会选择与前述人格不依附、志向不狭隘是紧密相连的。有了清晰的自我认识，就知道该选择什么。人生其实是个不断选择的过程，如果选择正确就是抓住了时机，更容易实现发展。在高中阶段对选择意识和能力的培养，将有助于学生清楚未来的专业选择和人生道路，这是对选择能力是否形成的具体考验。
4. 发展能自觉
我们必须要记住：自我发展才是最有价值的智力发展，这种发展通常是在16岁和30岁之间发生。［英］怀特海语人有了自我发展的自觉性，或者说人的生命达到自觉状态，就是达到了自我发展的最高境界。但是如今青少年最缺乏的往往就是这种自觉性。如果在中学阶段我们的学生能做到自觉发展，他将可能做好任何事情。自觉发展不是自由化，孔子说七十而从心所欲，不逾矩，自由是自己内心的选择得到实现，但在现实世界中，逾了矩去寻找欲就不行。这个矩是天道、人道，是做人最基本的准则，所以世界上也不会有这样的完全的自由。我们以前讲过精英人才，现在讲创造型人才或者卓越人才，这些概念是具有共性的，需要教育去关注、去研究。但是这些共性的概念，具体到一个个不同的学生身上，就会散发出完全不同的独特个性，例如如何选择、认识自我、用什么价值来指导自己的行为等等。自觉发展才可能实现个性化发展。
总之，卓越教育是为实现每个学生拥有幸福和有意义的人生而进行的教育。卓越教育的核心理念，就是卓然独立，越而胜己。要做卓越的老师、卓越的学生，最根本的是要学做人，做有价值、有追求、有贡献、有尊严、有智慧和有精神的人。这样的人才能够成就事业，也才能在奉献社会中成就自我。做教育就是教学生成人，这是核心目标。
二、 发现与发展每一位学生的潜能
卓越教育的第二个核心理念，是发现与发展每一位学生的潜能。
发现与发展每一位学生的潜能，就是使每一个学生在既有基础上进一步发现、激活、发展自身潜能，使不同个性、不同天赋、不同基础、不同类型的学生的潜能都能得到发现和发展，将卓然独立，越而胜己的追求从个体扩展到全体，实现个体卓越与群体卓越的统一。
发现与发展学生的潜能，就是尊重和承认个体之间的差异，为每一位学生提供发展自我的机遇，使每个学生的都可以自信、自由的学习。
发现与发展学生的潜能，就是摆脱功利目的的驱使，消融应试教育坚冰，激活每一个学生丰富的潜能和创造欲望，引导全体学生在自我超越中，践行卓然独立，越而胜己的卓越教育理念。
三、 为卓越人才的终身发展奠基
卓越教育的第三个核心理念，是为卓越人才的终身发展奠基。
普通高中教育时期是学生个性形成、自主发展的关键时期，对提高国民素质和培养创新人才具有特殊意义。与经济、科技、文化等发展的多样性相适应，普通高中学生既具有共同发展需求，也有愈来愈强烈的个性化发展要求。因此，学校的个性和特色的形成，学校的多样化发展，成为未来人才培养和学校自身发展的重要任务。《普通高中课程方案实验》赋予了学校合理而充分的课程自主权，为学校创造性地实施国家课程、因地制宜地开发学校课程和学生有效选择课程提供了政策保障，并且在课程内容板块阐明了新课程内容建设的选择性为适应社会对多样化人才的需求，满足不同学生的发展需要，在保证每个学生达到共同基础的前提下，各学科分类别、分层次设计了多样的、可供不同发展潜能学生选择的课程内容，以满足学生对课程的不同需求。
面对受教育者越来越渴望接受高层次教育的社会现实，普通高中教育应当进一步借鉴发达国家和地区的发展经验，为培养数以亿计的高素质劳动者、数以千万计的专门人才和一大批拔尖创新人才奠定坚实基础。
普通高中教育的特色化、多样化发展，不仅能够为不同地区、不同类型学校培养符合未来国家需要的多样化人才奠定坚实基础，更能为走向未来世界的学生提供了促进终身发展的有力机遇和良好条件。
以终身教育的宏观视野和教育理念审视普通高中教育，有利于进一步明确普通高中教育的价值和使命。终身教育理念对普通高中教育具有重要影响。如斯宾塞主张为我们的完满生活作准备是教育应尽的职责，杜威提出教育应充分发挥其中介和桥梁作用，使个人特性与社会目的和价值协调起来，要大力加强科学教育和道德教育。联合国教科文组织在《学会生存》和《教育财富蕴藏其中》等报告中，对终身教育的理念做了重点阐释。特别是在《教育财富蕴藏其中》中，对每个人一生中的知识支柱做了具体说明，认为教育应围绕四种基本学习加以安排，即Learning to know学会求知、Learning to do学会做事、Learning to co operate学会共同生活、Learning to be学会生存发展。学会求知这种学习更多的是为了掌握认识的手段，而不是获得经过分类的系统化知识。而掌握认识的手段，首先要求要学会运用注意力、记忆力和思维能力来学习。学会做事主要是使学生获得在未来世界的工作能力，不能再像过去那样简单地理解学习工作的含义就是为了培养学生去从事某一特定的具体工作，参加某种产品的生产。学会共同生活学习在文化多元发展时代国际理解和合作共存等能力。学会生存发展发展的目的在与于使人日臻完善；使他的人格丰富多彩，表达方式复杂多样；使他作为一个人，作为一个家庭和社会的成员，作为一个公民和生产者、技术发明者和有创造性的理想家，来承担各种不同的责任。
普通高中教育要在青少年学生人生成长和发展的关键阶段，以及为学生世界观、人生观、价值观奠基的关键时期，充分体现其不可替代的功能和价值，面向现代化、面向世界、面向未来，着力培养学生在未来世界中的求知、工作、生活和发展能力，其中世界眼光、民族情怀、科学精神、创新精神、道德发展、健全人格等的培养尤为关键。
第二节 卓越数学教育的核心理念
要做到志向不狭窄，人格不依附，思维不趋同，言行不虚浮不仅需要理性精神的指引，更要学会批判性的思考问题，才能有独立的思考，才会创造性地改造世界，才可能具备在未来世界中求知、工作、生活和发展的能力。因此，高中卓越数学教育的核心为理性精神、批判性思维和创新意识的培育。
一、 理性精神追求卓越的精神指引
1. 理性精神
理性是指能够识别、判断、评估实际理由以及使人的行为符合特定目的等方面的智能，也即人类理智对待秩序、法则、公理、规范的品性。它是人的特有精神属性和人类智慧之精华，是社会行为主体国家、政府、政党、利益集团、个人等对客体的一种能动的反映，是行为主体认识自然、社会及其协调、整合自然、社会和各种行为主体之间关系的基本的能力。
有学者研究理性精神的内涵包括以下四个方面：
※主客体的严格区分；
※研究是精确的、定量的；
※批判的精神和开放的头脑；
※抽象的、超验的思维取向。
可见理性精神既是我们克服习惯的影响，冲破世俗的束缚，情绪的干扰，将自己从主观、僵化的认识中解放出来，获得对世界的客观认知、获得新观点的精神指引，也为我们提供了思辨的方法。
康德对理性的解释为：理性一是要自己思考。自己思考即是不迷信任何权威，包括书本、教条、经验、领袖、导师、救世主、专家等等，一切要经过自己的思考和判断。二是要自己思考也站在每一个别人的立场上思考。这样才能避免单是自己思考有可能造成的自我膨胀，才能时刻保持谦卑而与人类共同的理性相沟通。如果能做到这两点，就是坚持了理性精神。
具备理性精神的人才可能做到思维不趋同，人格不依附，人生会选择，才能学会做事，学会生活，学会与他人相处，理性精神是卓越人才实现卓越人生的精神指引。
2. 数学的本质特征
数学的本质特征决定了数学教育就是关于理性精神的培育，关于数学有以下几种主流的认识：
※数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。
※数学是模式和秩序的科学通过模式的建构并以此为直接对象从事客观世界规律性的研究。
※数学是一个多元的复合体由理论、方法、问题和符号语言等多种成分组成。数学是科学性与艺术性的辩证统一。
※数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及完美境界的追求。它的基本要素是，逻辑和直观、分析和构造、一般性和个别性。
※数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。
虽然不同的认识可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值。作为课程形态的数学文化的外延应包括数学史的知识；反映数学家的求真、求善、求美、智慧、创新、探索精神等的故事；反映数学重要概念的产生、发展过程及其本质；可以向数学应用方向扩展的重要数学概念、数学思想、数学方法；数学思维和处理问题的方式；数学科学对人类社会和经济发展的巨大作用的体现等。
有鉴于此，数学家、数学教育家、武汉大学前校长齐民友提出对理性精神可以理解为：它首先表现为一种信念，表现为对真理的追求。它相信自然是可以被认识的，因此它反对愚昧与迷信，反对神秘的不可知主义，它认为每个人都有认识世界的天赋，都可以认识世界。其次，理性精神坚持以理性或理智或以理性为基础的思维方法作为判断真假、是非的标准。
每个论点都必须有根据，都必须持之以理，除了逻辑的要求和实践的检验以外，无论是几千年的习俗、宗教的权威、皇帝的敕令，流行的风尚统统是没有用的。这样一种求真的态度，倾毕生之力用理性的思维去解开那伟大而永恒的谜宇宙和人类的真面目是什么？是人类文化发展到高度的标志。这个伟大的理性探索是数学发展必不可少的文化背景，反过来也是数学贡献于文化最突出的功绩之一。
数学理性是一种对周围的事物客观的、定量的看法，一种人们有理有据地推理、论证的思维，一种不迷信权威、坚持真理的精神。
数学教育就是要培育这种理性精神，培育理性精神就是要培育学生，求真，求善、求美，以理性的思维去思考自己、去认识世界、探求未知世界，学会理性的选择并在此过程中充分挖掘自身的潜能。
在本书中我们将以案例的形式探讨在数学教育中培育理性精神的途径。
二、 批判性思维追求卓越的思维方式
卓然独立，越而胜己强调人格不依附，强调思维不趋同，强调人生会选择，强调反思成习惯，都是指向学生应该是有独立思维能力，要具有思维的批判性和创新性。柏拉图未经审验的生活是不值得过的《申辩篇》的忠告和博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之《礼记?中庸》的教诲，道出了培养学生批判性思维的深远意义。
近年来，批判性思维critical thinking越来越受到教育工作者的重视，北京大学李沉简教授在北大为本科生开设了批判性思维选修课，精英学子趋之若鹜。影响最大的关于批判性思维的著作《批判性思维工具》中译本又名为《思考的力量批判性思考成就卓越人生》，中译本译者直接指出，批判性思维是卓越人才必备的思维方式。
批判性思维被看作是学习的一个不可分割的成分，可与问题解决并列为思维的两大基本技能，人们还把批判性思维与问题解决能力共同纳入未来社会的公民必须具有的五大技能之列，另三项技能是处理信息的能力、学习能力以及全球意识。因此提高学生的批判性思维水平也成了学校教育的关键目标之一。同时，批判性思维也被认为是21世纪教育的基础之一。国际21世纪教育委员会向联合国教科文组织提交的报告《教育财富蕴藏其中》明确指出：教育应该使每个人，尤其借助于青年所受的教育，能够形成一种独立自主、富有批判精神的思想意识及能力。1983年，美国科学基金会在《为了21世纪的美国教育》的报告中，也把批判性思维当作教育的主要目标之一。我国的素质教育和课程改革尤其提倡创新能力的培养，而批判性思维的培养是发展学生创新思维和创新能力的前提与基础。
1. 批判性思维
批判思维critical thinking是一种基于理性和逻辑的思维模式，指的是我们在思维过程中，我们通过反思、分析问题来作出决定并解决问题。这种思维被定义成一种理性的评判，那就是：一种基于逻辑和事实证据的评价方式。批判性思维是一种有目的的思维，其目的是深入调查问题，并且非常注重取得问题的对策。它为人们进行理性思考提供了基本的平台和方法。批判思维要求思考者在分析问题的同时，也要反思自己的思维过程。批判思维能力不仅是从事学术研究的基本条件，也是人们从事各类工作应具备的基本素质。
批判性思维与自然思维的区别是，自然思维：按照习惯或流行的观念来思考，通常是将自己固有的观念或信念来套所遇到的问题或现象，合者则肯定或接受，不合者则否定或拒绝。批判思维：对所遇到的问题或现象先要存疑，再运用逻辑推论和相关充足理由来分析问题和现象，得出肯定或否定的结论。它们之间的区别可见下表：表1 1批判思维与非批判思维的区别
非批判思维批判思维思维常受情绪冲动支配依据理性的思考基于先入之见的思考偏见，不正确的假设反省的思考简单性思考技巧性思考片面性思考全面性思考服从权威或习俗创造性思考自我中心式思考对象性思考固执己见自我修正的思考全有或全无式思考复杂性思考不加质询易于轻信先质疑再思考中南大学公共管理学院冯周卓教授在现有的研究中，对批判性思维的性质有两种代表性的意见。一种意见把批判性思维看作是一种能力。比如，恩尼斯R.Ennis认为批判性思维指个体对做什么和相信什么做出合理决策的能力。另一种意见则把它定义为一种思维过程。如加利福尼亚把批判性思维定义为一种有目的性的，对产生知识的过程、理论、方法、背景、证据和评价知识的标准等正确与否作出自我调节性判断的思维过程。霍尔普恩D.F.Halpern持类似观点，认为批判性思维是对增加获得期望结果可能性的认知技能和策略的运用。
把批判性思维定义为一种思维过程与定义为一种能力特点并不矛盾。实际上它们是从不同的角度对同一问题进行审视。当人们把批判性思维看作是认知过程的一部分，批判性思维就是同一种过程。当人们从个性心理特征角度分析批判性思维，批判性思维就是成为个体能力特点。批判性思维过程与批判性能力从不同角度反映人们批判性思维的情况。但无论把批判性思维定义为一种思维过程，还是一种能力特点，都有一个共同的缺点，就是没有明确地把批判性精神很好地反映出来。
所以，综合有关观点，我们认为批判性思维是个体对产生知识的过程、理论、方法、背景、证据和评价知识的标准等正确与否作出自我调节性判断的一种个性品质。它包括批判性思维的个性倾向性和个性心理特征两个方面。个性倾向性反映个体的批判性精神，个性心理特征反映个体的批判性能力。
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