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3.6.5三维定态问题和一维定态问题的关系 习题 第4章量子力学中的力学量 4.1力学量和线性厄米算符 4.2力学量取确定值的态 4.2.1坐标算符 4.2.2动量算符 4.2.3角动量算符 4.3展开假定测量和连续谱 4.3.1展开假定 4.3.2测量概念初步 4.3.3连续谱 4.4平均值和测不准关系 4.4.1平均值及差方平均值 4.4.2测不准关系 4.5力学量随时间的变化 4.5.1力学量平均值随时间的变化 4.5.2概率分布随时间的变化 4.5.3公式dF 內容試閱： 前言 本书是编者根据在福州大学材料科学与工程学院多年讲授量子力学基础与固体物理学这门课程的讲义基础上扩展编著而成。2005年福州大学材料学院为了加深学生的物理基础，提出要开设固体物理学这门课程，讨论中编者提出固体物理学课程的先修课程要有量子力学，不然学生很难理解有关概念和处理问题的方法。既然有了这个问题，后来的讨论就倾向于把量子力学的内容也加进来，于是福州大学材料学院开设了这门量子力学基础与固体物理学本科课程。全世界的高等学校都是把两部分作为两门课程分别开设的，但在福州大学材料学院由于学时限制，不可能作为两门课程来开设。2007年春，这门课程作为选修课开始给2004级本科生开设，后来又变成必修课，再后来作为非高分子方向的必选课程。材料是人类技术进步甚至是人类文明进化的标志。比如用石器时代、青铜器时代和铁器时代来表达人类文明史的不同阶段； 近现代，从19世纪中叶到目前，人类又经历了从钢铁时代向以硅芯片为代表的电子时代的过渡。与此同时材料也是人类生存和发展的重要物质基础。从材料的传统分类，有金属材料、陶瓷材料、玻璃、水泥、高分子材料、复合材料，而从使用特点分类有结构材料和功能材料，当今又有所谓环境材料、纳米材料等不一而足。材料分类与品种非常复杂，五花八门。然而不论材料的分类与品种多么繁多复杂，所有材料都是由不同的原子组成的，而原子又是由不同数量的质子和中子形成的原子核与核外若干电子构成的，也就是说，所有材料的组成基础都是电子、中子、质子等基本粒子。描述这些基本粒子运动规律的理论就是量子力学，因此量子论的一些基本概念和研究方法也可以说是材料科学的基础。要想深刻认识和理解材料的有关性质和属性，就必须对组成材料的微观粒子的运动行为和规律有准确的了解和认识，这只能通过量子力学来实现。量子力学作为一种基本理论，内容深刻，内容覆盖也较多，本课程量子力学基础部分只占一半学时，着重讲授量子的概念、波粒二象性、波函数、薛定谔方程、一维定态问题、力学量算符、展开假定、中心力场、氢原子、微扰理论等基础内容，为进一步深入学习量子力学和其他如固体物理等课程打下基础。但作为教材出版，为了使量子力学的基础理论在本教材中显得更完整一点，量子力学的表象理论也作为一章加以介绍，以作为有兴趣的读者的扩展读物，但不作为课堂内容讲授。固体物理学是研究固体材料最基本规律的学科，是在量子论基础上描述原子规则排列形成晶体后体现出的一些基本规律的科学，是系统理解材料结构与性能相互关系的基础，是材料科学与工程专业最应该学透的基础学科。同样由于学时限制，本课程中也只讲授最基本的内容。主要有晶体结构、晶体的结合、晶格振动、能带理论基础等内容，为学生进一步深入学习固体物理课程和其他材料有关学科打下良好的理论基础。本教材量子力学部分大部分参考了姚玉洁老师的结构体系，固体物理学部分主要参考了黄昆老师最早的教材。在此编者向两位前贤表达崇高的敬意。 第3章定态薛定谔方程及一维定态问题 3.1定态薛定谔方程作为一个理论体系，至少应该能够解决以下问题：1） 给出在某一时刻，量子体系的全部物理量的取值及其平均值等物理信息。这是从运动学的观点来考察状态。此时可以将描述状态的波函数r,t中的t作为参数处理，而将r作为自变量来讨论问题。2） 给出体系的状态随时间的变化规律。这相当于从动力学的角度来考察状态。薛定谔方程可以解决这个问题。下面我们从运动学的角度来讨论量子状态。从运动学的观点来看，量子体系的状态是多种多样的，但其中有一类状态稳定状态却具有十分重要的实际意义。稳定态是能量取确定值的状态，简称定态。这类状态，即使时间变了，状态的其他性质可以发生很大的变化，但它的能量取值却一定不变。定态也是千差万别的，自然描述定态的波函数（称为定态波函数）也是千差万别的，但是这些波函数却服从一个统一的规律，这个规律可以在数学上用一个方程定态薛定谔方程来表达。定态薛定谔方程可以从前面讲的量子力学第三个原理来推出。必须指出，定态时位能函数与时间无关，U=Ur，即体系是处于保守力场的情况。3.1.1定态薛定谔方程的建立在保守势场中，H^=－222mx2 Ur与时间无关，可以用分离变量法来求解薛定谔方程： ir,tt=－22m2x2 2y2 2z2r,t Urr,t（31） 令r,t=ftr，代入上式得 irftt=－22mft2r Urrft 整理得 i1ftdftdt=1r－22m2 Urr=A 其中，A是一个与空间和时间变量无关的分离常数，于是经过分离变量可以得到两个方程，即 i1ftdftdt=A（32） －22m2 Urr=Ar（33） 方程（32）的解直接可以得到 ft=Cexp－iAt=Cexp－i2Aht 其中C为常数，根据一般的波动形式可知Ah=（频率），对比德布罗意关系式E=h可以认定分离常数具有能量的含义，即A=E，于是方程（32）的解可以写成 ft=Ce－iEt 方程（33）可写成 －22m2 UrEr=EEr 即 H^Er=EEr（34） 上式称为定态薛定谔方程。满足该方程的波函数Er称为定态波函数。在数学上它叫做算符H^的本征方程或称特征方程。本征译自德语eigen。英语为characteristic，应翻译成特征。物理学领域一般采用源自德语的本征，数学领域一般采用源自英语的特征。我们把描述某种运算手续的符号称为算符，it、H^、Ur、、T^=－22m2等都是算符。所谓本征方程就是这样的方程算符作用在某函数上＝常数乘以同一函数这个常数就叫作本征值。能够使方程成立的本征值一般不止一个，所有本征值的集合称为本征值谱。满足本征方程的波函数叫作本征波函数。取不同本征值时，满足方程的本征函数一般也不同，因此本征函数一般要注明其对应的本征值。定态薛定谔方程也就是能量算符（哈密顿算符）H^的本征方程，二者之间的对应关系如表31。 表31薛定谔方程与H^本征方程的关系 物理上数学上 定态薛定谔方程 H^r=Er能量算符H^的本征方程定态波函数r能量算符H^的本征函数体系处于r态时能量的一个可测量值E能量算符H^的一个本征值体系在实验上可测得的全部能量值能量算符H^的本征值谱 定态问题实际上就是求解能量算符的本征方程。这个本征方程是微分方程，但它不是一个普通的微分方程，而是含有一个待定常数E，而E本身又有确定物理含义的微分方程，即定态薛定谔方程。通过求解定态薛定谔方程得到定态波函数，进一步乘以与能量密切相关的时间函数ft就可以得到描述能量稳定状态的波函数： r,t=Ere－iEt 判断一个波函数描述的状态是否为定态，就是看能否将该波函数转化成上式的形式。简并度： 如果对应一个 E 值，有 f 个线性独立的波函数满足本征方程，则称对应这个能量 E 是 f 度简并的，简并度有时也称退化度。注意： 在求解薛定谔方程时，应选择合适的坐标系以求简化计算过程。3.1.2定态的特点和实现定态的条件1. 定态的特点 1） 任何时刻，能量的取值不变。前面讲过，与时间相关的定态波函数为 r,t=Ere－iEt 其中Er满足定态薛定谔方程 H^Er=EEr 这里的E是分离常数，它不仅与r无关，而且与t也无关。只要体系所处的力场不变（U不变），若在某一时刻，体系的能量取确定值，则在以后的任何时刻，状态的其他性质可以发生很大变化，但其能量取值却一定不变，这一特点就是称其为稳定状态的原因。2） 对于定态，所有不显含时间t的物理量，其取值概率与平均值都不随时间改变。例如，对于定态归一化波函数r,t，其位置概率密度为 Wr,t=|r,t|2=|Er|2 说明在定态时，位置概率密度与时间无关。再由连续性方程 Wt J=0 可得 0=J=Jxx Jyy Jzz 如J仅在x方向不为零，则Jx=常数。这意味着，在单位时间通过垂直于x轴的单位面积的概率在x的任何点均相等。这就好像匀速运动，无论在x方向的任何点上。都通过相等的概率流。2. 实现定态的条件1） H^t=0，前面已经说明。2） 初始时刻，状态处于定态，才能保证以后时刻也为定态！下面以三维空间运动的自由粒子为例，讨论一下通过薛定谔方程求得粒子运动状态情况的过程。所谓自由运动是指粒子在运动过程中不受外力的作用。这时对应的位能应是常数。为简单计，取此常数为零。这样自由粒子的能量算符为 H^=－22m2=－22m2x2 2y2 2z2 相应的定态薛定谔方程为 －22m2x2 2y2 2z2x,y,z=Ex,y,z（35） 方程具有分离变量解 x,y,z=xyz 将其代入式（35），得 －22md2xdx2x d2ydy2y d2zdz2z=E 上式可分为 －22md2xdx2x=Ex（36） －22md2ydy2y=Ey（37） －22md2zdz2z=Ez（38） 能量本征值为E=Ex Ey Ez。由于式（36）~（38）形式相同，故仅以式（36）为代表求解之。必须强调，方程（36）是一个包含待定常数Ex的微分方程，既要求出本征值，也要求出相应的本征函数。另外还要强调的是： 微分方程的解不一定是我们要的波函数，只有满足自然条件的解，才是我们需要的定态波函数。在从数学解中挑选波函数的过程中，就可以定出本征值来。首先，微分方程（36）的通解为 x=c1exp－2mExx c2exp－－2mExx（39） 其中c1、c2为任意常数。然后，我们来挑选满足自然条件的解。1） 当Ex0时，有－2mExa，a为实数，从而方程的解为 x=c1eax c2e－ax 为使x时上式有限，只能c1=c2=0，显然，零解没有物理意义。因此对应Ex0U00 这个位在x=0点间断。描述电子在金属边缘时的运动，常用这种类型的位加以近似处理 3.2.1方程的解定态薛定谔方程为 －22m1x=E1x（xU0时，x0区域没有向左运动的波，应令D＝0；当EU0 2mV0－EEU0时 1=Aeik1x Be－ik1x（xU0时，透射波的概率流密度 JT=i2m［Ceik2xCe－ik2x－ik2－Ce－ik2xCeik2xik2］=k2m|C|2 当0U0时,有 反射系数 R=|JR||JI|=|B|2|A|2=k1－k2k1 k22 透射系数 T=|JT||JI|=k2|C|2k1|A|2=4k1k2k1 k22 R T=k1－k22 4k1k2k1 k22=1 当00的区域，波函数呈指数衰减，很快降低到零，因此可以认为是没有透射波。反射系数 R=|JR||JI|=|B|2|A|2=|ik1 |2|ik1－|2=1； T=0 这时，入射波全部被反射回来，因此在xa的区域3中，仅存在穿过势垒的粒子，不存在向负方向运动的粒子。 3.3.2定量描述在1、2、3区定态薛定谔方程分别为1区－22md21dx2=E12区－22md22dx2 U02=E23区－22md23dx2=E3对于EU0的情况，令k12mE； k22mE－U0，则3个区域的定态薛定谔方程解的形式分别为1区1x=Aeik1x Ae－ik1x2区2x=Beik2x Be－ik2x3区3x=Ceik1x在1、2、3区域中波函数分别满足有限、单值的要求，除x=0，a点外也处处连续。因此为保证满足处处连续的要求，只要特别考虑在x=0，a处的连接条件就可以了。按连接条件 10=20，10=20 2a=3a，2a=3a 得 A A=B B A－A=k2k1B－B Beik2a Be－ik2a=Ceik1a Beik2a－Be－ik2a=Ck1k2eik1a 由上面四式，可以得到 A=k12－k21eik2a－e－ik2ak1 k22e－ik2a－k1－k22eik2aA B=2k1k2 k1e－ik2ak1 k22e－ik2a－k1－k22eik2aAB=2k1k2－k1e－ik2ak1 k22e－ik2a－k1－k22eik2aA C=4k1k2e－ik1ak1 k22e－ik2a－k1－k22eik2aA 反射系数 R=|JR||JI|=|A|2|A|2=1 4k21k22k21－k222sin2k2a－1 =1 4EE－U0U20sin2k2a－1 透射系数 T=|JT||JI|=|C|2|A|2=1 k21－k222sin2k2a4k21k22－1 =1 U20sin2k2a4EE－U0－1 可以证明R T=1。对于0U0的情况下，按经典理论，入射粒子恒可以在势垒的右边出现，入射波全部透射，但在量子力学中，尽管粒子的能量高于势垒高度，但仍有被反射回来的可能，即R0，TU0但极接近U0的情况时 T=1 U20sin2k2a4EE－U0－11 U0ma222－1 势垒越低（U0小），垒的厚度越窄（a小），则越容易透射。在0

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