前言
非圆截面零件广泛应用于汽车、生物、医学、航空、航天等机械设备，随着现代工业对非圆车削的高加工精度和高加工效率的要求，获得参考轨迹的满意跟踪性能且产生高精度的动态切削运动成为必然。非圆切削车床的关键部件之一是径向进给系统，而非圆截面零件因为其独特的形状特征，给机械加工带来困难，型线越复杂，车削速度越高，对进给系统的要求就越高。高系统传动精度、高切削频率响应能力、高刚性和抗动态负载的能力是零件截面型线不失真的保障。制造业是经济结构战略性调整的推动力，是国民经济高速增长的发动机，是以信息化带动和加速工业化的主导产业。本书采用的数据驱动控制方法是控制器设计不包含受控过程数学模型信息，仅利用受控系统的在线和离线IO数据以及经过数据处理而得到的知识设计控制器，并在一定的假设下，有收敛性、稳定性保障和鲁棒性结论的控制理论与方法。数据驱动控制DataDriven Control最早来源于计算机科学领域，虽然在控制领域的研究还处于萌芽阶段，但已得到国内外控制理论界的高度重视。自2002年美国召开题为IMA Hot Topics Workshop： Datadriven Control and Optimization的研讨会开始，国内也迅速开展了基于数据的控制、决策、调度与诊断的研究。2010年11月，在北京召开的基于数据的优化、控制与建模国际学术研讨会上，柴天佑院士谈到控制科学的研究应多注重解决实际问题，而基于数据的优化和控制正是面向实际应用提出的。中国的制造业非常发达，基于数据的优化和控制方法研究在国民经济发展中大有用武之地。围绕北京经济、社会发展的重点科技问题，北京市科学技术委员会于2011年9月发布了北京市十二五时期科技北京发展建设规划，规划第五部分推进科技振兴产业工程，引领产业结构优化升级的主题之一就是高端装备制造产业，其中包括开展高档、专用数控装备及相关技术研发、应用及产业化。在由139位来自企业、研发机构、高校以及国外专家分析得出的未来15年先进制造领域对我国产业发展最重要的14类核心技术中，高档数控机床及基础制造装备关键技术被列为第一项。而该数据驱动控制技术的实现，可进一步推动北京市数控产业关键技术的自主创新和技术改造，降低高端数控机床的价格，推动控制工程学科与数字化制造学科的交叉，具有重要的理论与工程实践价值。衍生式数控系统设计思想是在普通数控切削系统的基础上衍生一个高速直线伺服电机单元，用于驱动刀具，并与原系统协调工作。本书主要对非圆车削数控系统的构成原理，衍生式数控系统结构的控制机理及特性进行了研究，基于数控车床系统状态机模型实现了系统的同步控制。对实时嵌入式软件的设计方法进行了研究，提出了时间触发分层有限状态机实时嵌入式软件设计模式，建立了衍生控制器软件的分层状态机模型，基于有限状态机开发了驱动程序、子功能模块和同步控制模块，完成了衍生控制器的软件开发。本书通过对非圆切削衍生系统数据驱动控制方法的分析、设计、仿真及实验研究，展示了基于数据驱动的多种控制方法对给定轨迹的高精度快速跟踪性能，证明数据驱动控制方法的实际应用价值，为读者提供了非圆切削数控系统的创新设计思想、设计方法和控制方法。本书主要内容包括非圆切削衍生式系统的设计及研究、刀具伺服系统的音圈直线电机的设计及控制算法的应用研究、非圆切削衍生式系统的数据驱动控制理论与方法研究、衍生式数控系统的实验研究等。目前，关于非圆切削系统的设计及控制方法方面的较高水平的学术论文均有发表例如清华大学王先逵、吴丹团队，数据驱动控制方法理论研究及应用的论文及专著也有出版例如侯忠生，金尚泰，科学出版社，2013； 曹荣敏，国防工业出版社，2012，但就非圆切削衍生系统设计及数据驱动控制方法研究的专著目前尚未见，通过该专著的出版将数据驱动控制方法在非圆切削方面的应用进行系统的讲解，以供该领域研究的学者系统学习和应用。本书是在北京市自然科学基金项目编号： 4142017数据驱动控制方法及其在直线电机精密运动控制中的应用和国家重大科技专项项目号： 2011ZX04002132CK9555大功率船用柴油机活塞加工用变椭圆车床的支持下完成的，是基于上述项目研究的成果； 根据北京信息科技大学曹荣敏教授、南阳理工学院机械与汽车工程学院郑冬博士及中国农业大学周惠兴教授3位作者及其合作团队多年来在非圆切削和数据驱动方面的研究内容以及这些领域的最新发展趋势进行选题。值得特别提出的是，在项目研究期间本书作者之一郑冬博士在安阳机床厂设备现场调试过程中付出了艰辛的劳动。特别感谢北京交通大学侯忠生教授和金尚泰副教授，没有他们在理论方面的热心指导和帮助，作者是不可能完成此书的； 非常感谢新加坡国立大学K.K.Tan教授和清华大学王先逵教授给予的关键性建议； 感谢安阳机床厂对研究工作和现场调试工作给予的大力支持和合作，感谢北京信息科技大学4位硕士研究生赵云杰、代军委、齐京升和高彬彬同学在本书科研工作、整理和录入等方面付出的辛勤劳动，感谢中国农业大学刘天宇博士和王磊硕士对本书的支持和贡献。另外，还要感谢中国农业大学精密工程研究中心研究团队的全体合作者们给予作者各方面的大力协助；同时感谢清华大学出版社对本书出版给予的大力支持。由于作者理论水平和实践经验有限，书中难免有不妥和不完善之处，恳请广大读者提出宝贵意见。著者2016年9月
第5章数据驱动非圆切削刀具进给伺服系统控制方法研究5.1无模型自适应预测控制研究5.1.1概述
预测控制是20世纪70年代后期从工业实践中发展起来的，是目前除PID控制之外在实际系统控制中应用最广的控制方法，也是目前为止国内外控制理论界经久不衰的研究问题之一。无论线性系统还是非线性系统，预测控制，其基本原理都是一样的，即基于模型的预测、在线滚动优化和反馈校正。具体地说，预测控制的基本思想是利用模型预测被控对象在预测时域内的输出，根据滚动优化原理，通过最小化滑动窗口内的指标函数计算得到一个控制输入序列，并将该序列的第一个控制输入信号用于被控对象，最后应用误差信息反馈矫正以实现系统跟踪期望的输出轨迹。代表性的预测控制方法有： 基于脉冲响应的模型预测启发控制model predictive heuristic control,MPHC、基于阶跃响应模型的动态矩阵控制 dynamic matrix control，DMC和基于系统参数模型的广义预测控制generalized predictive control,GPC。目前，预测控制方法在很多领域取得了成功的应用，如石油、化工、电力、交通等。虽然预测控制方法具有控制效果好和鲁棒性强等优点，但仍要求受控系统模型或其结构已知，模型精确度也直接影响控制效果。现有的关于预测控制的理论研究多是针对线性系统提出的，对于非线性系统预测控制方法的研究还有很多的工作需要进一步深入［167］。对未知非线性系统，研究综合利用预测控制和无模型自适应控制model free adaptive control,MFAC各自优点的无模型自适应预测控制model free adaptive predictive control,MFAPC，也就是说，研究尽量用闭环系统IO数据的非线性系统的预测控制方法，实现对某些无法获取较精确数学模型的系统的控制，无论是理论上还是实际应用中都具有重大意义。本章将针对一类未知的离散时间SISO非线性系统，利用3种动态线性化方法，给出相应的仅利用受控系统输入输出数据，计算负担小的MFAPC方案，主要介绍离散时间SISO非线性系统的无模型自适应预测控制方法。5.1.2基于紧格式动态线性化的无模型自适应预测控制方法1. 控制系统设计
离散时间单输入单输出（SISO）非线性系统可表示为
yk 1
=fyk,yk-1,,yk-ny,uk,uk-1,,uk-nu51
式中，ukR，ykR，分别表示k时刻系统的输入和输出； nu,ny是未知的正整数； f： Rnu ny 2|R是未知的非线性函数。由于系统式51）中的非线性函数f未知，无法直接预测系统的输出序列。但是系统式51）在一定的假设条件下可转化为如下等价的紧格式动态线性化（compact form dynamic linearization,CFDL）数据类型：
yk 1=ckuk
其中,ckR为系统的伪偏导数。根据上述增量形式数据模型可得如下形式的一步向前输出预测方程：
yk 1=yk ckuk52
基于式52），进一步给出N步向前预测方程如下：
yk 1=yk ckuk，
yk 2=yk 1 ck 1uk 1
=yk ckuk ck 1uk 1
yk N=yk N-1 ck N-1uk N-1
=yk N-2 ck N-2uk N-2
ck N-1uk N-1
=yk ckuk ck N-1uk N-153）
令
UNk=［uk,uk 1,,uk N-1］T
YNk 1=［yk 1,yk 2,,yk N］T
Ek=［1,1,,1］T
Ak=ck00000ckck 100ckck Nu-10ckck 1ck Nu-1ck N-1NN
式中，YNk 1为系统输出的N步向前预报向量； UNk为控制输入增量向量。式53可简写为
YNk 1=Ekyk AkUNk54）
当uk j-1=0,jNu时预测方程式54）变成
YNk 1=Ekyk A1kUNk55）
式中,Nu是控制时域常数，
A1k=ck000ckck 100ckck 1ck Nu-1ckck 1ck Nu-1NNu,
UNuk 1=［uk,uk 1,,uk Nu-1］T。
1） 控制算法考虑控制输入准则函数如下：
J=Ni=1yk i-y*k i2 Nu-1j=0u2k j56）
式中，0是权重因子； y*k i是系统在k i时刻的期望输出，i=1,2,,N。令Y*Nk 1=y*k 1,y*k 2,,y*k NT，性能指标56）变为
J=［Y*Nk 1-YNk 1］T［Y*Nk 1-YNk 1］
UTNukUNuk57）
根据式55）和式57），运用优化条件JUNuk=0可得控制律为
UNuk=［AT1kA1k I］-1AT1k［Y*Nk 1-Ekyk］58）
当前时刻的控制输入为
uk=uk-1 gTUNuk59）
式中,g=［1,0,,0］T。下面分析Nu=1和Nu=2两种情形下的控制输入。第一种情形，当Nu=1时：
A1k=ckckckN1，UNuk=Uk=Uk-Uk-1
由式58）可得
UNuk=ck,ck,,ckckckck -1
ck,ck,,cky*k 1-yky*k 1-yk
=N2ck -1ckNi=1y*k 1-yk
=12ck N1NckNi=1y*k i-yk
式59）变为
uk=uk-1 12ck N1NckNi=1y*k i-yk510）
第二种情形，当Nu=2时：
A1k=ck0ckck 1ckck 1N2，UNuk=ukuk 1
UNuk
=ck,ck,,ck0,ck 1,,ck 12Nck0ckck 1ckck 1N2 00-1
ck,ck,,ck0,ck 1,,ck 12Ny*k 1-yky*k 2-yky*k N-ykN1
=N2ckN-1ckck 1N-1ckck 1N-12ck 1 00-1
ck,ck,,ck0,ck 1,,ck 12Ny*k 1-yky*k 2-yky*k N-yk
=1［N2ck ］［N-12ck 1 ］-［N-1ckck 1］2
N-12ck 1 -N-1ckck 1-N-1ckck 1N2ck
ck,ck,,ck0,ck 1,,ck 12Ny*k 1-yky*k 2-yky*k N-yk
=1［N2ck ］［N-12ck 1 ］-［N-1ckck 1］2
［N-12ck 1 N］ckNi=1y*k 1-yk
N-1ck 1Ni=1y*k 1-yk
是一个重要的参数，它的适当选取可以保证被控系统的稳定性，并能获得较好的输出性能。与无模型自适应控制算法相比，无模型预测控制算法对权重的选取更加不敏感，它相当于将无模型自适应控制算法中的放大N倍，使之在一种粗调方式下进行。另外，由于式510）是无模型自适应控制算法的一种平均形式，因此受控系统会具有更加平稳的过渡过程。2） 伪偏导数估计算法和预报算法式58）中A1k包含未知的伪偏导数ck,ck 1,,ck Nu-1，需要考虑它们的估计算法和预报算法。理论上，所有时变参数估计算法均可用于ck估计，本章采用改进的投影算法估计ck，其表示为
^ck=^ck-1 uk-1 uk-12［yk-^ck-1uk-1］511
式中，0是权重因子，00，u0,0,1,0,1。式516使伪偏导数估计算法式515具有更强的对时变参数的跟踪能力，式518保证了预测值A^kk有界，式520保证了预测参数的符号不变。该控制方案有Nu个在线调整的参数，它仅用受控系统的IO数据设计，而与受控系统的模型和阶数无关，这一点与传统的预测控制有本质的不同。另外，控制时域Nu的选取需满足NuN。在简单系统中，Nu可取为1； 在复杂系统中，为了获得满意的过渡过程和跟踪性能，Nu应适当取大一些，但同时计算量会增大。为了能够包含受控系统的动态特性，预测步长N应该选取得足够大。在时滞系统中，N至少应该大于受控系统的时滞步数。在实际应用中，对于时滞未知的系统，N一般选为4~10。是一个非常重要的参数，它的选取可改变闭环系统的动态，理论上越大，系统响应越慢，超调越小，响应越平稳； 反之亦然。预测阶数np一般选为2~7［169,170］，本章取np=3。2. 仿真研究下面将通过仿真实例验证CFDLMFAPC方案式515）~式522）的正确性和有效性，同时验证该算法相对于PID控制算法的优越性。基于直线电机的快速刀具进给机构是非圆切削系统加工非圆活塞最常用的驱动机构。直线电机伺服控制系统中，设置输入量为电压信号，输出量为直线电机的位置信号［166,171］。经过第4章非圆切削刀具进给直线伺服系统辨识，得到的直线电机及其驱动器的传递函数为式（48）。经z变换为
Gz=0.0018z2-0.0036z-0.0025z3-2.286z 1.6246z-0.385
系统的差分方程可写为如下形式：
yk 3=2.2386yk 2-1.6246yk 1 0.385yk 0.0018uk 2-0.0036uk 1-0.0025uk523
系统式523）是一个SISO离散时间系统，给定该直线电机伺服系统是为了得到系统的输入输出数据，利用这些数据可以得到CFDLMFAPC方案的仿真结果。在实际的控制过程中，并不需要知道该系统的模型。系统的期望位置信号为正弦曲线，给定输入期望轨迹的幅值为1，频率为1Hz［166］，采样周期为0.001s，使电机实现刀具往复运动。PID调整到最好时，Kp=-10，Ki=0.1，Kd=0，仿真结果如图5.1和图5.2所示。
图5.1PID位置跟踪性能
图5.2PID位置误差性能
由仿真结果可知，系统的跟踪误差在电机往复运动的两端达到最大，约为0.023，跟踪效果较好，无明显的滞后。无模型自适应预测控制的参数设置为=10-5，=1，=1，=1，M=10，预测步长N=10，=45，仿真结果如图5.3和图5.4所示。
图5.3CFDLMFAPC位置跟踪性能
图5.4CFDLMFAPC位置误差性能
由仿真结果可知，系统的跟踪误差在电机往复运动的两端达到最大，约为0.0165，跟踪效果也较好，无滞后。通过仿真研究，将无模型自适应预测控制应用到直线电机伺服系统的位置控制中，控制过程只用到了系统的输入电压和输出位置数据，所设计的控制器是无模型的，与电机的结构无关，系统的稳定性和输出性能可以通过的适当选取调节。PID控制虽然能够控制稳定，但是误差相对较大，而且调节参数相对复杂，系统的控制性能对参数的变化非常敏感。在无模型自适应预测控制中，权重的调节很方便，而且系统的控制性能对参数的变化非常不敏感，即无模型自适应预测控制的鲁棒性更好。5.1.3基于偏格式动态线性化的无模型自适应预测控制1. 控制系统设计
离散时间SISO非线性系统式51在一定的假设条件下，可以转化成如下的等价偏格式动态线性化（partial form dynamic linearization,PFDL）数据模型：
yk 1=Tp,LkULk
基于上述等价增量形式数据模型，可以给出如下形式的一步向前输出预测方程：
yk 1=yk Tp,LkULk524）
其中，Tp,Lk=［1k,1k 1,,Lk］T,ULk=［uk,uk 1,,uk-L 1］T。令
A=01010LL,B=10
0L1
则式524）可改写为
yk 1=yk Tp,LkULk=yk Tp,LkAULk-1 Tp,LkBuk525）
类似地，可以给出向前N步预测方程
yk 2=yk 1 Tp,Lk 1ULk 1
=yk Tp,LkAULk-1 Tp,LkBuk
Tp,Lk 1A2ULk-1
Tp,Lk 1ABuk Tp,Lk 1Buk 1
yk Nu=yk Nu-1i=0Tp,Lk iAi 1ULk-1
Nu-1i=0Tp,Lk iAiBuk
Nu-1i=1Tp,Lk iAi-1Buk 1
Nu-1i=2Tp,Lk iAi-2Buk 2
Tp,Lk Nu-1Buk Nu-1
yk N=yk Nu-1i=0Tp,Lk iAi 1ULk-1
N-1i=0Tp,Lk iAiBuk
N-1i=1Tp,Lk iAi-1Buk 1
N-1i=2Tp,Lk iAi-2Buk 2
N-1i=Nu-1Tp,Lk iAi-Nu 1Buk Nu-1526）
定义Y～Nk 1=［yk 1,,yk N］T，E=［1,1,,1］T，
~k
=Tp,LkB
1i=0Tpk iAiBTp,Lk 1B
Nu-1i=0Tpk iAiBNu-1i=1Tp,Lk iAi-1BTp,Lk Nu-1B
N-1i=0Tp,Lk iAiBN-1i=1Tp,Lk iAi-1BN-1i=Nu-1Tp,Lk NuAi-Nu 1BNNu
-k=TpkA
1i=0Tpk iAi
Nu-1i=0Tpk iAi 1
N-1i=0Tpk iAi 1NL
UNuk=［uk,uk 1,,uk Nu-1］T
预测方程可以简写为如下形式的矩阵表述形式：
Y～Nk 1=Eyk ~kU～Nuk -kULk-1527）
1） 控制算法本节仍基于控制输入准则函数式57设计预测控制方案。令Y～*Nk 1=［y*k 1,,y*k N］T，将式527代入式 57，对U～Lk求导，并令其等于0，得
U～Nuk=~Tk~k I-1~TkY～*Nk 1
-Eyk--kULk-1528）
因此，当前时刻的控制输入为
uk=uk-1 gTU～Nuk529）
其中，g=［1,0,,0］T。在控制算法式528中的~k和-k包含未知元素p,Lk i,i=0,1,2,,N-1，下面将给出其估计算法和预测算法。2） 伪梯度向量的估计算法和预报算法由PFDL模型式524可知
yk 1=UTLkp,Lk530
一般来说，任何的时变参数估计算法均可以用于估计，本节以带有时变遗忘因子的最小二乘算法为例给出其估计算法
^p,Lk=^p,Lk-1 P1k-2ULk-1k-1 UTLk-1P1k-2ULk-1
［yk-UTLk-1^p,Lk-1］
P1k-1=1k-1P1k-2
-P1k-2ULk-1UTLk-1P1k-2k-1 UTLk-1P1k-2ULk-1
k=0k-1 1-0531
其中，^p,Lk是p,Lk的估计值，P1-10,0=0.95,0=0.99。只有当过程总是充分激励时，参数估计算法式531才能给出正确的参数估计。然而对于自适应控制来说，由于激励一般只来自于设定点的变化，一段时间内如果没有其他的激励，上述参数估计算法可能忘记参数的真正的值，一旦外界不确定性被激励出来，估计器的缠绕windup就有可能引起过程输出的喷发burst。因此，可采取对Pk-1的重置措施，即当tracePk-1大于或等于某一常数M时，重设Pk-1=P-1，此种措施与常迹算法起着类似的作用［172］。同样的措施也可用在下面算法式534中。算法式531只能给出p,Lk的估计值^p,Lk，但在算法式529中的~k和-k还包含^p,Lk 1,,^p,Lk Nu-1。因此为了实现控制算法式529，还必须利用某种预报算法，基于在k时刻已知的^p,L1,^p,L2，,^p,Lk，预报的估计值。预报算法采用与5.1.2节中相同的多层递阶预报算法，利用p,L1，p,L2，，p,Lk已得到的估计值^p,L1，^p,L2，，^p,Lk预报。建立^p,L1,^p,L2,,^p,Lk估计序列的AR模型：
^p,Lk=T1k^p,Lk-1 T2k^p,Lk-2
Tnpk^p,Lk-np532）
其中，Tik,i=1,2,,np是时变参数矩阵，np是适当的阶数。
^Tp,Lk=^Tk-1k533）
其中，
k=k-1 P2k-2^k-1k-1 ^Tk-1P2k-2^k-1
［^p,Lk-^Tk-1k-1］
P2k-1=1k-1P2k-2
-P2k-2^k-1^Tk-1P2k-2k-1 ^Tk-1P2k-2^k-1
k=0k-1 1-0534）
P2-10;0=0.95;0=0.99
根据式532，可以给出如下预报算法
^p,Lk i=T1k^p,Lk i-1 T2k^p,Lk i-2
Tnpk^p,Lk i-np,i=1,2,,N-1535）
3） 控制方案综合控制算法式528~式529、参数估计算法式531和参数预报算法式533~式535，PFDLMFAPC方案如下
^p,Lk=^p,Lk-1 P1k-2ULk-1k-1 UTLk-1P1k-2ULk-1
［yk-UTLk-1^p,Lk-1］
P1k-1=1k-1P1k-2
-P1k-2ULk-1UTLk-1P1k-2k-1 UTLk-1P1k-2ULk-1
k=0k-1 1-0536）
k=k-1 P2k-2^k-1k-1 ^Tk-1P2k-2^k-1
［^p,Lk-^Tk-1k-1］
P2k-1=1k-1P2k-2-P2k-2^k-1^Tk-1P2k-2k-1 ^Tk-1P2k-2^k-1
k=0k-1 1-0537）
^p,Lk i=T1k^p,Lk i-1 T2k^p,Lk i-2
Tnpk^p,Lk i-np,i=1,2,,N-1538）
U～Nuk=~Tk~k I-1~TkY～*Nk 1
-Eyk--kULk-1539）
uk=uk-1 gTU～Nuk540）
其中，P1-10； 0=0.95； 0=0.99； P2-10； 0=0.95； 0=0.99； 0。2. 仿真研究通过仿真实例验证PFDLMFAPC方案的正确性和有效性，同时验证其相对于PID控制算法和PFDLMFAPC方案的优越性，本节仍采用5.1.2节中的直线电机伺服系统式523）。无模型自适应预测控制的参数设置为L=5，Nu=5，N=10，=500，0=0.95，0=0.99，M=104，
^p,L1=0,0,0,0,0T，^p,L2=0,0,0,0,0T，^p,L3=-0.5,0,0,0,0T，k所有元素的初始值均被设为0,1间的随机数，初始方差设为P1-1=10I和P2-1=100I，仿真结果如图5.5和图5.6所示。
图5.5PFDLMFAPC位置跟踪性能
图5.6PFDLMFAPC位置误差性能
由仿真结果可知，系统的跟踪误差在电机往复运动的两端达到最大，约为0.01，在跟踪效果和误差两个方面都比PID算法和CFDLMFAPC方案更好。5.1.4基于全格式动态线性化的无模型自适应预测控制1. 控制系统设计
离散时间SISO非线性系统式523在一定的假设条件下，可以转化成如下的等价的全格式线性化（full form dynamic linearization,FFDL）数据模型
yk 1=Tf,Ly LukHLy,Luk
基于上述的等价的增量形式数据模型，可以给出如下形式的一步向前输出预测方程
yk 1=yk Tf,Ly LukHLy,Luk541）
其中，HLy,Luk=［yk,,yk-Ly 1,uk,,yk-Lu 1］T； 伪梯度pseudo gradient,PGTf,Ly Luk=［1k,2k,,Lyk,Ly 1k,,Ly Luk］T； 整数Ly,Lu0Lyny,1Lunu称为伪阶数。由于系统式541是时变的，因此PGTf,Ly,Luk在预测视野内保持不变的假设很难成立，故无法应用Diophantine方程技术。下面应用与前两节相似的方法来进行预测。令
A=01010LuLu,B=100Lu1,
C=01010LyLy,D=100Ly1
YLyk=［yk,,yk-Ly 1］TRLy,
ULuk=［uk,,uk-Lu 1］TRLu，
fyk=［1k,,Lyk］T,fuk=［Ly 1k,,Ly Luk］T
式541）可改写为
yk 1=TfykYLyk TfukAULuk-1 TfukBuk542）
类似地，N步向前预测方程可以写为
yk 2=Tfyk 1YLyk 1 Tfuk 1AULuk
Tfuk 1Buk 1
=Tfyk 1CYLyk Tfyk 1Dyk 1
Tfuk 1A2ULuk-1
Tfuk 1ABuk Tfuk 1Buk 1
yk 3=Tfyk 2YLyk 2 Tfuk 2AULuk 1
Tfuk 2Buk 2
=Tfyk 2C2YLyk Tfyk 2CDyk 1
Tfyk 2Dyk 2
Tfuk 2A3ULuk-1 Tfuk 2A2Buk
Tfuk 2ABuk 1
Tfuk 2Buk 2
yk N=Tfyk N-1CN-1YLyk Tfuk N-1ANULuk-1
Tfyk N-1CN-2Dyk 1 Tfyk N-1
Dyk N-1 Tfuk N-1AN-1Buk Tfuk N-1
AN-2Buk 1 Tfuk N-1AN-NuBuk Nu-1543）
令Y～Nk 1=Y～Nk 1-Y～Nk,Y～Nk 1=［yk 1,,yk N］T，E=［1,1,,1］T，
U～Nuk=［uk,,uk Nu-1］T,
1k=TfykTfyk N-1CN-1NLy,2k=TfukATfuk N-1ANNLu,
3k=
00
Tfyk 1D00
Tfyk 2CDTfyk 2D00
Tfyk N-1CN-2DTfyk N-1CN-3DTfyk N-1D0NN，
4k=TfukB
Tfuk 1ABTfuk 1B
Tfuk Nu-1ANu-1BTfuk Nu-1B
Tfuk N-1AN-1BTfuk 1AN-NuBNNu，
则预测方程可以简写为
YNk 1=1kYLyk 2kULuk-1
3kY～Nk 1 4kU～Nuk544）
即
Y～Nk 1=Y～Nk I-3k-11kYLyk
2kULuk-1 4kU～Nuk545）
本节仍然基于控制输人准则函数式57来设计预测控制方案。将式545代入式57，对U～Nuk求导，并令其等于0，得
U～Nuk=［I-3k-14kTI-3k-14k I］-1
I-3k-14kT{Y～*Nk 1-Y～Nk
-I-3k-11kYLyk 2kULuk-1}546）
因此，当前时刻的控制输入为
uk=uk-1 gTU～Nuk547）
其中，g=［1,0,,0］T。1k,2k,3k和4k中的PGfyk和fuk，即f,Ly,Luk，可以由投影算法式548）估计得到
^f,Ly,Luk=^f,Ly,Luk-1 HLy,Luk-1‖HLy,Luk-1‖2
yk-^f,Ly,Luk-1HLy,Luk-1548）
其中，^f,Ly,Luk是f,Ly,Luk的估计值； 0,0,1］。此外，1k,2k,3k和4k中的PGfyk i和fuk i，即f,Ly,Luk i,i=1,,N-1未知，仍采用多层递阶预测方法进行预测。定义k=［1k,2k,,npk］T，^k-1=［^Tf,Ly,Luk-1,^Tf,Ly,Luk-2,,^Tf,Ly,Luk-np］T。建立如下估计值序列的AR模型：
^f,Ly,Luk=k^k549）
根据式549），^f,Ly,Luk i,i=1,2,,N-1的预测算法如下：
^f,Ly,Luk i=1k^Tf,Ly,Luk i-1 2k^Tf,Ly,Luk i-2
npk^Tf,Ly,Luk i-np550）
其中，未知矩阵k=［1k,2k,,npk］T可以由如下带有遗忘因子的最小二乘算法确定：
k=k-1 P2k-2^k-1k-1 ^Tk-1P2k-2^k-1
［^p,Lk-^Tk-1k-1］,
Pk-1=1k-1P2k-2-P2k-2^k-1^Tk-1P2k-2k-1 ^Tk-1P2k-2^k-1，
k=0k-1 1-0551
其中，P1-10;0=0.95;0=0.99。综合控制算法式546、式547、参数估计算法式548和参数预测算法式550、式551，可得基于全格式线性化的无模型自适应预测控制（FFDLMFAPC）方案如下
^f,Ly,Luk=^f,Ly,Luk-1 HLy,Luk-1‖HLy,Luk-1‖2
yk-^f,Ly,Luk-1HLy,Luk-1552
^f,Ly,Luk=^f,Ly,Lu1，如果|^Ly 1k|或sign^Ly 1ksign^Ly 11553
k=k-1 P2k-2^k-1k-1 ^Tk-1P2k-2^k-1
［^p,Lk-^Tk-1k-1］
Pk-1=1k-1P2k-2-P2k-2^k-1^Tk-1P2k-2k-1 ^Tk-1P2k-2^k-1
k=0k-1 1-0554
^f,Ly,Luk i=1k^Tf,Ly,Luk i-1 2k^Tf,Ly,Luk i-2
npk^Tf,Ly,Luk i-np,i=1,2,,N-1555
^f,Ly,Luk j=^f,Ly,Lu1，如果|^Ly 1k|
或sign^Ly 1ksign^Ly 11,j=1,2,,N-1556
U～Nuk=［I-3k-14kTI-3k-14k I］-1
I-3k-14kT{Y～*Nk 1-Y～Nk
-I-3k-11kYLyk 2kULuk-1）}557
uk=uk-1 gTU～Nuk558
其中，是正常数； P1-10； 0=0.95; 0=0.99; 0; 0; 0,1］。控制方案中的其他参数选取与5.1.2节类似，此处略。当受控系统是线性ARIMA模型
Aq-1yk=Bq-1uk-1559
且模型结构已知时，取Ly=ny,Lu=nu，不用预报算法因为此时的向量已经时不变，上述算法就变成标准的GPC算法。2. 仿真研究通过仿真实例验证FFDLMFAPC方案的正确性和有效性，同时验证其相对于PID控制算法、CFDLMFAPC和PFDLMFAPC方案的优越性，本节仍采用5.1.2节中的直线电机伺服系统式523）。无模型自适应预测控制的参数设置为Ly=1，Lu=1，L=5，Nu=1，N=5，=135，PG的初始值设为Tf,Ly,Lu1=1,-2T，的初始值被设为0,1间的随机数，仿真结果如图5.7和图5.8所示。
图5.7FFDLMFAPC位置跟踪性能
图5.8FFDLMFAPC位置误差性能
由仿真结果可知，系统的跟踪误差在电机往复运动的两端达到最大，约为0.0096。可以看出，采用基于全格式线性化的无模型自适应预测控制（FFDLMFAPC）方案，系统的上升时间减小，由于模型参数变化引起的毛刺也受到抑制，在跟踪效果和误差两个方面，都比PID算法、基于紧格式线性化的无模型自适应预测控制（CFDLMFAPC）和基于偏格式线性化的无模型自适应预测控制（PFDLMFAPC）方案更好，预测使得系统得到更好的控制效果。5.2无模型迭代学习控制方法研究5.2.1无模型迭代学习研究进展
工程实际中，很多系统都是在有限时间区间上重复执行相同的控制任务，如执行焊接、喷涂、装配、搬运等重复任务的工业机器人，半导体晶片生产过程，工业过程中的批处理过程，均热炉温度控制等。当控制任务重复时，系统也会表现出相同的行为。事实上，这种重复性可以被用于改善控制系统的控制品质。然而，时间域上的控制方法，如PID方法、自适应控制、最优控制、预测控制等，不具有从过去重复操作中学习的能力，因此对有限时间区间上重复运行的系统，不管运行多少次，其控制误差也是重复的，没有任何改进。相反，针对重复过程的迭代学习控制iterative learning control,ILC方法在构造当前控制算法时，可利用记忆装置存储的过去重复过程的控制输入和跟踪误差信息设计和修正当前的控制输入，目的是提高系统当前循环过程的误差精度［162］。日本学者Uchiyama于1978年最先提出了迭代学习控制方法,使得迭代学习逐渐成为研究热点。自1984年，Arimoto等针对机器人系统重复运行的特点，模拟人类学习技能的过程，提出迭代学习控制的概念以来，ILC一直是控制理论与控制工程界研究的热点领域之一。文献［30］，［173］，［174］详细综述了最新的ILC研究和应用的进展，专著［175］，［176］则更全面、系统地介绍了ILC的近期研究成果。随着ILC理论的不断发展和完善，近几年，先进的控制技术越来越多地与迭代学习律相结合，由此产生了各种新的算法、如最优迭代学习律、反馈前馈学习律、自适应学习律、鲁棒学习律、基于2D理论的迭代学习律等。ILC方法在实际控制工程中也得到了广泛的应用。迭代学习控制的实质是解决一类跟踪问题，这类跟踪问题的任务是寻找合适的控制输入ut，使得控制输出yt能完全跟踪期望信号ydt。对于可重复的被控对象而言，迭代学习控制能够充分利用之前运行过程中的控制输入输出数据与跟踪误差数据，并将这些数据信息运用到本次运行过程中去，从而使得系统的跟踪性能不断提高。无模型自适应迭代学习控制model free adaptive iterative learning control,MFAILC的设计和分析方法是结合无模型自适应控制model free adaptive control,MFAC与ILC各自的特点，利用其中本质的相似关系的一类新的基于最优性能指标的设计和分析方法。该方法可适用于一大类重复运行的未知非线性非仿射系统的控制问题，且能够保证系统输出误差沿迭代轴的单调收敛。该方法是一种数据驱动的无模型控制方法，其基本思想如下： 首先，沿迭代轴方向引入伪偏导数pseudo partial derivative,PPD的概念，给出迭代域的基于输入输出增量形式的紧格式动态线性化compact form dynamic linearization,CFDL数据模型； 然后，基于动态线性化数据模型，给出相应的MFAILC的设计方法。理论分析和仿真研究均表明，在初始条件沿迭代轴随机变化的情况下，MFAILC仍可以保证受控系统输出沿迭代轴的单调收敛。该类方法很容易推广到MIMO情况，以下仅就SISO非线性系统出相应的结果［167］。5.2.2基于紧格式动态线性化的无模型自适应迭代学习控制算法1. 迭代域的紧格式动态线性化方法
有限时间区间上重复运行的离散时间单输入单输出非线性系统可表示如下：
yk 1,i=f［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i,
uk-1,i,,uk-nu,i］560）
其中，yk,i与uk,i分别表示第i次迭代第k个采样时刻的控制输出与输入； ny与nu是两个未知正整数，f是未知非线性标量函数。非线性系统的迭代域紧格式动态线性化是在以下两个假设条件下完成的。假设1： f关于第ny 2个变量的偏导数是连续的。假设2： 非线性沿迭代轴方向满足广义Lipschitz条件：yk 1,ibuk,i
其中，yk 1,i=yk 1,i-yk 1,i-1;uk,i=uk,i-uk,i-1;b0是一个常数。对于满足假设1和假设2的非线性系统，当uk,i0时，一定存在一个被称为伪偏导数pseudo partial derivative,PPD的迭代相关的时变参数ck,i，使得系统式560可转化为如下形式的迭代轴上的CFDL数据模型，且ck,i有界。yk 1,i=ck,iuk,i证明：
yk 1,i=yk 1,i-yk 1,i-1=fyk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,
uk,i,uk-1,i,,uk-nu,i-fyk,i-1,yk-1,i-1,,yk-ny,i-1,
uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-nu,i-1=fyk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i,
uk-1,i,,uk-nu,i-fyk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i-1,
uk-1,i,,uk-nu,i fyk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i-1,
uk-1,i,,uk-nu,i-fyk,i-1,yk-1,i-1,,yk-ny,i-1,
uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-nu,i-1561
令
k,i=fyk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i-1,
uk-1,i,,uk-nu,i
-fyk,i-1,yk-1,i-1,,yk-ny,i-1,
uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-nu,i-1
由微分中值定理，式561可写为
yk 1,i=f*uk,iuk,i-uk,i-1 k,i562）
其中，f*uk,i表示f对于第ny 2个变量的偏导数在yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i,uk-1,i,,uk-nu,iT
和yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i-1,uk-1,i,,uk-nu,iT
两点之间某一点处的值。对每次迭代i的每个固定时刻k，考虑如下以k,i为变量的方程：
k,i=k,iuk,i563）
由于uk,i0，式563一定存在唯一解*k,i［162］。令ck,i=f*uk,i *k,i式562可重写为yk 1,i=ck,iuk,i2. 迭代学习控制算法给定期望轨迹，控制目标是寻找合适的控制输入uk,i，使得跟踪误差ek 1,i=ydk 1-yk 1,i在迭代次数i趋于无穷时收敛为零。ydk 1表示k 1时刻的期望输出，yk 1,i表示第i次迭代k 1时刻的实际输出。考虑控制输入准则函数如下［167］：Juk,i=ek 1,i2 uk,i-uk,i-12
其中，0是权重因子，用来限制不同迭代次数之间的控制输入量的变化。根据优化条件Juk,i=0,可得［162］
uk,i=uk,i-1 ck,i ck,i2ek 1,i-1564
其中,0,1是步长因子,它的加入是为了使算法式564更具一般性。3. 参数的迭代更新算法因为ck,i未知,控制算法式564不能直接应用，为此设计如下参数估计准则函数［167］：
Jck,i=yk 1,i-1-ck,iuk,i-12
ck,i-^ck,i-12
其中，0是一个权重因子。^ck,i是ck,i的估计值。根据优化条件J^ck,i=0，可得参数的迭代更新算法如下［162］：
^ck,i=^ck,i-1 uk,i-1 uk,i-12yk 1,i-1
-^ck,i-1uk,i-1565
其中，0,1是步长因子，它的加入可使算法式565更具一般性； ^ck,i是ck,i的估计值。4. 仿真研究紧格式迭代学习控制算法的控制目标是在第i次迭代的第k时刻，寻找合适的控制电压输入uk,i，使得随着迭代次数i的增加，直线电机位移误差的绝对值逐渐收敛为0。根据式564）控制算法，电压输入uk,i的紧格式迭代算法可写为另外一种形式如下：
uk,i=uk,i-1 ck,i ck,i2［ydk 1-yk 1,i-1］566
其中，0是权重因子，用来限制不同迭代次数之间的控制输入量的变化； 0,1是步长因子，它的加入是使算法更具一般性； ck,i是第i次迭代，第k个采样时刻的伪偏导数。本节仍采用5.1.2节中的直线电机伺服系统差分表达式523）。设置紧格式迭代算法的参数如下： =1,=1,=1,=1。直线电机期望跟踪位置曲线为幅值1mm,频率2.5Hz的正弦曲线，设置采样周期为1ms。图5.9~图5.12分别给出迭代30,40,50,60,70,80,90,100次的仿真图。从图5.9~图5.12中可以看到使用紧格式迭代学习控制算法，随着迭代次数的增加，非圆切削进给刀具的位置稳态误差逐渐减小，当迭代次数达到100次时，其稳态误差约为30m。
图5.9紧格式迭代30次与迭代40次仿真
图5.10紧格式迭代50次与迭代60次仿真
图5.11紧格式迭代70次与迭代80次仿真
图5.12紧格式迭代90次与迭代100次仿真
5.2.3基于偏格式动态线性化的无模型自适应迭代学习控制算法1. 迭代域的偏格式动态线性化方法
有限时间区间上，重复运行的离散时间单输入单输出非线性系统可表示如下：
yk 1,i=f［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i,
uk-1,i,,uk-nu,i］567
其中，yk,i与uk,i分别表示第i次迭代第k个采样时刻的控制输出与输入； ny与nu是两个未知正整数。定义ULk,i为第i次迭代，在一个滑动时间窗口［k-L 1,k］内，所有控制输入信号组成的向量。整数L为控制输入线性化长度常数。ULk,i=［uk,i,uk-1,i，,uk-L 1,i］T非线性系统的迭代域偏格式动态线性化是在以下两个假设条件下完成的。假设1： 式1中f关于第ny 2个变量到第ny L 1个变量分别存在连续偏导数。假设2： 非线性系统式（567）沿迭代轴方向，满足广义Lipschitz条件，即
yk 1,ib‖ULk,i‖
其中，yk 1,i=yk 1,i-yk 1,i-1;ULk,i=ULk,i-ULk,i-1；b0是常数。对于满足假设1和假设2的非线性系统式（567），给定L，当‖ULk,i‖0时，一定存在一个伪梯度pseudo gradient,PG时变参数向量Lk,i，使得系统式（567）可转化为如下形式的迭代域偏格式动态线性化数据模型，其中Lk,i有界。
yk 1,i=TLk,iULk,i568）
其中，
Lk,i=［1k,i,2k,i,,Lk,i］T
ULk,i=［uk,i,uk-1,i,，uk-L 1,i］T
证明：
yk 1,i=yk 1,i-yk 1,i-1=f［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i,
uk-1,i,,uk-nu,i］-f［yk,i-1,yk-1,i-1,,yk-ny,i-1,
uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-nu,i-1］=f［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i,
uk-1,i,,uk-nu,i］-f［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i-1,
uk-1,i,,uk-nu,i］ f［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i-1,
uk-1,i,,uk-nu,i］-f［yk,i-1,yk-1,i-1,,yk-ny,i-1,
uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-nu,i-1］
由微分中值定理有
yk 1,i=f*uk,iuk,i f［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i-1,
uk-1,i,,uk-nu,i］-f［yk,i-1,yk-1,i-1,,yk-ny,i-1,
uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-nu,i-1］=f*uk,iuk,i f［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i-1,uk-1,i,uk-2,i,,uk-nu,i］-f［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i-1,
uk-1,i-1,uk-2,i,,uk-nu,i］ f［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i-1,uk-1,i-1,uk-2,i,,uk-nu,i］-f［yk,i-1,yk-1,i-1,,yk-ny,i-1,uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-nu,i-1］=f*uk,iuk,i f*uk-1,iuk-1,i f［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i-1,uk-1,i-1,uk-2,i,,uk-nu,i］-f［yk,i-1,yk-1,i-1,,yk-ny,i-1,uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-nu,i-1］
其中，uk,i=uk,i-uk,i-1;uk-1,i=uk-1,i-uk-1,i-1
f*uk,i表示f关于第ny 2 个变量的偏导数在［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i,uk-1,i,,uk-nu,i］T
和［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i-1,uk-1,i,,uk-nu,i］T
之间某一点处的值。f*uk-1,i表示f关于第ny 3 个变量的偏导数在［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i-1,uk-1,i,,uk-nu,i］T
和
［yk,i,,yk-ny,i,uk,i-1,uk-1,i-1,
uk-2,i,,uk-nu,i］T
之间某一处的值。同理，有
yk 1,i=f*uk,iuk,i f*uk-1,iuk-1,i
f*uk-L 1,iuk-L 1,i f［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i-1,
uk-1,i-1,,uk-L 1,i-1,uk-L,i,uk-L-1,i,,uk-nu,i］-f［yk,i-1,yk-1,i-1，,yk-ny,i-1,uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-L 1,i-1,uk-L,i-1,uk-L-1,i-1,,uk-nu,i-1］569）
令
k,i=f［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-L 1,i-1,uk-L,i,uk-L-1,i,,uk-nu,i］-f［yk,i-1,yk-1,i-1,,yk-ny,i-1,uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-L 1,i-1,uk-L,i-1,uk-L-1,i-1,,uk-nu,i-1］
对每一个k,i，考虑以k,i为变量的方程
k,i=Tk,iuk,i570）
由于‖uk,i‖0,式（570）至少有一个解*k,i。令k,i=*k,i f*uk,i,f*uk-1,i,,f*uk-L 1,iT式568）可写为如下形式：
yk 1,i=TLk,iULk,i571
2. 偏格式迭代学习控制算法设计给定期望输出轨迹ydk，控制目标是寻找合适的控制输入uk,i，使得期望输出轨迹与实际输出轨迹之间的跟踪误差ek 1,i=ydk 1-yk 1,i随着迭代次数的增加而减小。控制输入准则函数选为［177］
Juk,i=ek 1,i2 uk,i-uk,i-12572）
对uk,i求导，并令其等于零可得［173］
uk,i=uk,i-1 1k,i 1k,i21ek 1,i-1
-Lj=2jjk,iuk-j 1,i573
其中，步长因子j0,1］,j=1,2,,L是为了使得控制算法具有更大的灵活性。3. 时变参数Lk,i的估计值算法设计PG向量的估计值准则函数选为［177］
JLk,i=yk 1,i-1-TLk,iULk,i-12
‖Lk,i-^Lk,i-1‖2574）
其中，^Lk,i-1表示Lk,i-1的估计值。对式（574）关于Lk,i求极值，并利用矩阵求逆引理，可得PG向量的估计值算法为
^Lk,i=^Lk,i-1 ULk,i-1yk 1,i-1-^TLk,i-1ULk,i-1 ‖ULk,i-1‖2575）
加入步长因子0,2］是为了使算法设计具有更大的灵活性，^Lk,i是Lk,i的估计值。4. 仿真研究偏格式迭代学习控制算法的控制目标是在第i次迭代的第k时刻，寻找合适的控制电压输入uk,i，使得随着迭代次数i的增加，直线电机位移误差的绝对值逐渐收敛为0。根据上述的电压输入uk,i的偏格式迭代算法式573）和PG向量的估计值算法式575），本节仍采用5.1.2节中的直线电机伺服系统差分表达式523）。设置偏格式迭代算法的参数如下： =1,=1,=1,=1。设置控制输入线性化长度常数L=5。直线电机期望跟踪位置曲线为幅值1mm,频率2.5Hz的正弦曲线，设置采样周期为1ms。图5.13~图5.16分别给出迭代30,40,50,60,70,80,90,100次的仿真示意图。
图5.13偏格式迭代30次与迭代40次仿真
图5.14偏格式迭代50次与迭代60次仿真
图5.15偏格式迭代70次与迭代80次仿真
图5.16偏格式迭代90次与迭代100次仿真
从图5.13~图5.16中可以看到，非圆切削进给刀具使用偏格式迭代控制算法，其刀具位置稳态误差随着迭代次数的增加而逐渐减小。并且相比紧格式迭代学习控制算法，偏格式迭代学习控制算法的稳态误差更小。当迭代100次时，系统的稳态误差可以达到10m左右，优于紧格式迭代学习控制方案。从另一个角度看，紧格式迭代学习控制算法的本质是考虑了系统在下一个时刻的输出变化量与当前时刻的输入变化量之间的动态关系； 偏格式迭代学习控制的本质是考虑了系统在下一个时刻的输出变化量，与当前时刻的固定长度滑动时间窗口内的所有输入变化量之间的动态关系。5.2.4基于全格式动态线性化的无模型自适应迭代学习控制算法1. 迭代域的全格式动态线性化方法
有限时间区间上，重复运行的离散时间单输入单输出非线性系统可表示为
yk 1,i=f［yk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,
uk,i,uk-1,i,,uk-nu,i］576）
其中，yk,i与uk,i分别表示第i次迭代第k个采样时刻的控制输出与输入； ny与nu是两个未知正整数。定义HLy,Luk,i为第i次迭代，在一个输入相关的滑动时间窗口［k-Lu 1,k］内所有控制输入信号,与输出相关的滑动时间窗口［k-Ly 1,k］内所有控制输出信号组成的向量。整数Lu为控制输入线性化长度常数，整数Ly为控制输出线性化长度常数。即HLy,Luk,i=［yk,i,,yk-Ly 1,i,uk,i,,uk-Lu 1,i］T非线性系统的迭代域全格式线性化是在以下两个假设条件下完成的。假设1： f关于各个变量存在连续偏导数。假设2： 非线性系统式576沿迭代轴方向，满足广义Lipschitz条件，即yk 1,ib‖HLy,Luk,i‖
其中，yk 1,i=yk 1,i-yk 1,i-1；HLy,Luk,i=HLy,Luk,i-HLy,Luk,i-1； b0。对于满足假设1和假设2的非线性系统式576，给定Ly与Lu，当‖HLy,Luk,i‖0时，一定存在一个伪梯度pseudo gradient,PG迭代相关的时变参数向量Ly,Luk,i使得系统式（576）可转化为如下形式的迭代域全格式动态线性化数据模型：
yk 1,i=TLy,Luk,iHLy,Luk,i577
其中,Ly,Luk,i为有界。
Ly,Luk,i=［1k,i,,Lyk,i,Ly 1k,i,,Ly Luk,i］T
HLy,Luk,i=［yk,i,,yk-Ly 1,i,
uk,i,，uk-Lu 1,i］T
证明：
yk 1,i
=yk 1,i-yk 1,i-1=fyk,i,yk-1,i,,yk-ny,i,uk,i,uk-1,i,,uk-nu,i-fyk,i-1,yk-1,i-1,,yk-ny,i-1,uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-nu,i-1=fyk,i,yk-1,i,,yk-Ly 1,i,yk-Ly,i,,yk-ny,i,uk,i,uk-1,i,,uk-Lu 1,i,uk-Lu,i,,uk-ny,i-fyk,i-1,yk-1,i-1,,yk-Ly 1,i-1,yk-Ly,i,,yk-ny,i,uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-Lu 1,i-1,uk-Lu,i,,uk-ny,i fyk,i-1,yk-1,i-1,,yk-Ly 1,i-1,yk-Ly,i,,yk-ny,i,uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-Lu 1,i-1,uk-Lu,i,,uk-ny,i-fyk,i-1,yk-1,i-1,,yk-Ly 1,i-1,yk-Ly,i-1,,yk-ny,i-1,uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-Lu 1,i-1,uk-Lu,i-1,,uk-ny,i-1
令
k,i
=fyk,i-1,yk-1,i-1,,yk-Ly 1,i-1,yk-Ly,i,,yk-ny,i,uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-Lu 1,i-1,uk-Lu,i,,uk-ny,i-fyk,i-1,yk-1,i-1,,yk-Ly 1,i-1,yk-Ly,i-1,,yk-ny,i-1,uk,i-1,uk-1,i-1,,uk-Lu 1,i-1,uk-Lu,i-1,,uk-ny,i-1
利用假设2与Cauchy微分中值定理，yk 1,i可写成如下形式：
yk 1,i=f*yk,iyk,i-yk,i-1 f*yk-Ly 1,iyk-Ly 1,i-yk-Ly 1,i-1 f*uk,iuk,i-uk,i-1 f*uk-Lu 1,iuk-Lu 1,i-uk-Lu 1,i-1 k,i=f*yk,iyk,i f*yk-Ly 1,iyk-Ly 1,i f*uk,iuk,i f*uk-Lu 1,iuk-Lu 1,i k,i578
其中，f*yk-m,i,0mLy-1与f*uk-j,i0jLu-1分别表示f关于第m 1个变量的偏导数和第ny 2 j个变量的偏导数在
［yk,i,yk-1,i,,yk-Ly 1,i,yk-Ly,i,,
yk-ny,i,uk,i,uk-1,i,,uk-Lu 1,i,
uk-Lu,i,,uk-ny,i］T
和
［yk,i-1,yk-1,i-1,,yk-Ly 1,i-1,
yk-Ly,i,,yk-ny,i,uk,i-1,uk-1,i-1,,
uk-Lu 1,i-1,uk-Lu,i,,uk-ny,i］T
之间某一点处的值。对每次迭代i的每个固定时刻k,考虑如下以k,i为变量的方程
k,i=Tk,i［yk,i,，yk-Ly 1,i,
uk,i,,uk-Lu 1,i］T
=Tk,iHLy,Luk,i
由于‖HLy,Luk,i‖0，故该方程至少有一个解*k。令
Ly,Luk,i=*k,i f*yk,i,,f*yk-Ly 1,i,,f*uk,i,,f*uk-Lu 1,iT
则yk 1,i可写为如下模型：
yk 1,i=TLy,Luk,iHLy,Luk,i579
同时，Ly,Luk,i也可写为如下形式：
Ly,Luk,i=［1k,i,,Lyk,i,Ly 1k,i,,Ly Luk,i］T580
HLy,Luk,i可写为如下形式：
HLy,Luk,i=［yk,i,,yk-Ly 1,i,uk,i,,
uk-Lu 1,i］T581
由假设2有
yk 1,i=TLy,Luk,iHLy,Luk,ib‖HLy,Luk,i‖582
由此可以看出，如果式579中Ly,Luk,i的分量是无界的，那么不等式581无法成立，因此，Ly,Luk,i是有界的。2. 迭代学习控制算法设计给定期望轨迹ydk，控制目标是寻找合适的控制输入uk,i，使得跟踪误差在迭代次数i趋于无穷时收敛为零。定义跟踪误差如下：
ek 1,i=ydk 1-yk 1,i583
控制输入准则函数［162］选为Juk,i=ek 1,i2 uk,i-uk,i-12对uk,i求导，并令其等于零可得全格式动态线性化的迭代学习控制算法：
uk,i=uk,i-1 Ly 1k,i Ly 1k,i2Ly 1ek 1,i-1
-Lyj=1jjk,iyk-j 1,i
-Ly Luj=Ly 2jjk,iuk Ly-j 1,i584
其中，步长因子j0,1］,j=1,2,,Ly Lu，是为了使得控制算法具有更大的灵活性。3. PG向量估计值算法设计PG向量的估计值准则函数为［172］
JLy,Luk,i=yk 1,i-1-TLy,Luk,iHLy,Luk,i-12
‖Ly,Luk,i-^Ly,Luk,i-1‖2585）
对式584关于Ly,Luk,i求极值，并利用矩阵求逆引理，可得PG向量的估计值算法为
^Ly,Luk,i=^Ly,Luk,i-1 HLy,Luk,i-1 ‖HLy,Luk,i-1‖2
［yk 1,i-1-^TLy,Luk,i-1HLy,Luk,i-1］586
加入步长因子0,2］是为了使算法设计具有更大的灵活性，^Ly,Luk,i是Ly,Luk,i的估计值。基于全格式线性化迭代学习算法仿真这里不再赘述，读者可根据算法公式，结合紧格式和偏格式线性化迭代学习算法仿真自行编程实现。5.3迭代学习与无模型预测组合控制研究5.3.1基于紧格式线性化的无模型预测控制算法研究
本节仍采用5.1.2节中的直线电机伺服系统差分表达式523）。由紧格式动态线性化的无模型自适应预测控制算法，可以给出以电压信号u为输入，以直线电机位置信号y为输出的N步向前预测方程
yk 1=yk ckukyk 2=yk 1 ck 1uk 1=yk ckuk ck 1uk 1yk N=yk N-1 ck N-1uk N-1=yk N-2 ck N-2uk N-2
ck N-1uk N-1=yk ckuk ck N-1uk N-1587）
其中，uk=uk-uk-1,yk=yk-yk-1，uk为k时刻电压信号输入，yk为k时刻直线电机位置信号输出。令
YNk 1=yk 1,,yk NT
UNk 1=uk,,uk N-1T
Ek=1,1,,1T
Ak=ck00000ckck 100ckck Nu-10ckck 1ck Nu-1ck Nu-1NN
其中，YNk 1是系统输出的N步向前预报向量； uk是控制输入增量向量。式588可以简写为
YNk 1=Ekyk AkUNk588）
如果uk j-1=0,jNu，则式（588）变为YNk 1=Ekyk A1kUNk，
其中，Nu是控制时域常数；
A1k=ck000ckck 100ckck 1ck Nu-1ckck 1ck Nu-1NNu
UNuk 1=uk,,uk Nu-1T
根据文献［162］，紧格式无模型自适应预测控制算法如下：UNuk=［AT1kA1k I］-1AT1k［Y*Nk 1-Ekyk］当前时刻的控制输入为uk=uk-1 gTUNuk伪偏导数估计算法为
^ck=^ck-1 uk-1 uk-12yk-^ck-1uk-1589
伪偏导数预报算法为
^ck j=1k^ck j-1 2k^ck j-2-1 npk^ck j-np590
定义k=［1k,,npk］T，它可由下式确定：
k=k-1 ^k-1 ‖^k-1‖2［^ck-^Tk-1k-1］591
选取参数如下： =1,=1,N=10,Nu=1,=45。设置采样周期为1ms，可以得到非圆切削进给刀具的紧格式预测仿真结果。如图5.17和图5.18所示，分别为紧格式预测控制算法的跟踪曲线与位置误差曲线，由图5.18可以看到，系统的最大位置误差约为0.12mm。系统稳定后其稳态误差约为0.02mm。
图5.17紧格式预测控制算法的跟踪曲线
图5.18紧格式预测控制算法的跟踪位置误差
5.3.2基于紧格式线性化的迭代学习与无模型预测控制组合算法研究为了使得无模型预测控制算法具备自我学习能力，不断修复非圆切削刀具进给机构的位置误差，将无模型自适应迭代学习控制算法与无模型自适应预测控制算法相组合。在预测迭代组合控制算法中，首先使用紧格式预测控制算法得到如图5.17和图5.18所示的曲线，然后将图5.17和图5.18中得到的4000个采样时刻的输入输出信号，作为无模型自适应迭代学习控制算法第一次迭代的输入输出信号，从第二次迭代开始，使用无模型自适应迭代学习控制算法，不断修复直线电机的位置误差，使得非圆切削进给机构具备自我学习能力。在本节中，采用紧格式迭代学习控制算法对预测控制进行改进。紧格式迭代学习控制算法的控制目标是在第i次迭代的第k时刻，寻找合适的控制电压输入uk,i，使得随着迭代次数i的增加，直线电机位置误差的绝对值逐渐收敛为0。根据文献［162］，电压输入uk,i的紧格式迭代算法可写为如下形式：
uk,i=uk,i-1 ck,i ck,i2［ydk 1-yk 1,i-1］592
其中，0是权重因子，用来限制不同迭代次数之间的控制输入量的变化； 0,1是步长因子，它的加入是使算法更具一般性； ck,i是第i次迭代，第k个采样时刻的伪偏导数。因为ck,i未知,根据5.2节，可得伪偏导数的迭代更新算法如下：
^ck,i=^ck,i-1 uk,i-1 uk,i-12yk 1,i-1
-^ck,i-1uk,i-1593
其中，0,1是步长因子，它的加入可使算法更具一般性； ^ck,i是ck,i的估计值。设置紧格式迭代算法的参数如下： =1,=1,=1,=1。直线电机期望位置曲线为幅值1mm,频率2.5Hz的正弦曲线，设置采样周期为1ms。图5.19给出采用紧格式预测迭代组合控制算法迭代100次后的跟踪性能曲线，图5.20给出图5.19相对应的位置误差曲线图。从图5.19~图5.22中可以看到采用组合算法迭代100次后，非圆切削刀具的最大位置误差约为0.03mm，稳态误差趋近于0。从仿真图中可以看出，图5.20相比于图5.18有了很大的改善，极大程度上提高了非圆切削刀具的位置精度。图5.21给出预测迭代组合控制算法最大误差随迭代次数增加的曲线，从图5.21可以看到随着迭代次数的增加，每次迭代的最大误差不断地减小。并逐渐收敛至0.03mm。图5.22为控制输入量电压信号的变化曲线。
图5.19预测迭代组合控制算法迭代100次后的位置跟踪性能
图5.20预测迭代组合控制算法迭代100次后的位置误差
图5.21预测迭代组合控制算法最大学习误差
图5.22控制输入量： 电压信号
5.4迭代学习与PID复合控制方法研究借鉴文献［33］的方法，采用复合迭代控制方法对直线伺服系统进行控制，使前馈和反馈优势互补。反馈控制器采用PID方法实现，用于稳定系统，前馈控制器采用迭代学习（ILC）控制方法，用于实现给定轨迹的高精度跟踪任务。图5.23是PID和迭代学习组合模块化的复合迭代控制方法结构图，图中任务执行是在有限的时间区间T上进行重复迭代的。在第k次迭代时，对于给定的期望输出轨迹ydt和控制输入ukt，跟踪误差为ekt，系统的控制输入ukt是前馈输入ufkt和反馈输入ubkt的叠加。前馈输入ufkt在前一次控制信号ufk-1t和跟踪误差ek-1t的基础上被校正。采用本书第4章辨识出的直线电机模型，利用MATLAB进行仿真，对PID控制、迭代学习（ILC）控制和复合迭代学习控制（PID ILC）三种方法的控制效果进行比较。迭代学习控制中采用P型迭代控制学习律。采样频率为1000Hz［166］。
图5.23复合迭代学习控制方案图
输入正弦期望轨迹的频率为5Hz，幅值为1cm，PID参数调整到最好，kp=80，ki=10，kd=0.18。可得到如图5.24所示的仿真效果。PID控制方法的输出有明显的滞后，图5.25是PID的位置跟踪误差，从图中看出最大位置误差约为800m，输出误差较大。如图5.26为单独采用迭代学习控制（ILC）时的位置跟踪特性，可以看出随着迭代次数的增加，位置输出跟踪误差逐渐减小，当迭代35次后位置输出得到较PID控制更好的跟踪效果如图5.26d）所示，最大位置误差约为400m，优于PID控制（最大误差为800m），如果再继续增加迭代次数，误差变化不明显。因为单独使用迭代学习控制时迭代跟踪误差较大，所以收敛到期望给定值的速度较慢。
图5.24非圆切削刀具进给系统的PID位置跟踪性能
图5.25非圆切削刀具进给系统的PID位置误差性能
图5.27为采用复合迭代学习控制（ILC PID）时的位置跟踪特性，可以看出首次迭代位置误差明显减小，所以收敛速度加快，如图5.27a所示； 图5.27b显示了每次迭代跟踪误差最大值，可以看出，当迭代35次后位置输出得到很好的跟踪效果如图5.27c所示; 图5.27d为迭代35次后的跟踪误差特性，最大误差约为350m，控制效果优于PID控制和单独使用迭代学习控制时的效果。由仿真结果可知复合迭代学习控制收敛速度快，而且误差没有振动。
图5.26非圆切削刀具进给系统的ILC位置跟踪性能
图5.26续
图5.27非圆切削刀具进给系统的复合迭代学习控制响应性能
图5.27续
当加入幅值为0.05的高斯白噪声后，迭代35次后的位置误差特性如图5.28所示，与无干扰时相比，误差幅值变化不大。可以看出复合迭代学习控制方法具有较好的抗干扰能力。
图5.28非圆切削刀具进给系统的复合迭代学习有干扰时控制响应性能
5.5数据驱动非圆切削刀具进给系统控制方法应用研究5.5.1无模型自适应控制方法应用研究1. 控制方案
基于紧格式动态线性化的无模型自适应控制（CFDLMFAC）方案如下［166］：
^ck=^ck-1 uk-1 uk-12［yk-^ck-1uk-1］594）
^ck=^c1，
如果|^ck|或uk-1 或 sign^cksign^c1595）
uk=uk-1 ck 2ck［y*k 1-yk］596）
其中，0； u0； 0,1； 0,1； 为充分小的正数； ^c1为^ck的初始值。2. 控制方案的实现由于切削的活塞零件为变椭圆形状，因此刀具进给的轨迹应该是前后往复运动，类似于正弦运动，所以在实验中采用正弦轨迹作为刀具运行期望的输入信号［166］。此处，采样周期设为1ms，正弦的频率为1Hz，CFDLMFAC方案的Simulink程序如图5.29所示。
图5.29CFDLMFAC方案的Simulink程序
当幅值设为0.5mm时，控制参数调节到最好，=0.1，=0.1，=0.8，=1，1=0.5，系统的位置跟踪特性及误差如图5.30所示。当幅值设为1mm时，控制参数调节到最好，=0.1，=0.1，=0.8，=1，1=0.5，系统的位置跟踪特性及误差如图5.31所示。从图5.30和图5.31可知，系统的跟踪效果不好，跟踪误差也很大，不能达到要求。因此采用改进的无模型自适应控制方案，将控制输入式596改为
uk=uk-1 ck 2ck［kay y*k 1-yk］597
改进方案的Simulink程序如图5.32所示。当幅值设为0.5mm时，控制参数调节到最好，=0.1，ka=0.1，=0.1，=0.8，=1，1=0.5，系统的位置跟踪特性及误差如图5.33所示。
图5.30幅值0.5mm时，CFDLMFAC方案系统的位置跟踪特性及误差
图5.31幅值1mm时，CFDLMFAC方案系统的位置跟踪特性及误差
图5.32改进CFDLMFAC方案的Simulink程序
图5.33幅值0.5mm时，改进的CFDLMFAC方案系统的位置跟踪特性及误差
由控制效果图可知，系统的跟踪误差在电机往复运动的两端达到最大，约为16m。当幅值设为1mm时，控制参数调节到最好，=0.1，=0.1，=0.8，=1，1=0.5，系统的位置跟踪特性及误差如图5.34所示。
图5.34幅值1mm时，改进的CFDLMFAC方案系统的位置跟踪特性及误差
由控制效果图可知，系统的跟踪误差在电机往复运动的两端达到最大，约为30m。由此可见，给定值不同，在调试MFAC参数的情况下，会得到不同的控制效果。5.5.2PID控制方法应用研究PID算法是最早发展，而且非常成熟的控制策略，由于其控制算法简单、可靠性好，因此，PID成为工业生产中最常用的一种控制方式。刀具运行期望的输入信号仍采用5.5.1节同样的正弦信号，采样周期设为1ms，正弦的频率为1Hz，PID的Simulink程序如图5.35所示。
图5.35PID控制算法Simulink程序
当幅值设为0.5mm时，PID控制参数调节到最好，kp=1.4，ki=0.7，kd=0，系统的位置跟踪特性及误差如图5.36所示。
图5.36PID控制方案系统的位置跟踪特性及误差
由控制效果图可知，系统的跟踪误差在电机往复运动的两端达到最大，约为20m。当幅值设为1mm时，PID控制参数调节到最好，kp=0.00001，ki=0.0015，kd=0，系统的位置跟踪特性及误差如图5.37所示。
图5.37PID控制方案系统的位置跟踪特性及误差
由控制结果可知，系统的跟踪误差在电机往复运动的两端达到最大，约为15m。5.5.3无模型自适应预测控制应用研究基于紧格式的无模型自适应预测控制（CFDLMFAPC）方案，见式（515）~式（522）。刀具运行期望的输入信号仍采用5.5.1节同样的正弦信号，采样周期设为1ms，正弦的频率为1Hz，CFDLMFAPC方案的Simulink程序如图5.38所示。
图5.38CFDLMFAPC方案的Simulink程序
当幅值设为0.5mm时，控制参数调节到最好，=5，=0.005，=1，=1，1=0.5，系统的位置跟踪特性及误差如图5.39所示。
图5.39CFDLMFAPC方案系统的位置跟踪特性及误差
当幅值设为1mm时，控制参数调节到最好，=15，=0.005，=1，=1，1=0.5，系统的位置跟踪特性及误差如图5.40所示。
图5.40CFDLMFAPC方案系统的位置跟踪特性及误差
5.5.4改进重复控制与PI复合控制方法应用研究在非圆活塞切削的过程中，机床的主轴做匀速运动，音圈电机的运动近似为一个周期固定的正弦振动，其振动周期是主轴转动周期的一半。在活塞加工中的干扰信号主要包括导轨的摩擦力和工件的切削阻力，由于这些干扰因素都和音圈电机的运动状态有关，所以它们也是周期信号，而且这些干扰信号的周期与音圈电机的振动周期相同。由于在加工开始之前，机床主轴的转动速度已知，所以对音圈电机伺服控制系统来说，它的参考信号和干扰信号都是周期信号，而且信号的周期是已知的，这种情况下就可以采用重复控制的策略来提高音圈电机的跟踪精度。重复控制的理论是一种控制系统设计理论，其目的是设计一种控制器使系统在跟踪任意周期性的参考信号时的稳态误差为零。重复控制理论在周期性或重复性信号的跟踪控制系统设计中得到广泛的应用，如直线运动控制［178］、线性振动台控制［179,180］、硬盘驱动［181］等，获得了良好的跟踪性能和鲁棒性。根据内模原理，一个稳定的反馈系统要实现对某一外部信号的稳态无误差跟踪或抑制的充要条件是闭环系统内部包含该信号的发生器。因此重复控制为了达到对任意周期信号无误差跟踪的目的，在闭环系统内部设置了一个可以产生任意周期信号的内部模型，从而实现对外部周期参考信号的渐近跟踪［182］。周期为L的任意信号都可以使用带有正反馈的延时时间为L的延时环节来产生，它可以作为一个周期函数发生器。这个周期函数发生器在重复控制中称为重复补偿器，把重复补偿器设置到闭环控制中就构成了重复控制系统。在实际应用中，重复控制系统存在很多缺陷，一方面它对被控对象的特性非常敏感，也就是说基本重复控制系统的稳定性条件非常严格； 另一方面由于在系统的前向通道中存在延时环节，第一个周期的控制信号输出为0。为了克服基本重复控制器的上述缺点，实际中经常使用改进重复控制器［183］。在延时环节之前增加一个低通滤波器，采用了低通滤波器之后，可以使系统的稳定条件变得松弛，即重复控制系统更容易实现，这也是采用改进型重复控制系统的最大原因所在。但是延时环节在添加了低通滤波器之后就在一定程度上违反了内模原理，这就相当于通过降低系统对参考信号中的高频成分的跟踪性能来保证系统的稳定性。根据文献［171］第五章中重复控制器的脉冲传递函数可得到重复控制器的差分方程为
4yk-yk-N 1-2yk-N-yk-N-1=krxk-N 3 2xk-N 2 xk-N 1598
由式598可得重复控制器的输出信号为
yk=14{krxk-N 3 2xk-N 2 xk-N 1 yk-N 1 2yk-N yk-N-1}599
根据式599建立重复控制器的Simulink仿真模型如图5.41所示。
图5.41重复控制器的Simulink仿真模型
如图5.41所示重复控制器以Simulink子系统（Subsystem）的形式封装起来，这个子系统的输入端口有两个，其中Err用来输入系统的偏差信号，kr用来输入重复控制器增益的值，端口Out是重复控制器子系统的输出端口。模块中有两个延时环节，即图5.41中的Delay N3和Delay N1，当系统的输入参考信号的周期为N时，它们分别实现对信号的N-3周期延时和N-1周期的延时； 由式（599）可知，这两个模块对于构成重复控制器是必需的，系统输入参考信号的周期N作为子系统的一个参数，可以在子系统的参数对话框中设置，如图5.42所示。
图5.42重复控制器子系统的参数对话框
使用上述重复控制器子系统，同时根据文献［171］第五章中构建稳定滤波器，可以得到如图5.43重复控制实验仿真模型。为了防止重复控制器在第一个控制周期内没有输入出信号，在系统中加入了单位前馈环节，这样在第一个控制周期内当重复控制器模块输出为零时，系统的参考信号直接作用于控制对象来使其产生输出信号。输入端口kr可以用来在程序中规定重复控制器增益的值，在实验中可根据实际情况进行设置。Gf实现的稳定滤波器，来保证系统的稳定性，稳定滤波器的系数b使用输入端口b来实现，这样可以在实验中方便地调节它的取值。模型中的eQEP模块和SFunction Builder模块用来实现对DSP的QEP模块和DAC单元的控制，从而得到系统的反馈信号和产生控制电压输出。
图5.43重复控制实验仿真模型
利用RealTime Workshop把图5.43所示的实验模型自动转换为C语言程序，经编译连接后生成DSP程序在衍生控制器上运行，并使用实验数据接收程序接收实验数据，得到如图5.44所示的实验结果，图中虚线表示系统的位置命令，实线表示电机的实际位移，点划线表示系统的跟踪误差。图5.44（a）所示为重复控制程序刚刚开始运行的情况，从图中可以看到，在重复控制的起始阶段，系统产生了较大的误差，但随着重复控制器的作用，跟踪误差迅速衰减，在系统运行若干周期后，跟踪误差收敛到较小的数值，这样系统就进入了图5.44（b）所示的稳定状态。在稳定状态下，由于跟踪误差很小，系统的位置命令曲线和电机的实际位移曲线几乎重合。稳态下系统跟踪误差波形如图5.45所示。可以看出，在使用改进离散重复控制器对音圈电机进行控制时，在稳态情况下，系统出现了较大的跟踪误差，其数值为6.6m，大于前述的复合前馈PID控制的跟踪误差数值，这个结果表明采用改进离散重复控制算法的效果较差。
图5.44音圈电机重复控制实验结果
图5.45音圈电机重复控制的稳态跟踪误差
为了分析跟踪误差产生的原因，对图5.45所示的误差信号波形进行自相关分析，得到跟踪误差的自相关函数图形图5.46如所示。
图5.46音圈电机重复控制稳态误差的自相关函数
从图中可以看到，跟踪误差的自相关函数在时间偏移为0时达到最大值，而在时间偏移不为0时，自相关函数迅速衰减为很小的值，这些特征基本与随机信号的自相关函数特征复合，也就是说，在音圈电机的改进离散重复过程中，系统在稳定状态下的误差主要来源于随机干扰，这与在复合前馈PID控制中跟踪误差表现出周期性特征是不同的。通过上述分析可以得到以下结论： 改进离散重复控制对系统中的周期性干扰具有较强的抑制作用，但对系统的随机误差抑制能力较弱，其原因是当系统产生跟踪误差后，由于重复控制器的延时作用，这个误差信号要在经过一个参考信号周期后才能对控制输出产生影响，所以重复控制器对系统的跟踪误差不能立即做出反应，因此对随机干扰抑制能力较弱，这是造成其跟踪误差较大的主要原因。根据以上分析，为了提高离散重复控制的跟踪精度，必须采取措施对系统的随机误差进行抑制，所以本文提出在改进离散重复控制的基础上在系统中加入PI控制器的方法。由于PI控制器能够对系统的偏差信号进行立即反应，这样就可以在稳态时减小系统的随机误差，从而减小跟踪误差。添加PI控制器后的实验仿真模型如图5.47所示。
图5.47改进重复控制与PI复合控制实验仿真模型
如图5.47所示，在文献［171］第五章重复控制器中添加PI控制器与重复控制器并联。图中的输入端口kp用来调节比例控制的系数，而ki为积分控制的系数，采用Simulink的离散时间积分器（DiscreteTime Integrator）模块实现了对偏差信号的积分。重复控制器的输出与PI控制器的输出叠加后由DAC控制模块以电压的形式输出到音圈电机控制器作为音圈电机的速度命令信号。这样在系统达到稳定状态后，重复控制器产生周期性的输出信号使音圈电机产生跟踪运动，而PI控制器则根据系统的随机误差及时调整输出信号来抑制随机干扰。将上述实验仿真模型在DSP上进行运行实验后，得到的系统稳态跟踪误差的波形如图5.48所示。
图5.48改进重复控制与PI复合控制实验的稳态跟踪误差
根据图5.48所示，结合PI控制后，改进离散重复控制的跟踪误差为2.4m。通过以上几种方法的应用控制可知，改进的无模型自适应控制方法和PID控制方法得到较好的控制效果，而无模型预测控制方法跟踪特性不佳，由于输出信号存在较大的延迟，所以导致误差较大，需进一步研究改进。而改进重复控制与PI复合控制方法不仅优于重复控制，而且明显优于上面的几种控制方法，是最实用且效果最好的方法，在第6章中我们将采用改进重复控制与PI复合控制方法进行。
5.6本章小结本章针对非圆切削中刀具进给直线伺服系统中非线性切削力的存在，就直线电机伺服系统的控制方法进行了仿真及应用研究。预测控制是实际工业过程控制中仅次于PID技术的常用方法，它的理论和应用研究对实际工业过程控制具有重要的意义。众多周知，线性时不变系统的预测控制的理论和方法已经比较成熟，而非线性系统的预测控制还有许多的工作需要深入研究。无模型自适应预测控制MFAPC是一种数据驱动的非线性系统自适应预测控制方法，其控制系统设计不需要受控系统的物理机理模型，仅用闭环系统的IO数据来设计。因此，同已有的基于模型的自适应预测控制方法相比，它具有更强的鲁棒性和更广泛的可应用性。相对于无模型自适应控制（MFAC）来说，由于未来输出和输入信息的引入，使得该种控制方案具有更好的控制效果，本章基于非圆切削刀具进给伺服系统对紧格式、偏格式和全格式无模型自适应预测方法进行了仿真研究，验证算法的优越性。基于MFAC与ILC方法在控制器结构、收敛性分析等方面本质上的相似性，与基于压缩映射的ILC方法可以保证迭代误差沿迭代轴的渐近收敛性相比，MFAILC方案可以保证迭代误差沿迭代轴的单调收敛性； 与基于优化的模最优ILC方法需要精确线性系统的机理模型相比，MFAILC方案的设计和分析无需利用被控对象的机理模型。此外，在初始状态值沿迭代轴变化时，MFAILC仍可理论保障其单调收敛性，本章对基于紧格式动态线性化的无模型自适应迭代学习（CFDLMFAILC）、基于偏格式动态线性化的无模型自适应迭代学习（PFDLMFAILC）以及基于全格式动态线性化的无模型自适应迭代学习（FFDLMFAILC）的方法进行了研究比较，并基于非圆切削刀具进给伺服系统对紧格式和偏格式无模型自适应迭代学习方法进行了仿真研究，验证了MFAILC方法的有效性。基于非圆切削刀具进给伺服系统，对基于紧格式动态线性化的无模型预测迭代组合控制算法以及复合迭代学习算法进行了仿真研究，仿真结果验证了这些组合方法远远优于单一的无模型预测控制算法和无模型迭代学习控制算法。采用紧格式动态线性化预测迭代组合控制算法以及可很大程度上提高非圆切削刀具进给伺服系统中位置跟踪的精度，并使得该系统具备很强的自我学习能力。最后对非圆切削刀具进给伺服系统进行了数据驱动控制方法的应用研究，阐述了各种方法的参数选取，并对各种控制方法的位置跟踪和误差特性进行了分析和比较。
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