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本书论述工程中常见的三类弹性力学问题的求解方法，分别为平面应力或应变、薄板弹性弯曲和弹性薄板自由振动。
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本书提出全新的求解理念，利用三角级数的连续性、可导性、正交性，系统地讨论了弹性力学中薄板弯曲、平面应力或应变、弹性薄板自由振动三类矩形边界问题的求解方法，在求解方式中所考虑的荷载包含了工程中常见的荷载和作用，所涉及的边界类型全面，可用于解决具体的工程应用问题。本书可供力学理论工作者、力学工程人员参考使用，也可用作理工类研究生弹性力学辅助教材。
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| 目錄：
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目录
第1章求解方法概述1.1梁弯曲挠度计算讨论1.1.1弯曲问题分类理念1.1.2梁内荷载级数特解1.1.3梁端外界作用特解1.2梁弯曲挠度计算的启示1.2.1广义静定和广义超静定问题分类1.2.2外界作用格式化1.2.3微分方程解1.3级数正交性及函数的级数展开1.4结语第2章弹性薄板弯曲2.1弹性力学的基本方程2.1.1平衡微分方程2.1.2几何方程2.1.3物理方程2.1.4弹性力学问题解2.2薄板小挠度弯曲平衡微分方程2.2.1薄板弯曲计算假定2.2.2板弯曲平衡微分方程2.3薄板横截面内力和边界条件2.3.1横截面内力与挠度w相关式2.3.2扭矩的等效剪力2.3.3边界条件2.4矩形边界薄板弯曲经典解法2.4.1四边简支板纳维叶解2.4.2莱维解法2.4.3经典叠加法2.5矩形边界薄板弯曲统一解法基本思路2.5.1广义静定弯曲与广义超静定弯曲分类2.5.2外界作用连续化、格式化2.5.3广义静定弯曲求解方法2.5.4广义超静定弯曲求解方法2.6四边支承矩形板2.6.1通解和级数特解2.6.2边界条件对应的线性方程组2.6.3线性方程组系数行列式2.6.4多项式特解2.6.5通用规则2.7三边支承、一边非支承矩形板2.7.1通解和级数特解2.7.2边界条件对应的线性方程组2.7.3多项式特解2.8一对边支承、一对边非支承矩形板2.8.1通解和级数特解2.8.2边界条件对应的线性方程组2.8.3多项式特解2.9二邻边支承、二邻边非支承矩形板2.9.1通解和级数特解2.9.2边界条件对应的线性方程组2.9.3多项式特解2.10一边支承、三边非支承矩形板2.10.1通解和级数特解2.10.2边界条件对应的线性方程组2.10.3求解待定系数2.10.4多项式特解2.11四边非支承矩形板2.11.1通解和级数特解2.11.2边界条件对应的线性方程组2.11.3求解待定系数2.12逆向命题验算2.13结语第3章平面问题3.1平面问题基本方程和边界条件3.1.1两种平面问题3.1.2平面问题平衡方程几何方程物理方程3.1.3变形协调方程3.1.4边界条件3.2平面问题求解理念和方法3.2.1广义静定问题与广义超静定问题分类3.2.2外界作用连续化格式化3.2.3平面问题解的构成及求解特点3.2.4广义静定问题求解方法3.2.5广义超静定问题求解方法3.3角点力作用应力解3.3.1角点力作用下角部微元受力特征3.3.2隔离体平衡法3.3.3FOy作用应力解3.3.4FBy作用应力解3.3.5FAy作用应力解3.3.6FCy作用应力解3.4体力作用应力解3.4.1体力作用格式化3.4.2求解体力作用应力解3.5计算边值条件解3.5.1应力函数解的组成3.5.2应力函数通解3.5.3应力函数特解3.5.4计算边值条件对应的线性方程3.6四边法向自由平面问题3.6.1应力函数3.6.2计算边值条件对应的方程3.6.3通用规则3.7一边法向支承平面问题3.7.1Nx1Ny2类平面问题应力函数3.7.2Nx1Ny2类平面问题计算边值条件对应的方程3.7.3通用规则3.8一对边法向支承平面问题3.8.1Nx4Ny1类平面问题应力函数3.8.2Nx4Ny1类平面问题计算边值条件对应的方程3.9二邻边法向支承平面问题3.9.1Nx2Ny2类平面问题应力函数3.9.2Nx2Ny2类平面问题计算边值条件对应的方程3.10三边法向支承平面问题3.10.1Nx4Ny2类平面问题应力函数3.10.2Nx4Ny2类平面问题计算边值条件对应的方程3.11四边法向支承平面问题3.11.1应力函数3.11.2计算边值条件对应的方程3.12结语第4章弹性薄板自由振动4.1板自由振动微分方程4.2无点支承的矩形板4.2.1基本思路4.2.2振形曲面4.2.3振形曲面的正交性4.2.4降低频率方程行列式阶数4.3非角点支承的矩形板4.3.1边界内设有点支座4.3.2边界上设有点支座4.4角点支承的矩形板4.4.1基本思路4.4.2一边和一角点支承的矩形板4.4.3利用对称性分析一边和二角点支承的矩形板4.4.4二邻边和一角点支承的矩形板4.4.5单角点、多角点支承的四边非支承矩形板4.4.6四角点支承对称分布的四边非支承矩形板4.5结语附录A常见函数的三角级数展开系数A.1函数在0,a区间展开为级数m=1,2,sinmx、m=m〖〗aA.2函数在0,a区间展开为级数m=0,1,cosmx、m=m〖〗aA.3函数在［0,a］区间展开为级数m=1,3,sinmx、m=m〖〗2aA.4函数在［0,a］区间展开为级数m=1,3,cosmx、m=m〖〗2aA.5函数在［0,b］区间展开为级数n=1,2,sinny、n=n〖〗bA.6函数在［0,b］区间展开为级数n=0,1,cosny、n=n〖〗bA.7函数在［0,b］区间展开为级数n=1,3,sinny、n=n〖〗2bA.8函数在［0,b］区间展开为级数n=1,3,cosny、n=n〖〗2b附录Bx轴向角点力作用应力解B.1FOx作用B.2FBx作用B.3FAx作用B.4FCx作用附录C体力Fy作用应力解C.1图C.1a所示Ny1Px1类平面问题C.2图C.1b所示Ny1Px2类平面问题C.3图C.1c所示Ny1Px3类平面问题C.4图C.1d所示Ny1Px4类平面问题C.5图C.1e所示Ny2Px1类平面问题C.6图C.1f所示Ny2Px2类平面问题C.7图C.1g所示Ny2Px3类平面问题C.8图C.1h所示Ny2Px4类平面问题C.9图C.1i所示Ny3Px1类平面问题C.10图C.1j所示Ny3Px2类平面问题C.11图C.1k所示Ny3Px3类平面问题C.12图C.1l所示Ny3Px4类平面问题C.13图C.1m所示Ny4Px1类平面问题C.14图C.1n所示Ny4Px2类平面问题C.15图C.1o所示Ny4Px3类平面问题C.16图C.1p所示Ny4Px4类平面问题附录D试算法确定平面问题特解21、22D.1构造规则D.2构造方法D.3构造特解21x、22xD.4构造特解21y、22y附录E振形曲面正交性推导示例E.1基本方法E.2由三角函数特性和边界挠度剪力条件计算R1E.3由边界弯矩转角条件计算R1E.4由三角函数特性和边界挠度剪力条件计算R2、R3E.5由边界弯矩转角条件计算R2、R3附录F矩形板附加振形推导示例参考文献
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第1章求解方法概述第1章求解方法概述1.1梁弯曲挠度计算讨论[*1]1.1.1弯曲问题分类理念1.1梁弯曲挠度计算讨论图1.1a表示梁的弯曲受力，梁跨度为a，承受荷载qx。设坐标x处挠度为yx，yx、qx正方向见图1.1a所示。忽略剪切变形，梁挠曲平衡微分方程为d4yx〖〗dx4=qx〖〗EI（1.1）图1.1梁的弯曲受力梁内力与挠度微分关系为d2yx〖〗dx2=－Mx〖〗EI，d3yx〖〗dx3=－Vx〖〗EI。EI为梁的弯曲刚度；弯矩Mx、剪力Vx正方向如图1.1b所示。式1.1为四阶微分方程，其解由齐次方程通解y1和非齐次方程特解y2组成，即y=y1 y21.2y1=c1 c2x c3x2 c4x31.3y2=1〖〗EIx0x0x0x0qxdx1.4式1.3中待定常数c1、c2、c3、c4 由求解条件确定。图1.2a为两端简支梁，为静定结构；图1.2b为两端固定梁，为超静定结构；承受均布荷载q，特解y2=qx4〖〗24EI。利用梁端条件都可以确定通解中待定常数值。可见，对式1.1而言，静定与超静定结构分类理念已不再适用。这是因为式1.1综合了平衡方程、几何方程平截面假定和物理方理虎克定律而成，梁端力的条件和位移条件是等效的。不管是简支端、固定端、自由端、滑移端，每个梁端均可以提供两个已知的边界条件，相互独立的边界条件与待定常数数量相等，求解条件是完备的。图1.2梁的弯曲图1.2c为带悬臂端简支梁，为静定结构，承受均布荷载q。计算时，先利用静力平衡条件确定B点支反力RB，并用RB取代点支座链杆支座；计算简图为一端简支、一端自由梁承受q和RB共同作用。这是一个绕A端可进行刚体转动的几何可变体、在一组对A端弯矩平衡力系作用下的弯曲。由初参数法，挠度特解可分AB、BC两个梁段：AB段（0xa1） y2=qx4〖〗24EIBC段（a1xa） y2=qx4〖〗24EI RB〖〗6EIx－a13式中RB=－qa2〖〗2a1（负号表示力的方向与y轴正方向相反）。梁端条件对应的方程为： x=0时, yx=0; 有c1=0x=0时, Mx=0; 有c3=0x=a时, Mx=0; 有 2c3 6c4a qa2〖〗2EI RB〖〗EIa－a1=0x=a时, Vx=0; 有6c4 qa〖〗EI RB〖〗EI=0上述四个方程中均不包含c2；代入RB值后，第3个方程与第4个方程相同。说明梁端条件对应的四个方程中只有三个方程线性无关，由此可解出三个待定系数c1、c3、c4。c1=0,c3=0,c4=qa〖〗12EIa1a-2a1于是有y=c2x qa〖〗12EIa1a-2a1x3 y2式中后两项代表几何可变体在这组平衡力系作用下的相对变形。引入B支座位移条件：x=a1时y=0，相应方程为c2a1 qa〖〗12EIa1a-2a1a31 qa41〖〗24EI=0解出待定常数c2后，梁挠度通解完全确定。由于特解y2不同，AB、BC段有不同的挠度表达式。该算例表明，当梁内不包括梁端存在点支座但其反力可以由静力平衡条件确定时，用支反力取代点支座，利用梁端条件和点支座处位移条件仍可以得到与待定常数数量相等的、相互独立的方程。图1.2d为带悬臂的固端梁，为超静定结构。在均布荷载q作用下，由于B点反力不能利用平衡条件确定，上述计算过程无法复制。可见，当梁内存在点支座且支反力无法确定时是不能利用梁端条件和点支座位移、支反力条件直接求解。这是因为梁弯曲微分方程式1.1综合了梁微元两个平衡条件、平截面假定、虎克定律四个方程，涉及正应力或弯矩、剪力、正应变和截面曲率四个物理量，涉及的物理量和综合的方程数量相等，微分方程有解。求解条件完备时就能利用求解条件直接求解，否则就不能直接求解。求解条件完备的标志是所有外界作用都是清晰、明确的。外界作用有三种形式或途径：①梁内荷载qx作用。②梁端作用。指外界作用于梁端的竖向位移、转角、竖向集中力、弯矩。③梁内点支座产生的约束作用。其中前两种外界作用都是清晰、明确的；约束作用包括点支座产生的位移和支反力，通常位移是明确的，但支反力有两种可能：当支反力可以用静力平衡条件确定时，求解条件是完备的；否则是不完备的。对梁弯曲而言，当梁内无点支座或有点支座但其反力可以由静力平衡条件确定时求解条件完备，为广义静定问题；否则为广义超静定问题。前者可以由梁端条件和梁内点支座反力和位移条件直接求解，后者用叠加法求解。这种分类理念可以消除传统分类方法带来的种种不便与困惑。1.1.2梁内荷载级数特解当荷载qx在整个梁内处处连续、处处可导、为单一的函数表达式时，梁有一个特解。在多数情况下，由于荷载的多样性，不同的梁段有不同的特解形式，并导致不同的挠度、内力表达式，使计算复杂化。如果希望在任意荷载条件下整个梁只有一个特解，须将梁内荷载先进行连续化、格式化处理，再确定相应特解。将梁内荷载包括梁内点支座反力，不包括作用在梁端集中力一律转化为三角级数表达式。它形式单一，在梁长范围内连续且处处可导。三角级数必须是完整的正交三角函数族。设梁长为a，在［0,a］区间内级数m=1,2,sinmx〖〗a，m=1,3,sinmx〖〗2a，m=1,3,cosmx，m=0,1,cosmx〖〗a均满足要求。级数表达式必须能完整地包含原函数的全部内容或全部作用效应。要根据梁端支承条件选择合理的三角函数。梁的支承有简支端、固定端、自由端、滑移端。它们又可以分为两大类：支承端简支端、固定端和非支承端自由端、滑移端。梁的支承端和非支承端彼此有不同的、各自有相同的外界作用形式，前者为支座位移，后者为梁端集中力。在没有外界作用的原生状态下，彼此有不同的、各自有相同的固有边界条件，前者挠度为零值，后者剪力为零。在梁内荷载qx作用下，彼此有不同的、各自有相同的作用效应，前者为支座反力，后者为梁端挠度。根据梁端支承条件，梁内荷载qx格式化方法为：1 对两端支承梁qx=m=1,2,Smsinmx1.5式中m=m〖〗a。a为梁的长度或跨度，Sm为展开系数。荷载qx在x=0和x=a梁端有函数值q0和qa，而级数展开式在x=0和x=a时均为零值，无法包含函数值q0和qa。但由于梁端荷载可由梁端支座直接传递，因而式1.5并不影响qx的作用效应。两端支承梁的荷载要采用函数为sinmx的三角级数而不是其他函数级数，可由以下两方面给予解释：其一，荷载作用效应变化规律与级数主波形相似。两端支承梁，荷载由两端支座传递，荷载越靠近梁端，传力途径越短，传力越直接，对梁产生的作用效应内力、应力、形变、位移越小；而跨中荷载，传力途径长，作用效应大。作用效应呈现跨中大、梁端小的分布特点，这与级数主波形m=1时sinx〖〗a曲线形状相似。其二，计算简图在qx作用下的挠度曲线或位移形态与级数主波形相近。两端支承梁，当qx采用式1.5级数展开式时，相应特解为y2=m=1,2,Sm〖〗EI4msinmx1.6特解级数与荷载展开式具有相同的三角函数类型，其主波形m＝1时sinx〖〗a的曲线形状与荷载作用下两端支承梁挠度曲线相近。2 左端支承、右端非支承梁qx=m=1,3,Smsinmxy2=m=1,3,Sm〖〗EI4msinmx1.7式中m=m〖〗2a。a为梁长，Sm为展开系数。qx的级数表达式无法包含x=0梁端荷载值q0，由于q0可由梁左端支座直接传递，因此式1.7可以包含qx的全部作用效应。左端固定、右端自由的悬臂梁属于这种类型。靠近梁左端荷载传力途径短，作用效应小，靠近悬臂端的荷载传力途径长，作用效应大。荷载作用效应变化规律及荷载作用下梁挠度曲线都与级数主波形m=1时sinx〖〗2a的曲线相近。图1.2c所示左端简支、右端自由梁，梁内有点支座，它也属于这种类型。计算时要撤去点支座而代之以支反力。计算简图为一端简支、一端自由梁承受梁上均布荷载q和支反力RB共同作用，荷载q和支反力RB组成式1.7中qx。由前文分析知，这是一个几何可变体在一组对梁左端弯矩平衡力系作用下的弯曲，其主要位移是绕梁端的刚体转动，位移形态与级数主波形m＝1时sinx〖〗2a的曲线形状相近。（3） 左端非支承、右端支承梁qx=m=1,3,Smcosmxy2=m=1,3,Sm〖〗EI4mcosmx1.8式中m=m〖〗2a。a为梁长，Sm为展开系数。梁端支承条件和左端支承、右端非支承梁相反。荷载和特解级数中三角函数由式1.7中sinmx变为cosmx。级数表达式可以包容qx的全部作用效应，荷载作用效应变化规律和荷载作用下梁挠度曲线与级数主波形m=1时cosx〖〗2a的曲线相近。（4） 两端非支承梁qx=m=0,1,Smcosmx=S0 m=1,2,Smcosmxy2=S0x4〖〗24EI m=1,2Sm〖〗EI4mcosmx1.9式中m=m〖〗a， m=0,1,2,。a为梁长，Sm为展开系数。S0为m=0时Sm，其物理意义为梁内荷载平均值。当梁端无集中力作用时，梁内荷载为一平衡力系，有S0＝0，否则S00。两端非支承梁，梁内一定有点支座，计算时先用静力平衡条件计算支反力，并取代点支座，计算简图为一悬空梁承受一组平衡力系作用。由竖向平移和转动组成的刚体位移是计算简图的主要位移，其形态与级数主波形m=0时的直线相近。将qx展成三角级数表达式，可得相同类型级数特解，见式1.6和式1.7、式1.8、式1.9中第2式。特解呈现以下位移和受力特点：在支承端，级数为零值，级数的三阶导数不为零，表示特解对应的挠度为零值，对应的剪力不为零；在非支承端，级数不为零，但三阶导数为零值对式1.9为S0＝0的情况，表示特解对应的挠度不为零值，对应的剪力为零。特解符合梁端挠度和剪力固有的原生状态下边界条件，也符合 qx作用下梁端挠度和剪力分布规律。梁端挠度和剪力之所以要特别关注是因为式1.1所示梁挠曲平衡微分方程实质上是以挠度为参数表示的梁微元竖向力的平衡，挠度和竖向力是与微分方程直接关联的物理量。关注挠度和竖向力是关注求解方法与建模理论的和谐统一。梁内荷载qx不包括作用在梁端的竖向集中力，这是因为qx是指梁微元dx范围内作用的分布荷载，见图1.1a所示。梁端集中力无法转换为微元上分布力，属于梁端外界作用的范畴。引入梁端边界条件和其他求解条件可以建立以待定常数c1、c2、c3、c4为未知量的线性方程。方程分两类，一类与特解级数有关，另一类无关。由于计算时级数只能取有限项，而不是无限项，因此前一类方程只能表示各项之间近似关系，后一类方程才能表示未知量之间精确的对应关系。支承端挠度条件和非支承端剪力条件对应的方程一定是后一类，且每个梁端至少有一个。1.1.3梁端外界作用特解当梁仅承受梁端作用时，即qx=0，式1.1右端项为零值。从数学的观点看，齐次微分方程只有通解而无须特解，但这并不表示不能有特解。梁弯曲微分方程是由梁内任一微元体的受力分析综合而成。与微分方程直接关联的外界作用只有梁内荷载；但方程解除满足微分方程外，还必须满足这些形式上无关联的梁端作用条件。如果我们将支承端的位移和非支承端的集中力这两种外界作用通过特解的形式表示其特有的作用效应，计算可能更便捷。为避免混淆，将式1.6、1.7、1.8、1.9表示的qx特解记为y21。梁端作用特解记为y22。由梁端支承条件，y22有以下四种形式：两端支承梁，当有梁端作用时，相应特解为y22=1 2-1x〖〗a1.101、2分别为梁左端和右端竖向位移向下为正。左端支承、右端非支承梁，当有梁端作用时，相应特解为y22=1-F2x3〖〗6EI1.111为支承端x=0竖向位移，F2为非支承端x=a集中力向下为正。左端非支承、右端支承梁，当有梁端作用时，相应特解为y22=F1x-a3〖〗6EI 21.122为支承端x=a竖向位移，F1为非支承端x=0集中力向下为正。两端非支承梁，当有梁端作用时，相应特解为y22=-F1x-a4〖〗24EIa-F2x4〖〗24EIa1.13F1、F2分别为左端和右端作用的集中力向下为正。分析式1.10、式1.11、式1.12、式1.13可以看出梁端作用特解y22除满足各自作用条件外，还具有以下特点：①位移特解在非支承端对应的剪力为零值。②集中力特解在支承端对应的位移为零值。它们之间互不干扰。同时除式1.13外，其余特解还满足式1.1对应的齐次微分方程；这表示引入这些特解不影响梁内荷载qx的作用效应。对两端非支承梁，当引入式1.13特解y22时，由于d4y22〖〗dx4=-F1 F2〖〗EIa，相当于在梁跨内又作用了q1=-F1 F2〖〗a的均布荷载。为消除影响，荷载qx对应的特解y21见式1.9第2式 要增加修正项F1 F2x4〖〗24EIa。该项可与式1.9所示特解中的S0项合并。这样，特解y2=y21 y22仍满足式1.1要求。梁端作用特解y22与梁内荷载级数特解y21是相互协调、互为补充的。 同时使用时可以体现各自外界作用特有的作用效应。图1.2a所示两端简支梁，荷载q=0，特解y21=0。当左端支座有位移1、作用弯矩M1，右端支座有位移2、作用弯矩M2时，若不考虑特解y22，y=y1。边界条件对应的方程为x=0：y=1，c1=1x=a：y=2，c1 c2a c3a2 c4a3=2x=0：M=M1，-2EIc3=M1x=a：M=M2，-EI2c3 6c4a=M21.14解之y=1 2-1〖〗ax 2M1 M2ax〖〗6EI-M1x2〖〗2EI M1-M2x3〖〗6EIa1.15当考虑式1.10所示梁端位移特解y22时，有y=y1 y22，边界条件对应的方程为x=0：y=1，c1=0x=a：y=2，c1 c2a c3a2 c4a3=0x=0：M=M1，-2EIc3=M1x=a：M=M2，-EI2c3 6c4a=M21.16比较式1.16和式1.14可知，引入特解y22后，支承端位移条件对应的方程式中前两式左端项相同，而右端项从原来的梁端位移值变为零。解之，挠度y相同，见式1.15。显然求解式1.16要比式1.14更方便。这种改变对梁弯曲计算而言意义不大，但在弹性力学问题的计算中，引入边界作用特解可以明显提高数值计算精度。【算例1.1】分析比较两端支承梁采用多项式特解和级数特解时对应的挠曲线和弯矩分布。已知梁长为a，承受均布荷载q。解： 两端支承梁有4种不同的支承条件。均布荷载q作用下，当采用多项式特解时，挠度解为y=c1 c2x c3x2 c4x3 qx4〖〗24EI当采用级数特解时，挠度解为y=c1 c2x c3x2 c4x3 1〖〗EIm=1,2,2q〖〗5ma1-cosmsinmx式中m=m〖〗a。c1、c2、c3、c4 由梁端支承条件确定。（1） 图1.2a所示两端简支梁采用多项式特解，有y=q〖〗24EIx4-2ax3 a3xM=-q〖〗2x2-axa采用级数特解，有y=1〖〗EIm=1,2,2q〖〗5ma1-cosmsinmxM=m=1,2,2q〖〗3ma1-cosmsinmxm＝2,4,6,时，1-cosm=0，m＝1,3,5,时，1-cosm=2。上式可改写为：y=1〖〗EIm=1,3,4q〖〗5masinmxM=m=1,3,4q〖〗3masinmxb级数取m=1，3，5共3项时，式a和式b结果的前4位有效数字相同。实际上，这两种挠曲线表达式是一致的，式b就是式a的级数展开式。（2） 图1.2b所示两端固定梁采用多项式特解时，有y=q〖〗24EIx4-2ax3 a2x2M=-q〖〗126x2-6ax a2采用级数特解并考虑m取奇、偶数时1-cosm变化，有y=1〖〗EIm=1,3,4q〖〗4max2〖〗a-x sinmx〖〗mM=-m=1,3,4〖〗4ma2〖〗a-msinmxc（3） 左端简支、右端固定梁采用多项式特解时，得y=q〖〗48EI2x4-3ax3 a3xM=-q〖〗84x2-3ax采用级数特解并考虑m取奇、偶数时1-cosm变化，有y=1〖〗EIm=1,3,4q〖〗4max3〖〗2a2-x〖〗2 sinmx〖〗mM=-m=1,3,4q〖〗4ma3x〖〗a2-msinmx（4） 左端固定、右端简支梁略。后三种支承条件下，两种特解对应的梁挠度和弯矩表达式形式上似乎不同；但利用式a、式b和数学转换式：m=1,3,1〖〗m44=1〖〗96，两种解可以相互转换。【算例1.2】用级数特解计算图1.3梁挠度和弯矩，已知梁长为l。
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