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《高等数学典型问题与应用案例剖析.上册》是高等数学习题课教材,也可作为工科各专业本科生学习高等数学课程的学习指导教材以及备考研究生的复习资料.
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| 內容簡介： |
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《高等数学典型问题与应用案例剖析.上册》按照教育部颁发的《数学课程教学基本要求》和《全国工学、经济学硕士研究生入学考试数学考试大纲》，认真总结多年来积累的教学和考研辅导经验，通过对教学内容的分析、总结，对题型和具体题目的认真筛选编写而成.《高等数学典型问题与应用案例剖析.上册》分上、下两册.上册共13讲，每讲基本包括考纲要求、基本概念、常用性质及结论、常见问题和处理方法及技巧、解题应注意的问题,并通过案例对其如何用于求解具体问题进行体验和说明,以达到揭示解题规律，归纳、总结解题方法的目的.
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| 目錄：
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前言
第0章数学建模及其重要意义1
习题课1数学建模及其重要意义1
**章函数及函数极限6
习题课2函数6
习题课3数列极限11
习题课4函数的极限22
习题课5函数的连续及连续函数的性质35
第二章导数与微分46
习题课6导数及其求导方法46
习题课7函数的高阶导数及函数的微分60
第三章微分中值定理与导数的应用67
习题课8中值定理及泰勒公式67
习题课9导数应用79
第四章向量代数与空间解析几何102
习题课10向量代数空间曲面与曲线102
习题课11空间的平面与直线110
第五章多元函数的微分法及应用117
习题课12多元函数的偏导数及微分117
习题课13多元微分学应用133
附录高等数学同步练习册（上）习题答案154
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| 內容試閱：
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第0章数学建模及其重要意义
习题课1数学建模及其重要意义
数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是与人们生活的实际需要密切相关的.随着电子计算机的出现和不断完善，数学的应用已远远超越物理、力学领域，而逐步深入到经济、生态、人口、交通、社会等更为复杂的问题.许多以定性方法为基础的学科正在走上定量化的道路，数学模型这个词汇也就越来越多地出现了.例如气象工作者时刻离不开根据气象站、气象卫星汇集的气压、云层、雨量、风速等资料建立的数学模型，以便准确的预报天气.企业的经营者需要根据产品的需求情况、生产条件和成本、储存、运输费用等信息而建立的数学模型来合理安排生产和销售，以获取更大的利润.城市的领导者则需要包括人口、经济、交通环境等大系统的数学模型，为城市发展的决策提供科学的依据.甚至于在人们的日常生活中，也希望用一个数学模型，来优化家庭理财、出游安排等.
那么，什么是数学模型呢?数学模型是一种抽象的模拟，它用数学符号、数学式子、程序、图形等刻画客观事物的本质属性与内在联系，也就是对现实问题作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构.
模型建立后，需将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到问题的解析解或数值解;*后，用求得的解析解或数值解来解决实际问题.因此，对于广大科学技术人员和应用数学的工作者来说，建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与所掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁.
一、 数学建模的过程数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回归现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成，数学建模过程和数学模型的求解方法分别如图0-1，
图0-2所示.
图0-1数学建模过程示意图
图0-2数学模型求解方法示意图
表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳.数学模型的求解方法属于演绎.归纳是依据个别现象推出一般规律;演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论.演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象作出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论为前提，只有在公理化形式的前提下才能保证其正确性.因此，归纳和演绎是辩证统一的过程:归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导.解释是把数学模型的解答“翻译”回到现实对象，给出分析、预报、决策或控制的结果.*后，作为这个过程重要的一个环节，这些结果需要用实际的信息加以验证.
图0-1也解释了现实问题和数学建模的关系.一方面，数学模型是将现实生活中的现象加以归纳、抽象的产物，它源于现实，又高于现实.另一方面，只有当数学模型的结果经受住现实问题的检验时，才可以用来指导实践，完成实践—理论—实践这一环节.
二、 数学建模的一般步骤
一般说来，建立模型需要经过哪几个步骤并没有统一的模式，通常与问题的性质和建模的目的等因素有关.下面介绍建立数学模型的一般过程，如图0-3所示
.图0-3数学建模的一般步骤
1. 模型准备
了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集必要的信息，如数据和现象等，清楚研究对象的主要特征，形成一个比较清晰的“数学问题”.
2. 模型假设
根据先行的特征和建模的目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的、简化的假设，并且要在合理和简化之间做出恰当的折中.通常提出假设的依据，一是出于问题内在规律的认识；二是来自对现象、数据的分析，以及二者的结合.
3. 模型构成
根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包括常量、变量等数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、图论模型等.在建模过程中要遵循“尽量采用简单的数学工具”这一原则，以便更多的人能了解和使用.
4. 模型求解
可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是当前迅猛发展的数学软件和计算机技术.
5. 模型分析
对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析、对假设的强健性分析等.
6. 模型检验
把求解和分析的结果回归到实际问题中，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和实用性.如果结果与实际不符，问题常常出现在模型假设上，此时应该修改、补充假设，重新建立模型并求解.
7. 模型应用
应用的方式与问题性质、建模目的以及*终的结果有关.应当指出的是，并不是所有问题的建模都要经过这些步骤，有时几个步骤之间的界限也不是那么分明，建模时不要拘泥于形式上的按部就班，要采用灵活的表述形式
.三、 数学模型的分类
关于数学模型的分类，从不同的角度去刻画可以有不同的分类.常见的如:
根据模型的应用领域分，有人口模型、交通模型、生态模型、经济模型等.根据建模的目的分，有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等.
根据模型中变量的特征分，有连续模型与离散模型、线性模型与非线性模型、静态模型与动态模型等.
根据建模的数学方法分，有初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型等.根据对模型结构的了解程度分，把研究对象比喻成一只箱子里的机关，按对它们的机理较为清楚、很不清楚、或介于二者之间的情形分为白箱模型、黑箱模型和灰箱模型.
通常，一个较成功的模型不仅应当解释已知现象，还应当能预言一些未知现象，并能被实践所证明.因而数学建模不是容易的事，它需要相当丰富的知识、经验和各方面的能力，特别需要丰富的想像力和洞察力.著名科学家爱因斯坦曾说过:“想像力比知识更重要，因为知识是有限的，而想像力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识的源泉”.因此，数学建模是能力和知识的综合运用.
四、 数学建模的重要意义
作为用数学方法解决实际问题的**步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史，进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，以及计算机的出现和飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视，数学建模在现实世界中有着重要的意义.
1 在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地.在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻.虽然这里的基本模型是已有的，但由于新技术、新工艺的不断涌现，提出许多需要用数学方法解决的新问题.高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算、中长期天气预报等）也迎刃而解.建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段.
（2） 在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具.无论是通信、航天、微电子、自动化等高新技术本身的发展，还是将高新技术用于传统工业区创造新工艺，开发新产品，计算技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段.数学建模、数值计算和计算机图形等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一.在这个意义上，数学不仅仅是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台.有人认为“高新技术本质上是一种数学技术”.
（3） 数学迅速地进入一些新领域，为数学建模开拓了许多处女地.
随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生.当用数学方法研究许多领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤，同时也成为这些学科发展与应用的基础.在这些领域里，建立不同类型、不同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地.马克思说过:“一门科学只有成功的运用数学时，才算达到了完善的地步”.展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期.
美国科学院一位院士总结了将数学转化为生产力过程中的成功与失败，得出了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”的结论，认为数学“由研究到工业领域技术的转化，对加强经济竞争力是有重要意义”，因而“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学向科学技术转化的主要途径”.鉴于初学者对高等数学及其他学科的了解程度有限，还只能涉及数学建模的很少部分.高等数学是研究变量和函数的一门数学.现实世界中许多变量之间有重要的相互依赖关系，这种关系反映了事物发展的根本规律性，而描述这些规律性的*重要的手段就是函数关系.从客观事物中抽象出函数关系的过程，事实上就是建立数学模型的过程.在本课程的学习中将可能涉及微分法建模、微分方程建模等方法中的一些简单问题.所以，高等数学与数学建模有着密切的关系.读者在集中注意力学习数学问题求解方法的同时，应注意培养自己的想象力和洞察力，增强数学建模的意识，学习建立一些简单的数学模型.
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