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| 編輯推薦： |
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《高等数学》可作为高等院校经济类、农林类、管理类等各专业的学生教材，也可作为相关专业教师、学生和科学技术工作者的参考书。
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| 內容簡介： |
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《高等数学》内容包括：函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、多元函数微积分、微分方程与差分方程、无穷级数、高等数学实验。每一节有习题，每章有总习题, 书末附有部分习题答案与提示。《高等数学》从内容体系和风格上与第二版相比没有太大的变化，本次修改遵循“坚持改革、与时俱进”的原则，对第二版中的个别概念定义的叙述、定理的证明作了修改，对《高等数学》的文字表达进行细致推敲，对例题与习题进行合理的增删，解决了与中学数学的衔接问题，注重高等数学的应用，侧重了在经济方面的应用. 同时制作了与书配套的供教师上课用的电子课件、供学生观看的习题讲解视频。本次修改使书更加完善，适应时代要求，便于教与学。
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| 目錄：
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目录
第三版前言
第二版前言
第一版前言
第1章函数与极限
1.1函数
1.1.1函数的概念
1.1.2函数的基本性质
1.1.3反函数
1.1.4初等函数
1.1.5其他类型的函数
习题1.
1.2数列极限
1.2.1数列极限的定义
1.2.2收敛数列的性质
习题1.
1.3函数极限
1.3.1自变量趋于无穷大时函数的极限
1.3.2自变量趋于有限值时函数的极限
1.3.3函数极限的性质
习题1.
1.4无穷小量与无穷大量
1.4.1无穷小量
1.4.2无穷大量
1.4.3极限运算法则
习题1.
1.5两个重要极限
1.5.1极限存在的两个准则
1.5.2两个重要极限
习题1.
1.6无穷小量的比较
习题1.
1.7函数的连续性
1.7.1函数连续的概念
1.7.2函数的间断点
1.7.3连续函数的性质初等函数的连续性
1.7.4闭区间上连续函数的性质
习题1.
第1章总习题
第2章导数与微分
2.1导数的概念
2.1.1导数的定义
2.1.2利用定义求导举例
2.1.3函数可导性与连续性的关系
习题2.
2.2函数的求导法则
2.2.1导数的四则运算法则
2.2.2反函数的求导法则
2.2.3复合函数的求导法则
2.2.4隐函数的求导法则
2.2.5由参数方程确定的函数的导数
习题2.
2.3高阶导数
习题2.
2.4函数的微分
2.4.1微分的概念
2.4.2微分基本公式与运算法则
*2.4.3微分在近似计算中的应用
习题2.
第2章总习题
第3章微分中值定理与导数的应用
3.1微分中值定理
3.1.1罗尔定理
3.1.2拉格朗日中值定理
3.1.3柯西中值定理
3.1.4泰勒公式
习题3.
3.2洛必达法则
3.2.100与∞∞型未定式
3.2.2其他类型未定式
目录 ix 习题3.
3.3函数的单调性与曲线的凹凸性
3.3.1函数的单调性
3.3.2曲线的凹凸性
习题3.
3.4函数的极值与最大值、最小值
3.4.1函数的极值
3.4.2函数的最大值与最小值
习题3.
3.5函数图形的描绘
3.5.1曲线的渐近线
3.5.2函数图形的描绘
习题3.
3.6导数在经济学中的应用
3.6.1边际分析
3.6.2弹性分析
习题3.
第3章总习题
第4章不定积分
4.1不定积分的概念与性质
4.1.1原函数的概念
4.1.2不定积分的概念
4.1.3不定积分的性质
4.1.4基本积分公式
习题4.
4.2换元积分法
4.2.1第一类换元法
4.2.2第二类换元法
习题4.
4.3分部积分法
习题4.
4.4有理函数的积分
4.4.1有理函数的积分
4.4.2可化为有理函数的积分
习题4.
*4.5积分表的使用
习题4.
第4章总习题
第5章定积分及其应用
5.1定积分的概念与性质
5.1.1引例
5.1.2定积分的定义
5.1.3定积分的性质
习题5.
5.2微积分基本公式
5.2.1可变上限定积分及其导数
5.2.2牛顿 莱布尼茨公式
习题5.
5.3定积分的换元积分法和分部积分法
5.3.1定积分的换元积分法
5.3.2定积分的分部积分法
习题5.
5.4广义积分与Γ函数
5.4.1积分区间为无限的广义积分
5.4.2被积函数为无界的广义积分
5.4.3Γ函数
习题5.
5.5定积分的应用
5.5.1定积分的元素法
5.5.2平面图形的面积
5.5.3体积
5.5.4经济学、生物学等方面的应用实例
习题5.
*5.6定积分的近似计算
5.6.1矩形法
5.6.2梯形法
习题5.
第5章总习题
第6章多元函数微积分
目录 xi 6.1空间解析几何简介
6.1.1空间直角坐标系
6.1.2空间曲面
习题6.
6.2多元函数的极限与连续
6.2.1区域
6.2.2多元函数概念
6.2.3二元函数的极限
6.2.4二元函数的连续性
习题6.
6.3偏导数
6.3.1偏导数的概念
6.3.2高阶偏导数
习题6.
6.4全微分
6.4.1全微分的概念与存在条件
*6.4.2全微分在近似计算中的应用
习题6.
6.5多元复合函数与隐函数的求导法则
6.5.1多元复合函数的求导法则
6.5.2多元隐函数的求导法则
6.5.3全微分形式不变性
习题6.
6.6多元函数的极值及其应用
6.6.1多元函数的极值
6.6.2条件极值
6.6.3多元函数的最大值与最小值
习题6.
6.7二重积分
6.7.1二重积分的概念与性质
6.7.2二重积分的计算
习题6.
第6章总习题
第7章微分方程与差分方程
7.1微分方程的基本概念
习题7.
7.2可分离变量的微分方程
7.2.1可分离变量的微分方程
7.2.2齐次微分方程
习题7.
7.3一阶线性微分方程
习题7.
7.4可降阶的高阶微分方程
7.4.1yn=fx型的微分方程
*7.4.2y″=fx，y′型的微分方程
*7.4.3y″=fy，y′型的微分方程
习题7.
7.5高阶线性微分方程
7.5.1二阶线性微分方程解的结构
7.5.2二阶常系数齐次线性微分方程
7.5.3二阶常系数非齐次线性微分方程
习题7.
7.6差分方程的基本概念
7.6.1差分的概念与性质
7.6.2差分方程的概念
习题7.
7.7常系数线性差分方程
7.7.1一阶常系数线性差分方程
*7.7.2二阶常系数线性差分方程
习题7.
第7章总习题
第8章无穷级数
8.1常数项级数
8.1.1级数敛散性概念
8.1.2收敛级数的基本性质
习题8.
8.2常数项级数敛散性判别方法
8.2.1正项级数敛散性判别方法
8.2.2交错项级数敛散性判别方法
目录 xiii 8.2.3任意项级数的绝对收敛与条件收敛
习题8.
8.3幂级数
8.3.1函数项级数的概念
8.3.2幂级数及其收敛域
8.3.3幂级数的运算
习题8.
8.4函数的幂级数展开
8.4.1泰勒级数
8.4.2函数展开成幂级数
习题8.
第8章总习题
*第9章高等数学实验
9.1MATLAB操作基础
9.1.1MATLAB桌面平台
9.1.2MATLAB帮助系统
9.1.3MATLAB的基本命令与函数
9.1.4MATLAB的数值计算
9.1.5MATLAB的程序设计
9.2基于MATLAB的高等数学实验
9.2.1求极限
9.2.2求导数
9.2.3泰勒级数逼近计算器
9.2.4二维与三维图像描绘
9.2.5非线性方程求根
9.2.6求积分
9.2.7求解微分方程
9.3数学建模案例
附录一常用三角函数公式
附录二希腊字母表
附录三积分表
部分习题答案与提示
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第1章函数与极限
函数是数学中最重要的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象。极限概念是微积分的理论基础，连续性是函数的一个重要性质。本章将介绍函数的概念与性质，函数极限的概念及其性质与运算，并运用函数的极限讨论函数的连续性。
1.1函数
1.1.1函数的概念首先看几个例子。
例1.1.1（自由落体问题）一个自由落体，从开始下落时算起，经过的时间设为ts，在这段时间中落体的路程设为sm。由于只考虑重力对落体的作用，而忽略空气阻力等其他外力的影响，如果落体从开始到着地所需的时间为T，那么从物理学知道，s与t之间有如下的依赖关系（其中g为重力加速度）：
s=12gt2，0≤t≤T。
例1.1.2某化工公司统计去年农用化肥月生产量如表1.1.1所示。
表1.1.1
从上表可以看出过去一年该公司月产量x万吨与时间t月之间有着确定的对应关系。例1.1.3图1.1.1是气温自动记录仪描出的某地一天的温度变化曲线，它给出了气温T℃与时间th之间的依赖关系。时间t的变化范围是0≤t≤24，当t在这范围内任取一值时，从图1.1.1中的曲线可找出气温的对应值。上述几个例子所描述的问题虽各不相同，但却有共同的特征：它们都表达了两个变量之间的相互依赖关系，当一个变量在它的定义域中任意取定一值时，另一个变量按一定法则就有一个确定的值与之对应。把这种确定的依赖关系抽象出来，就是函数的概念。图1.1.1定义1.1.1设D是实数集R的非空子集，f是一个对应法则。如果对于D中的每一个x，按照对应法则f，都有确定的唯一实数y与之对应，则称f为定义在D上的函数。集合D称为函数f的定义域，与D中x相对应的y称为f在x处的函数值，记作
y=fx，x∈D。
称全体函数值构成的集合为函数f的值域，一般记为fD。如果把x，y分别看成D，R中的变量，则称x为自变量，y为因变量。函数的定义中有两个基本要素，就是定义域与对应法则。两个函数相同的充分必要条件是它们的定义域相同，对应法则也相同。函数关系表示法通常有三种：解析式法、列表法和图示法。下面再看几个函数例子。例1.1.4根据《中华人民共和国个人所得税法》2007年12月29日第五次修正，工资、薪金所得缴纳个人所得税的税率如表1.1.2所示。
表1.1.2
采用超额累进计算税费的方法。若记月工资为x元，应缴纳的税款为y元，则y是x的函数。根据超额累进计算税费的方法，该函数为y=fx=0，0≤x≤2000，
例1.1.4中，函数有时需要用几个式子表示，这种在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同的式子表示的函数称为分段函数。下面介绍几个常见的分段函数。例1.1.5绝对值函数（图1.1.2）y=|x|=x，x≥0，-x，x0。例1.1.6符号函数（图1.1.3）
图1.1.2图1.1.3
图1.1.4sgnx=-1，x0，0，x=0，1，x0。对任意实数x，满足关系x=|x|sgnx。
例1.1.7取整函数（图1.1.4）y=［x］，其中［x］表示不超过x的最大整数。例如，［4。4］=4，［4］=4，［－4］=－4，［－4。4］=－5。
1.1.2函数的基本性质
1.有界性
设函数fx在D上有定义，若存在常数k1（或k2），使对一切x∈D有fx≤k1（或fx≥k2），则称fx在D上有上界（或有下界），称k1（或k2）为fx在D上的上界（或下界）。若存在正数M，使对一切x∈D，有|fx|≤M，则称fx在D上有界，这时也称fx在D上是有界函数。如果对任给的正数M，总存在x1∈D，使|fx1|M，就称fx在D上无界。例如，函数y=sinx在它的定义域-∞，+∞内有界；函数fx=1x在［1，+∞上有界，在0，1内却是无界的，因为对任给的正数M1，总存在x1=12M∈0，1，使|fx1|=1x1=2MM。容易证明，函数fx在D上有界的充分必要条件是：它在D上既有上界又有下界。
2.单调性
设函数fx在D上有定义，如果对D中任意两个数x1，x2，当x1fx2），则称fx在D上单调增加或单调减少。单调增加或单调减少的函数统称为单调函数。例如，函数y=x3在-∞，+∞内是单调增加的；函数y=x2在区间-∞，0］上单调减少，而在区间［0，+∞上单调增加，但在整个区间-∞，+∞内却不是单调的。
3. 奇偶性
设y=fx，x∈D，其中D关于原点对称，如果对任意x∈D，总有f－x=－fx 或f－x=fx，则称fx为奇函数或偶函数。可以证明，两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数，两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积也是偶函数，偶函数与奇函数的积是奇函数，而偶函数与奇函数的和既不是奇函数也不是偶函数（称为非奇非偶函数）。例如，函数y=x3与y=sinx都是奇函数，函数y=x2与y=cosx都是偶函数，而y=sinx+cosx是非奇非偶函数。特别地，函数y=0既是奇函数也是偶函数。在坐标平面上，偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
4. 周期性
设函数fx在D上有定义，若存在常数l≠0，使对任意x∈D，总有fx+l=fx，
则称fx为周期函数，l称为fx的一个周期。显然，若l为fx的一个周期，则kl k=±1， ±2， 也都是它的周期。所以，一个周期函数一定有无穷多个周期。通常所说周期函数的周期是指最小正周期。如y=sinx和y=cosx是周期为2π的周期函数，y=tanx和y=cotx是周期为π的周期函数，一般地，函数y=Asinωx+φ的周期为2πω。注意并非任何周期函数都有最小正周期。例如，常量函数fx=CC为常数是周期函数，任何非零实数都是它的周期，因而不存在最小正周期。
1.1.3反函数定义
1.1.2设函数fx的定义域为D，值域为fD。若对fD中每一值y，D中有唯一值x与之相对应，且y=fx，这样便得到fD上的一个新函数，称此函数为函数y=fx的反函数，记作x=f－1y，y∈fD。
相对于反函数x=f－1y来说，原来的函数y=fx称为直接函数。习惯地，y=fxx∈D的反函数记为y=f－1xx∈fD。称y=fx与y=f－1x互为反函数。由反函数的定义可知，反函数的定义域是直接函数的值域，反函数的值域是直接函数的定义域。在同一坐标平面上，函数y=fx与y=f－1x的图形关于直线y=x对称。
例1.1.8求函数y=x3的反函数。解由y=x3解出x， 得反函数x=y13，y∈R， 再改写为y=x13，x∈R， 即y=x3的反函数是y=x13，x∈R。类似得， 函数y=x2在－∞，0］上的反函数是y=－xx≥0。注意并不是任何一个函数都有反函数。 可以证明，单调增加 减少函数必有反函数，且反函数也是单调增加 减少的。
1.1.4初等函数
1. 基本初等函数下列6类函数统称为基本初等函数。
（1） 常量函数y=C（C为常数）；
（2） 幂函数y=xμ μ∈ R，μ≠0；
（3） 指数函数y=ax a0，a≠1， 特别当a=e时，记为y=ex；
（4） 对数函数y=logax（a0，a≠1，特别当a=e时，记为y=lnx）；这里对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数， y=lnx是y=ex的反函数。
（5） 三角函数①正弦函数y=sinx; ②余弦函数y=cosx; ③正切函数y=tanx=sinxcosx; ④余切函数y=cotx=cosxsinx。
（6） 反三角函数①反正弦函数 y=arcsinx； ②反余弦函数 y=arccosx；③反正切函数 y=arctanx；④反余切函数 y=arccotx。其中反三角函数y=arcsinx， y=arccosx， y=arctanx， y=arccotx分别是三角函数y=sinx－π2≤x≤π2， y=cosx0≤x≤π， y=tanx－π2 表1.1.3基本初等函数的定义域、值域及主要性质一览表函数定义域值域有界性奇偶性单调性周期性y=C－∞，+∞C有界偶函数非单调周期函数，但无最小正周期y=xμ因μ而异因μ而异无界因μ而异因μ而异y=axa0，a≠1－∞，+∞0，+∞无界a1 ，增加a1 ，减少y=logaxa0，a≠10，+∞－∞，+∞无界a1 ，增加a1 ，减少y=sinx－∞，+∞［－1，1］有界奇函数非单调T=2πy=cosx－∞，+∞［－1，1］有界偶函数非单调T=2πy=tanxx≠kπ+π2，k∈Z－∞，+∞无界奇函数非单调T=πy=cotxx≠kπ，k∈Z－∞，+∞无界奇函数非单调T=πy=arcsinx［－1，1］－π2，π2有界奇函数增加y=arccosx［－1，1］［0，π］有界减少y=arctanx－∞，+∞－π2，π2有界奇函数增加y=arccotx－∞，+∞0，π有界减少基本初等函数的图像如下：幂函数y=xμ
指数函数y=ax常量函数y=C对数函数y=logax 正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx余切函数y=cotx反正弦函数 y=arcsinx 反余弦函数 y=arccosx 反正切函数y=arctanx 反余切函数y=arccotx2. 复合函数
定义1.1.3已知函数y=fu的定义域为E，函数u=φx的定义域为D，值域为φD，如果E∩φD≠，则称y=f［φx］为由函数y=fu与u=φx复合而成的复合函数，其中u称为中间变量。注意习惯上称y=fu为外函数，u=φx为内函数。
定义1.1.3表明只有当内函数的值域与外函数的定义域的交集非空时，这两个函数才能复合。例如，函数y=cosu与u=x2+1可以复合成函数y=cosx2+1，x∈－∞，+∞。又如，函数y=u与u=1－x2可以复合成函数y=1－x2，x∈［－1，1］。但函数y=u－2与u=sinx就不能进行复合，因为y=u－2的定义域［2，+∞与u=sinx的值域［－1，1］的交集为空集。
例1.1.9设fx=lnx，gx=ex， 求f［gx］，g［fx］。解将gx替换fx=lnx中x，得f［gx］=lngx=lnex=x。
将fx替换gx=ex中x， 得g［fx］=elnx=xx0。
例1.1.10设fx=1+x，x0，
1，x≥0。 求f［fx］。
解 f［fx］=1+fx，fx0，1，fx≥0。易知当x－1时，fx=1+x0，而f［fx］=1+fx=1+1+x=2+x。当x≥－1时，无论－1≤x0及x≥0，均有fx≥0，从而f［fx］=1。所以f［fx］=2+x，x－1，1，x≥－1。复合函数还可以由两个以上的函数构成。例如，由三个函数y=5u，u=v3，v=2x－1复合而成的函数为 y=52x－13。反过来也能将一个复合函数分解成几个简单
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