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| 編輯推薦： |
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《线性代数》可作为高等学校非数学专业线性代数课程教材，也可以作为相关专业的教材、教学参考书及考研学习或自学用书。
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| 內容簡介： |
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《线性代数》是河南省“十二五”普通高等教育规划教材、河南省精品课程配套教材。在第一版的基础上，《线性代数》吸取了广大读者的意见，作了局部调整和修改。 仍然保持第一版的行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换、线性方程组、矩阵的相似变换、二次型共6章的基本结构，而对部分内容作了修改，使之更加系统，便于消化和理解。 保留了每章与教学内容相关的数学文化欣赏，删去了数学软件应用，精简了篇幅。《线性代数》注重内容的科学性、系统性、文化性和时代性，注重教材的适用性和通用性。 在内容的编排上，注意概念实际背景的介绍，突出对基本概念的系统理解和对解题方法的把握。 《线性代数》起点低、坡度缓、难点分散、脉络清晰、详略适当、重点突出。 例题和习题参考最新的全国硕士研究生入学考试大纲和历年硕士研究生入学试题，题型丰富，难度适中。习题除按小节配置外，各章末还设有两类不同难度的测试题，并附有答案。
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| 目錄：
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丛书序
第二版前言
第一版前言
第1章行列式
1.1二、三阶行列式
1.2n阶行列式
1.3行列式的性质
1.4行列式按行（列）展开
1.5克拉默法则
第1章分层次测试题
数学文化欣赏 行列式的产生与发展
第2章矩阵及其运算
2.1矩阵的基本概念
2.2矩阵的线性运算、乘法和转置运算
2.3逆矩阵
2.4分块矩阵
第2章分层次测试题
数学文化欣赏 矩阵的发展历程
第3章矩阵的初等变换
3.1初等变换与初等矩阵
3.2用初等变换法求逆矩阵
3.3矩阵的秩
第3章分层次测试题
数学文化欣赏 数不尽的π
第4章线性方程组
4.1高斯消元法
4.2向量组的线性相关性
4.3向量组的秩和极大线性无关组
4.4向量空间
4.5线性方程组解的结构
第4章分层次测试题
数学文化欣赏 华罗庚与联立线性方程组
第5章矩阵的相似变换
5.1矩阵的特征值与特征向量
5.2矩阵相似对角化的条件
第5章分层次测试题
数学文化欣赏 从高次代数方程的求根公式到伽罗瓦理论
第6章二次型
6.1向量的内积
6.2二次型
6.3用正交变换化二次型为标准形
6.4二次型的正定性
第6章分层次测试题
数学文化欣赏 数学也需要实验
各章习题与分层次测试题参考答案
参考文献
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| 內容試閱：
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"线性代数
第1章行列式
行列式是线性代数的重要工具之一，它在数学的许多分支中有着广泛的应用。本章通过引入二、三阶行列式和n元排列的概念，给出n阶行列式的定义和性质，最后介绍用行列式求解线性方程组的克拉默（Cramer）法则。
1.1二、三阶行列式对于二元线性方程组a11x1+a12x2=b1，
a21x1+a22x2=b2，（1.1）
当a11a22－a12a21≠0时，用消元法求得的解为x1=a22b1－a12b2a11a22－a12a21，x2=a11b2－a21b1a11a22－a12a21。（1.2）
为了便于记忆，将方程组（1.1）中的未知量的系数a11，a12，a21，a22依它们在方程组中的位置排成两行两列，引入记号a11a12
a21a22，称为二阶行列式，用来表示数a11a22－a12a21，即
D=a11a12a21a22=a11a22－a12a21。（1.3）
构成二阶行列式的4个数a11，a12，a21，a22称为行列式的元素。它们排成两行两列，横的各排称为行，纵的各排称为列。数aiji，j=1，2称为行列式的第i行第j列元素。
如果把元素a11到a22的连线称为行列式的主对角线，而a12到a21的连线称为行列式的次对角线，则二阶行列式的值就等于主对角线上元素之积减去次对角线上元素之积。这种算法称为对角线法则。
线性方程组（1.1）的系数构成的行列式D称为方程组（1.1）的系数行列式。
按照二阶行列式的定义，式（1.2）中x1，x2的表达式中的分子可分别记为 D1=b1a12
b2a22=a22b1－a12b2，D2=a11b1
a21b2=a11b2－a21b1。
显然，Dii=1，2即为D中的第i列换成方程组（1.1）的常数项所得到的行列式。于是，当D≠0时，线性方程组（1.1）的解可唯一地表示为x1=D1D，x2=D2D。（1.4）
例1.1求解线性方程组3x1+4x2=10，
x1－2x2=5。解由于D=34
1－2=－10≠0，且D1=104
5－2=－40，D2=310
15=5，
由式（1.4）得x1=D1D=4，x2=D2D=－12。
对于三元线性方程组a11x1+a12x2+a13x3=b1，
a21x1+a22x2+a23x3=b2，
a31x1+a32x2+a33x3=b3，（1.5）
将未知量的系数按它们在方程组中的位置排成3行3列，引入三阶行列式D=a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33，（1.6）
称D为线性方程组（1.5）的系数行列式。再将D中的第1列、第2列、第3列分别换成方程组（1.5）的常数项，分别引入三阶行列式
其中，D，D1，D2，D3分别定义为
D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32－a13a22a31－a12a21a33－a11a23a32，
D1=b1a22a33+b3a12a23+b2a13a32－b3a13a22－b2a12a33－b1a23a32，D2=b2a11a33+b1a23a31+b3a13a21－b2a13a31－b1a21a33－b3a11a23，D3=b3a11a22+b2a12a31+b1a21a32－b1a22a31－b3a12a21－b2a11a32，（1.7）
则当D≠0时，x1=D1D，x2=D2D，x3=D3D
正是线性方程组（1.5）的唯一解。图1.1
三阶行列式的值仍可由对角线法则来记忆。以D为例。由式（1.7）知，D由6项构成，每一项均为行列式D的不同行不同列的3个元素的乘积再冠以正负号，其规律如图1.1所示。图1.1中的3条实线平行于主对角线，实线上3个元素之积冠以正号；3条虚线平行于次对角线，虚线上3个元素之积冠以负号。例1.2计算D=2－11321－13－1。
解D=2×2×－1+3×3×1+－1×1×－1－－1×2×1
－3×－1×－1－2×1×3=－4+9+1－－2－3－6=－1。
习题1.1
1.计算下列行列式：
（1）21－13；
（2）aba2b2；
（3）361105317；
（4）321123321；
（5）369028003；
（6）1+abca1+bcab1+c。
2.求解下列线性方程组：
（1）2x1+3x2=8，
x1－2x2=－3;
（2）x1－2x2+x3=－2，
2x1+x2－3x3=1，
－x1+x2－x3=0。
3.解方程：31x4x010x=0。
1.2n阶行列式
计算二、三阶行列式的对角线法，虽然简单直观，但对高于三阶的行列式就不再适用了。为此需要研究任意阶行列式的一般算法。
观察三阶行列式D，由式（1.7）可见：
（1）展开式共有6项，其中3个正项、3个负项。
（2）展开式中的每一项都是行列式位于不同行不同列的3个元素之积，这3个元素的行下标按自然顺序排列时，其列下标都是1，2，3的某个排列。1，2，3的全排列共有6种，分别对应着展开式中的每一项。
（3）展开式中带正号的3项，其列下标的排列分别为123，312，231，它们都是排列123中的任意两个数经零次或两次（偶数次）交换得到的；而带负号的3项，其列下标是排列123中的任意两个数经1次（奇数次）交换得到的。也就是说，行列式的展开式每一项的符号与排列123中数字的交换次数（奇数次或偶数次）有关。为阐明n阶行列式展开项的符号规律，引入逆序数的概念。
1.2.1排列的逆序与奇偶性n个自然数1，2， ，n按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个n级排列，记为i1i2 in。显然，n级排列共有n!个，其中，称排列12 n为自然排列。
定义1.1在一个n级排列i1i2 in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则这两个数构成一个逆序。一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为τi1i2 in。
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例1.3求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）352461；（2）nn－1 21。
解由逆序数的定义，任一排列i1i2 in的逆序数τi1i2 in=i1后面比i1小的数的个数+i2后面比i2小的数的个数+ +in－1后面比in－1小的数的个数，故（1）τ352461=2+3+1+1+1=8，352461为偶排列；（2）τnn－1 21=n－1+n－2+ +2+1=nn－12，而nn－12的奇偶性由n而定：
当n=4k时，nn－12=2k4k－1是偶数；
当n=4k+1时，nn－12=2k4k+1是偶数；
当n=4k+2时，nn－12=2k+14k+1是奇数；
当n=4k+3时，nn－12=2k+14k+3是奇数。所以，当n=4k，n=4k+1时，此排列为偶排列；当n=4k+2，n=4k+3时，此排列为奇排列。
定义1.2一个排列中的某两个数i，j位置对调，而其余数不动，这样得到一个新排列的实施过程称为一次对换，用i，j表示。相邻两个数的对换称为邻换。
定理1.1一次对换改变排列的奇偶性。
证 首先证明一次邻换改变排列的奇偶性。
设n级排列为 ij ，将相邻的两个数i，j对换，得到一个新的排列 ji 。由于除i，j之外其余的数不动，所以其余数之间的顺序没有变化。
若i＞j，则新排列的逆序数比原排列减少1；若i＜j，则新排列的逆序数比原排列增加1。所以一次邻换改变了排列的奇偶性。
再证明对换的一般情形。
设n级排列为 ia1a2 akj ，i，j之间相隔k个数。要实现i，j的对换，得到新排列 ja1a2 aki ，可先将i与a1对换，再把i与a2对换， ，这样，经过k+1次邻换，就可以将i调换到j之后，得到排列 a1a2 akji ；然后再把j对换到a1之前，这需要经过k次邻换。这样，共经过2k+1次邻换，完成了i与j的对换。所以原排列与新排列的奇偶性相反。
推论1.1奇排列变成自然排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然排列的对换次数为偶数。
由定理1.1知，对换的次数就是排列奇偶性的改变次数，而12 n是偶排列，所以若排列i1i2 in是奇（偶）排列，则必须经奇（偶）数次对换才能变成自然排列。
推论1.2n个自然数（n≥2）共有n!个n级排列，其中奇排列和偶排列各占一半。
证n级排列的总数为nn－1 2 1=n!个。设其中奇排列为p个，偶排列为q个。若对这p个奇排列施行对换1，2，由定理1.1知，p个奇排列均变为偶排列，故p≤q；同理若对q个偶排列施行对换1，2，则q个偶排列变为奇排列，故q≤p。所以p=q，从而p=q=n!2。
1.2.2n阶行列式的定义利用排列的逆序和奇偶性的概念，三阶行列式D=a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33=∑i1i2i3－1τi1i2i3a1i1a2i2a3i3，
其中∑i1i2i3表示对所有三级排列求和。推广到n阶行列式，有以下结论。定义1.3n2个数aiji=1，2， ，n；j=1，2， ，n排成n行n列，称记号D=a11a12 a1n
a21a22 a2n
an1an2 ann（1.8）
为n阶行列式。它的展开式是n!个项的代数和。这些项是一切可能取自于D的不同行与不同列的n个元素的乘积a1i1a2i2 anin。项a1i1a2i2 anin的符号为－1τi1i2 in，当i1i2 in为奇排列时，该项符号为负;当i1i2 in为偶排列时，该项符号为正，即D=∑i1i2 in－1τi1i2 ina1i1a2i2 anin，（1.9）
其中∑i1i2 in表示对所有n级排列求和。行列式（1。8）简记为D=detaij或D=|aij|。特别地，当n=1时，一阶行列式|a|=a。
例1.4计算n阶行列式D=a110 0
a21a22 0
an1an2 ann。
解n阶行列式D的展开式有n!个项，只需考虑其中的非零项。由于行列式的每一项皆为不同行不同列的n个元素之积，所以行列式中的非零项必为n个非零元素的乘积。
在行列式的第1行中，仅有a11不为零，所以在式（1。9）中，a1i1只能取a11，而a2i2只能取a22，不能取a21，因为a21与a11同列。同理a3i3也只能取a33， ，最后一行只能选ann，从而D=－1τ12 na11a22 ann=a11a22 ann。该行列式主对角线上方的元素全为零，称为下三角行列式；相应地，主对角线下方的元素全为零的行列式，称为上三角行列式。同理，上三角行列式"
……
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