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《微积分.上册》对高等数学知识的讲解由浅入深、循序渐进、通俗易懂、难度适宜，适合作为普通高等院校经济管理类有关专业的微积分课程的教材使用，也可供相关专业人员和教师参考.
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| 內容簡介： |
"《微积分.上册》依照“经济管理类本科数学基础课程教学基本要求”和“研究生入学考试大纲数学三经管类”对高等数学课程的基本要求编写，分上、下两册.上册内容包括一元函数微分学和一元函数积分学及其应用；下册内容包括微分方程与差分方程、无穷级数、多元函数微积分.书后分别附有一元函数和多元函数微积分实验指导.
《微积分.上册》在保证科学性的前提下，结合经济管理类学生的实际情况，注重对概念实际背景的介绍和教学，强化高等数学理论知识在经济管理方面的应用."
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| 目錄：
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"目录
第一章 函数 1
第一节集合 1
一?集合的概念 1
二?集合的表示 1
三?集合的关系 2
四?集合的运算 2
五?两种特殊的数集——区间和邻域 3
习题1G1 4
第二节函数 5
一?函数的概念 5
二?函数的特性 10
三?函数的运算 12
习题1G2 17
第三节经济中的函数举例 18
一?总成本函数?收益函数和利润函数 18
二?需求函数和供给函数 20
三?库存总费用函数 22
四?单利与复利 22
习题1G3 23
本章重要概念英文词汇 24
数学家简介 26
总习题一 27
第二章 极限与连续 29
第一节数列的极限 29
一?极限概念的引入 29
二?数列的概念 29
三?数列极限的定义 30
四?数列极限的性质和两个准则 32
五?数列极限的运算法则 34
习题2G1 36
第二节函数的极限 36
一?自变量趋于有限值时函数的极限 37
二?自变量趋于无穷大时函数的极限 39
三?函数极限的性质和极限存在准则 40
四?函数极限的运算法则 41
五?两个重要极限 43
六?连续复利 46
习题2G2 47
第三节无穷小与无穷大 48
一?无穷小 48
二?无穷大 49
三?无穷小的比较 50
习题2G3 52
第四节函数的连续性与间断点 52
一?函数的连续性 52
二?函数的间断点 54
习题2G4 57
第五节连续函数的性质 57
一?连续函数的和?差?积?商的连续性 57
二?反函数与复合函数的连续性 58
三?初等函数的连续性 59
四?闭区间上连续函数的性质 59
习题2G5 61
本章重要概念英文词汇 61
数学家简介 62
总习题二 63
第三章 导数与微分 66
第一节导数的概念 66
一?引例 66
二?导数的定义 67
三?导数的几何意义 69
四?左?右导数 70
五?函数的可导性与连续性的关系 71
习题3G1 71
第二节函数的求导法则 72
一?函数的和?差?积?商的求导法则 72
二?反函数的求导法则 74
三?复合函数的求导法则 75
四?基本求导公式 77
习题3G2 78
第三节隐函数与参数方程所确定的函数的导数 79
一?隐函数的导数 79
二?对数求导法 80
三?由参数方程所确定的函数的导数 81
习题3G3 82
第四节高阶导数 82
习题3G4 86
第五节函数的微分 86
一?微分的概念 86
二?函数可微的条件 87
三?微分的几何意义 88
四?微分基本公式与微分运算法则 89
五?复合函数的微分法则 89
六?微分在近似计算中的应用 90
习题3G5 91
本章重要概念英文词汇 92
数学家简介 92
总习题三 93
第四章 微分中值定理与导数应用 96
第一节中值定理 96
一?费马引理 96
二?罗尔定理 96
三?拉格朗日中值定理 99
四?柯西中值定理 101
五?中值定理的初步应用 103
习题4G1 104
第二节洛必达法则 105
一?“00”型的未定式 105
二?“∞∞”型未定式的极限 108
三?其他类型未定式的极限 110
习题4G2 113
第三节泰勒公式 114
习题4G3 120
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 121
一?函数的单调性 121
二?曲线的凹凸性与拐点 123
习题4G4 126
第五节函数的极值与最值 127
一?函数的极值及其求法 127
二?最大值?最小值问题 132
习题4G5 136
第六节函数图形的描绘 136
一?曲线的渐近线 136
二?函数图形的描绘 138
习题4G6 141
第七节曲率 142
一?弧微分 142
二?曲率及计算公式 142
习题4G7 145
第八节导数在经济学中的应用 145
一?边际概念 145
二?弹性 149
三?经济学中的最大值?最小值问题 155
习题4G8 159
本章重要概念英文词汇 161
数学家简介 161
总习题四 162
第五章 不定积分 165
第一节不定积分的概念与性质 165
一?不定积分的概念 165
二?基本积分表 167
三?不定积分的性质 168
习题5G1 169
第二节换元积分法 170
一?第一类换元积分法凑微分法 171
二?第二类换元积分法 175
习题5G2 179
第三节分部积分法 180
习题5G3 183
第四节有理函数与可化为有理函数的积分 183
二?可化为有理函数的积分 185
习题5G4 187
本章重要概念英文词汇 188
数学家简介 188
总习题五 189
第六章 定积分及其应用 191
第一节定积分的概念与性质 191
一?引例 191
二?定积分的定义 193
三?定积分的基本性质 195
习题6G1 198
第二节微积分基本公式 198
一?变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 198
二?积分上限函数及其导数 199
三?牛顿莱布尼茨公式 201
习题6G2 202
第三节定积分的换元积分法与分部积分法 203
一?定积分的换元积分法 204
二?定积分的分部积分法 206
习题6G3 209
第四节广义积分 210
一?无限区间上的广义积分 210
二?无界函数的广义积分 212
习题6G4 214
第五节定积分在几何中的应用 215
一?元素法 215
二?平面图形的面积 216
三?体积 218
四?平面曲线的弧长 220
习题6G5 221
第六节定积分在经济中的应用 222
一?由边际函数求总量函数 222
二?收益流的现值和将来值 224
习题6G6 226
本章重要概念英文词汇 226
数学家简介 227
总习题六 227
附录 微积分实验指导上 230
一?MATLAB篇 230
一?引言 230
二?一般介绍 231
项目 一元函数微积分 233
二?EXCEL篇 244
一?引言 244
二?一般介绍 245
项目 一元函数微积分 245
习题答案与提示 251"
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"第一章函数
函数是研究变量之间关系的数学工具，是微积分学的主要研究对象.本章在回顾集合概念的基础上介绍函数的概念?表示法?特性及经济中的常用函数.
第一节集合
集合是数学中的一个基本概念，是集合论的研究对象，在现代数学中起着非常重要的作用.
一?集合的概念
我们常常要研究具有某种特性的事物组成的全体，例如，某班的全体学生，某一批产品，全体整数等，这些事物的全体就是集合.
一般来说，集合是指具有某种特定性质的事物的全体，或是一些确定对象的汇总，通常用大写字母A，B，C，??表示.构成集合的事物或对象，称为集合的元素，通常用小写字母a，b，c，??表示.集合的元素具有唯一性?确定性和排列的无序性.
元素与集合之间用属于与不属于来表示它们之间的关系.若A是给定的一个集合，a是A中的一个元素，则称元素a属于集合A或称元素a在集合A中，记为a∈A;反之，若a不是集合A的元素，则称元素a不属于集合A或元素a不在集合A中，记为a?A.
下面是微积分学中常用的几个数集以数为元素的集合:
?表示不含任何元素的集合，称为空集.
N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集，记作N={0，1，2，3，n，}.
N+={1，2，3，n，}.
Z表示所有整数构成的集合，称为整数集，记作Z={n，-1，0，1，2，3，n，}.
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理数集.
R表示所有实数构成的集合，称为实数集.
人们对于数的认识是逐步深入的，首先是自然数集，然而自然数对减法运算不封闭即，自然数相减不一定是自然数，于是就有了整数集，整数对除法运算不封闭，从而产生了有理数集，随着更深入的研究，无理数产生.有理数与无理数统称为实数.
在中学数学中我们借助于数轴数轴是一条具有原点?正方向和单位长度的直线将数直观地标记在一根数轴上.实数与数轴上的点是一一对应的.为了简便起见，常常将实数和数轴上与它对应的点不加区别，用相同的符号表示，如点a和实数a是相同的意思.
二?集合的表示
集合通常有两种表示法:一种是列举法，即在花括号{}内把集合的全体元素一一列举出来，元素间用逗号分开，如A={a1，a2，??，an};另一种表示法是描述法，即若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成，在花括号{}内画一条竖线，竖线前方写代表元素的字母，竖线后方是描述集合中元素特征的语句，具体可表示为M={x|x具有性质P}.
一般地，列举法适用于元素个数有限的集合，而描述法适用于元素个数无限的集合.
例如，1所有大于2小于10的自然数构成的集合
A={3，4，5，6，7，8，9}或A={x|2x10，x∈n}. 2由方程x2+3x+2="0的实数根构成的集合" a="{-1，-2}或A={x|x2+3x+2=0，x∈R}." 3抛物线y2="4x上的所有点构成的集合" 4在直角坐标系中，由第一象限中所有的点构成的集合=""0，ygt;0}.
三?集合的关系
1包含关系:对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若x∈A，则有x∈B，就称集合A是集合B的子集，记作A?B或B?A，读作“A包含于B”或“B包含A”，如图1-1所示.
若集合A是集合B的子集，而集合B中至少有一个元素不属于
集合A，则称集合A是集合B的真子集，记作A?B.
例如，N?Z，Z?Q，Q?R.
关于子集有以下结论:
i空集是任意集合的子集;
ii任何集合是其自身的子集;
iii如果A?B，B?C，则A?C，即“集合的包含关系具有传递性”.
2相等关系:对于两个集合A与B，如果满足A?B，同时B?A，则称集合A与集合B相等，记作A=B.
例如，A={2，3}，B={x|x2-5x+6=0}，则A=B.
四?集合的运算
定义1设有两个集合A与B，由A和B中的所有元素构成的集合，称为A与B的并，记为A∪B读作“A并B”，即A∪B={x|x∈A或x∈B}，如图1-2所示.
集合的并有下列性质:
1A?A∪B，B?A∪B;
2对任何集合A，有A∪?=A.
定义2设有两个集合A与B，由A和B的所有公共元素构成的集合，称为A与B的交，记为A∩B读作“A交B”，即
A∩B={x|x∈A且x∈B}，如图1-3所示.
集合的交有下列性质:
1A∩B?A，A∩B?B;
2对任何集合A，有A∩?=?.
定义3设有两个集合A与B，由属于A而不属于B的所有元素构成的集合，称为集合A与B的差，记为A-B，即A-B={x|x∈A且x?B}，如图1-4所示.
定义4研究集合与集合之间的关系时，在某些情况下，这些集合都是某一个给定的集合的子集，这个规定的集合称为全集，记为I;全集是相对的，一个集合在某一条件下是全集，而在另一条件下可能不是全集.
例如，微积分课程所讨论的数集常常把全体实数集R作为全集.
定义5已知全集I，集合A?I，由I中所有不属于A的元素构成的集合，称为集合A
在集合I中的补集，记为A读作“A补”，即A={x∈I且x?A}=I-A.
例如，I=R，A={x1≤xlt;5}，则A的余集是A={xxlt;1或x≥5}.
补集具有性质:A∪A=I，A∩A=?.
集合的运算满足以下运算规律.
1交换律:A∪B=B∪A，A∩B=B∩A;
2结合律:A∪B∪C=A∪B∪C;A∩B∩C=A∩B∩C;
3分配律:A∪B∩C=A∩C∪B∩C;A∩B∪C=A∪C∩B∪C;
4德摩根律:A∪B=A∩B;A∩B=A∪B.
本书所用到的有关集合的内容，在中学阶段已经学习过，这里只作简单复习，证明从略.
五?两种特殊的数集———区间和邻域
1数轴上介于某两点之间的线段上点的全体组成的集合，称为区间.
表1是有限区间的定义和表示.
除此之外，还有无限区间.实数集R可以用区间表示为-∞，+∞，其中-∞和+∞分别读作“负无穷大”和“正无穷大”.满足x≥a，xgt;a，x≤b，xb的实数x的集合分别表示为[a，+∞，a，+∞，-∞，b]，-∞，b. 2邻域="" 定义6设x0与δ是两个实数，且δ=""0，满足不等式|x-x0|lt;δ的实数x的全体称为点x0的δ邻域，点x0称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径，记作Ux0，δ图1-5a.即
Ux0，δ={x|x-x0|lt;δ}={xx0-δxx0+δ}. 对邻域半径没有要求时，点x0的邻域可简记为ux0.="" 有时用到邻域时需要把邻域中心去掉，把邻域ux0，δ的中心x0去掉后所得到的集合x0-δ，x0∪x0，x0+δ称为点x0的去心δ邻域或空心邻域，记为u°x0，δ="" 图1-5b，即="" u°x0，δ="{x|0|x-x0|δ}." 为了方便，称开区间x0-δ，x0为点x0的左半邻域，x0，x0+δ为点x0的右半邻域.="" 例如，u-1，3="{x|x--1|3}，表示以-1为中心，3为半径的邻域，即区间-4，2，相应的去心邻域为U°-1，3={x0|x--1|3}，即区间-4，-1∪-1，2，其中-4，-1是-1的左半邻域，-1，2是-1的右半邻域." 习题1-1="" 1.下列六个关系式:①{a，b}?{b，a};②{a，b}="{b，a};③{0}=?;④0∈{0};⑤?∈{0};⑥??{0}，其中正确的个数为." a6个b5个c4个d少于4个="" 2.集合a含有10个元素，集合b含有8个元素，集合a∩b含有3个元素，则集合a∪b的元素个数为.="" a10个b8个c18个d15个="" 3.集合a="{x|x≤1}，B={x|x"a}，如果A∩B=?，那么a的取值范围是.
Aagt;1Ba≥1Calt;1Da≤1
4.A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A-A-B等于.
ABB{2，3}C{1，4，5}D{6}
5.设集合A={1，4，x}，B={1，x2}，且A∪B={1，4，x}，则满足条件的实数x的个数是.
A1个B2个C3个D4个
6.已知集合A=x∈N12
{6-x∈N}，用列举法表示集合A=.
7.集合A={x，yx+y=0}，B={x，yx-y=2}，则A∩B=.
8.已知集合A={x|-3≤x≤3}，B={x|m-1≤x≤2m+1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围.
9.解下列不等式.
1|x-4|lt;7;20lt;x-22lt;4;3|ax-x0|lt;δagt;0，δgt;0，x0为常数.
第二节函数
一?函数的概念
1.函数概念
定义1设非空数集D?R，若对每个x∈D，按照对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记为fx，即y=fx，因变量y与自变量x之间的这种依赖关系，称为函数关系.
函数值fx的全体所构成的集合称为函数f的值域，记为Rf或fD，即
Rf=fD={yy=fx，x∈D}
构成函数的三要素是定义域D也可记作Df?值域及对应法则f.关于函数的定义域，若讨论的是函数表达式，则其定义域为使表达式有意义的一切实数构成的集合，称为自然定义域.如果是实际问题，则根据问题的实际意义具体确定.
定义域的求法有以下四个原则:
1在分式中，分母不能为零;
2在根式中，负数不能开偶次方根;
3在对数式中，真数必须大于零，底数应大于零且不等于1;
4如果函数的解析表达式中含有分式?根式?对数式中的两者或两者以上的，求定义域时应取各部分定义域的交集.
如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.例如，函数fx=x与函数-x=x2定义域相同，但对应法则不同，值域也不同，从而是两个不同的函数.
2.函数的表示方法
常用的函数表示法有解析法?表格法和图像法三种.
解析法又称公式法:用数学表达式表示变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法.解析法是函数的精确描述，是最常用的方法，在微积分中起着重要的作用.
根据函数的解析表达式的形式不同，函数可分为显函数和隐函数.
1显函数:函数y由自变量x的解析表达式直接表示.例如，y=sinx+ex-5.
若函数在其定义域的不同范围内，对应法则用不同式子来表达的函数，则称为分段函数.例如，绝对值函数
2隐函数:函数的自变量与因变量的对应关系由方程Fx，y=0确定.例如，方程x2+y2=1ygt;0可确定函数y=1-x2.从方程中解出函数称为隐函数的显化，但并非所有隐函数都可以显化，如，笛卡儿Descartes叶形线x3+y3-9xy=0.
例1常见的分段函数:
1符号函数
它的定义域D=-∞，+∞，值域Rf={-1，0，1}，图形如图1-6所示.
2取整函数y=[x]，[x]表示不超过x的最大整数图1-7，定义域为D=-∞，+∞，值域为Rf=Z.例
3狄利克雷Dirichlet函数
Dx=1，x为有理数，
它的定义域为实数集R，值域Rf={0，1}.
注分段函数是一个函数，只是自变量x在不同的范围里，要用不同的表达式计算.表格法又称列表法:用自变量的一些数值与相应因变量的对应数值列成表格来表示变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为表格法.例如，我们中学学过的平方表?立方表?对数表等.函数的列表法便于直接由自变量的值去查找相应的因变量的值，但用表格法表示函数关系有时是不够全面的.
图像法又称图示法:用平面直角坐标系中的曲线或点来表示变量x与变量y之间的对应关系，这种表示函数的方法称为图像法.坐标平面上的点集{x，y|y=fx，x∈D}称为函数y=fx，x∈D的图形.
图像法表示函数具有直观性，便于观察函数所具有的变化规律，是研究函数必不可少的工具.生活中常见的例子有心电图?股市走向"xx0+δ}.b的实数x的集合分别表示为[a，+∞，a，+∞，-∞，b]，-∞，b.x10，x∈n}.
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