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| 編輯推薦： |
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《数学模型及其应用》可作为理、工、农、医、经、管等专业的数学模型及相关课程教材，也可以作为教研工作者的参考书．
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| 內容簡介： |
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《数学模型及其应用》主要内容有:绪论、初等模型、微分方程模型、差分方程模型、综合评价模型、线性规划模型、动态规划模型、图论模型、排队论模型、数据的插值与拟合模型、回归分析模型、聚类分析与判别分析模型、中美大学数学建模竞赛真题等，每章后附习题和本章常用词汇中英文对照，完成教学约需40~60学时．
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| 目錄：
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第1章 绪论 1
1.1 数学建模的重要意义 1
1.2 数学建模的基本方法和步骤 5
1.3 数学建模与能力培养 8
习题1 9
本章常用词汇中英文对照 10
第2章 初等模型 11
2.1 人行走的最佳频率 11
2.2 代表名额的公平分配 13
2.3 称重问题 18
2.4 效益的合理分配 22
2.5 量纲分析和无量纲化 25
习题2 33
第3章 微分方程模型 35
3.1 微分方程有关知识简介 35
3.2 种群的群体增长模型 41
3.3 传染病模型 53
3.4 药物在体内的分布与排除 60
3.5 战争模型 63
3.6 经济增长模型 64
习题3 67
本章常用词汇中英文对照 68
第4章 差分方程模型 69
4.1 差分方程简介 69
4.2 市场经济中的蛛网模型 73
4.3 差分形式的阻滞增长模型 76
习题4 78
本章常用词汇中英文对照 79
第5章 综合评价模型 80
5.3 综合评价方法 88
5.4 层次分析模型 91
5.5 足球比赛的排名问题 102
习题5 105
本章常用词汇中英文对照 105
第6章 线性规划模型 106
6.1 线性规划问题及模型 106
6.2 线性规划模型的求解 108
6.3 整数线性规划的求解 117
6.4 两辆铁路平板车问题的求解 120
6.5 最佳阵容问题 122
习题6 130
本章常用词汇中英文对照 133
第7章 动态规划模型 134
7.1 多阶段决策过程与动态规划模型 134
7.2 动态规划基本方程与求解 139
7.3 背包问题 145
7.4 不确定性采购问题 148
7.5 马氏决策规划简介 150
习题7 153
本章常用词汇中英文对照 154
第8章 图论模型 155
8.1 图与网络的基本概念 155
8.2 网络流问题 157
8.3 欧拉问题和汉密尔顿问题 168
8.4 选矿厂厂址的最佳选择 173
8.5 投资项目分配模型及其网络算法 174
习题8 178
本章常用词汇中英文对照 180
第9章 排队论模型 181
9.1 排队论的基本知识 181
9.2 排队服务系统分类及其主要性质 185
9.3 排队问题的随机模拟求解法 194
9.4 矿石装卸模型的分析与模拟 198
习题9 205
本章常用词汇中英文对照 205
第10章 数据的插值与拟合模型 206
10.1 多项式插值方法 206
10.2 样条逼近方法 208
10.3 水道测量数据分析模型 214
习题10 217
本章常用词汇中英文对照 219
第11章 回归分析模型 220
11.1 一元线性回归 220
11.2 多元线性回归 229
11.3 一元非线性回归 233
11.4 回归模型应用举例 237
习题11 243
本章常用词汇中英文对照 245
第12章 聚类分析与判别分析模型 247
12.1 距离和相似系数 247
12.2 系统聚类法 250
12.3 距离判别法 256
12.4 Fisher判别法 260
习题12 264
本章常用词汇中英文对照 266
参考文献 267
附录A 中国大学生数学建模竞赛本科组题目1992~2014 268
附录B 美国大学生数学建模竞赛题目2011~2014 314
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| 內容試閱：
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第1章 绪 论
随着科学技术对研究对象的日益精确化?定量化?数学化以及电子计算技术的迅猛发展和广泛应用，对于广大的科学技术人员和应用数学工作者来说，数学模型是沟通摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁.例如，电气工程师必须建立所要控制的生产过程的数学模型，用这个模型对控制装置作出相应的设计和计算，才能实现有效的过程控制;气象工作者为了得到准确的天气预报，也离不开根据气象站?气象卫星汇集的气压?雨量?风速等资料建立的数学模型;生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化数学模型，就可以分析药物的疗效，有效地指导临床用药;城市规划工作者需要建立一个包括人口?经济?交通?环境等大系统的数学模型，为城市发展规划的决策提供科学根据;厂长经理们根据产品的需求状况?生产条件和成本?贮存费用等信息，筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，一定可以获得更大的经济效益;即便在日常活动如访友?采购中，人们也会讨论也即建立数学模型优化出行的路线等.数学模型业已成为处理科学技术领域中各种实际问题的重要工具，并在自然科学?工程技术科学与社会科学等各个领域中得到广泛应用.
1.1 数学建模的重要意义
1.1.1 什么是数学建模
对数学建模mathematicalmodellin-如果一定要下一个定义的话，可以说它是一种数学的思考方法，是“对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示.”从科学?工程?经济?管理等角度看数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象?简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具.顾名思义，modellin-一词在英文中有“塑造艺术”的意思，故可以理解从不同的侧面?角度去考察问题就会有不尽相同的数学模型，从而数学建模的创造又带有一定的艺术的特点.而数学建模最重要的特点是要接受实践的检验?多次修改模型使之渐趋完善的过程，这可以用图1-1所示的框图来表示.
数学建模并不是新事物，只是在过去很长时间这一术语用得很少而已.可以说有了数学并要用数学去解决实际问题就一定要用数学的语言?方法去近似地刻画该实际问题，而这种刻画的数学描述就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程.两千多年以前创立的欧几里得几何，17世纪发现的牛顿万有引力定律，都是科学发展史上数学建模的著名范例.
1.1.2 数学建模示例
如何控制并预测人口的发展是当前众多发展中国家面临的重要问题之一，因而对人口的控制和预测方面的研究工作越来越受有关政府和社会的重视.影响今后人口总数的因素很多，一般来说，要预测今后某时刻人口的总数是一个很复杂的问题.长期以来人们在这方面作了不少工作，下面介绍两个最基本的人口模型.
1.指数增长模型
最简单的人口增长模型是人所共知的:记某年人口数为x0，k 年后人口数为xk ，年增长率为r，则显然，这个公式的基本条件是年增长率r 保持不变.
200 多年前英国人口学家马尔萨斯Malthus，1766~1834调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型.
记时刻t 的人口数为x t，当考察一个国家或一个较大地区的人口数时，xt是一个很大的整数.为了利用微积分这一数学工具，将xt视为连续?可微的函数.记初始时刻t=0的人口数为x0，假设人口增长率为常数r，即单位时间内xt的增量等于r 乘以xt，考虑t 到t+Δt 时间内人口数的增量，显然有令Δt→0，得到xt满足微分方程:
由这个方程很容易解出r0时，式1-3表示人口数将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型.式中的参数r 和x0 可用历史数据进行估计.
历史上，指数增长模型与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据可以很好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口数也大致符合这个模型.另外，用它作短期人口预测可以得到较好的结果.显然，这是因为在这些情况下，模型的基本假设——人口增长率是常数——大致成立.
但是从长期来看，任何地区的人口数都不可能无限增长，即指数模型不能描述?也不能预测较长时期的人口演变过程.这是因为，人口增长率事实上是在不断地变化着.排除灾难?战争等特殊时期，一般说来，当人口数较少时，增长较快，即增长率较大;人口数增加到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小.
看来，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设.
2.阻滞增长模型Lo-istic模型
分析人口数增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源?环境条件等因素对人口数的增长起着阻滞作用，并且随着人口数的增加，阻滞作用越来越大.所谓阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的.
阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降，若将r 表示为x 的函数rx，则它应是减函数，于是方程1-2可写作对rx的一个最简单的假定是，设rx为x 的线性函数，即
这里r 称固有增长率，表示人口数很少时理论上是x=0的增长率.为了确定系数s 的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm，称人口容量.
当x=xm时人口数不再增长，即增长率rxm=0，代入式1-5得s=rxm ，于是式1-5可改为式1-6的另一种解释是，增长率rx与人口数尚未实现部分的比例成正比，比例系数为固有增长率r.
将式1-6代入方程1-4，得
方程1-7右端的因子rx 体现人口数自身的增长趋势，因子1-x
则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用.显然，x 越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果.
如果以x 为横轴?dxdt为纵轴作出方程1-7的图形图1-2，可以分析人口增长速度dxdt随着x 的增加而变化的情况，从而大致地看出xt的变化规律.
实际上，方程1-7可以用分离变量法求解得到读者可以用计算机画出式1-8的图形，它是一条S 形曲线图1-3，x 的增加先快后慢，t→∞时x→xm，拐点在x=xm2 .
使用这个模型预测美国的人口数，从1820~1930年，计算结果与实际结果都比较相符.但后来出现的误差越来越大，主要原因是1960年后的美国实际人口数就已经超过了过去确定的最大人口数量xm.这个模型的不足之处在于xm 不易确定.通常xm 的值应随生产力的发展和其他环境的改善而增加.
由方程1-7表示的阻滞增长模型，是荷兰生物数学家Verhulst于19世纪中叶提出的，它不仅能够大体上描述人口数及许多物种数量如森林中的树木?鱼塘中的鱼群等的变化规律，而且在社会经济领域也有广泛的应用，如耐用消费品的售量就可以用它来描述.基于这个模型能够描述一些事物符合逻辑的客观规律，人们常称它为Lo-istic模型，本书以后的章节将多次用到它.
用数学工具描述人口变化规律，关键是对人口增长率作出合理?简化的假定.
阻滞增长模型就是将指数增长模型关于人口增长率是常数的假设进行修正后得到的.可以想到，影响增长率的出生率和死亡率与年龄有关，所以，更合乎实际的人口模型应该考虑年龄因素.
参数估计和模型检验是建模的步骤，线性最小二乘法是参数估计如果是基于数据的，又称数据拟合的基本方法，读者应该知道它的原理，并掌握它的软件实现.
1.1.3 数学建模的重要意义
进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透以及电子计算机的出现和飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视.从以下两个方面可以看
出数学建模的重要意义.
1.数学建模是众多领域发展的重要工具
当前，在国民经济和社会活动的诸多领域，数学建模都有非常深入?具体的应用.例如，分析药物的疗效;用数值模拟设计新的飞机翼型;生产过程中产品质量预报;经济增长预报;最大经济效益价格策略;费用最少的设备维修方案;生产过程中的最优控制;零件设计中的参数优化;资源配置;运输网络规划;排队策略;物质管理等.数学建模在众多领域的发展中扮演着重要工具的角色.即便在一般的工程技术领域，数学建模仍然大有可为.在以声?光?电机?土木?水利等工程技术领域中，虽然基本模型是已有的，但由于新技术?新工艺的不断涌现，产生了许多需要数学方法解决的新问题，而由于计算机的快速发展，使得过去某些即使有了数学模型也无法求解的问题如海量数据的问题也有了求解的可能.随着数学向诸如经济?人口?生态?地质等众多所谓和物理领域的渗透，用数学方法研究这些领域中的内在特征成为关键的步骤和这些学科发展与应用的基础.在这些领域里建立不同类型?不同方法?不同深浅程度的模型的余地相当大，数学建模的重要工具和桥梁作用得到进一步体现.
2.数学建模促进对数学科学重要性的再认识
从某种意义上讲，说明数学科学的重要性是件容易的事情，可以举出许多例子从日常生活到尖端技术说明数学为什么是必不可少的，但常常会发现许多人虽然不反对所列举的例子，可还是认为数学没有多大用处或者说数学与其生活和工作没有多大关系.这不仅仅是由于数学的语言比较抽象不容易掌握，还有传统数学教育重知识传授轻实际应用以及其他原因.传统的数学教学比较形式?抽象，只见定义?定理?推导?证明?计算，很少讲与我们周围的世界以至日常生活的密切联系，使得数学的重要性变得很空泛.随着计算机革命引起的深刻变化，数学与实际问题的结合，变得更为密切和广泛，数学建模进入研究生?大学生乃至中学生的学习内容，其思想逐渐融入数学主干课程的教学内容中，数学学科的重要性也显得更实在?更具体.数学建模在众多学科领域乃至日常生活中的广泛应用促使更多人认识到数学科学的重要性.
1.2 数学建模的基本方法和步骤
数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同?分析的方法不同?采用的数学工具不同，所得模型的类型也就不同，不能指望归纳出若干条准则，适用于一切实际问题的数学建模方法.因而，所谓的基本方法主要是从方法论的意义上讲的.
1.2.1 数学建模的基本方法
数学建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种.机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义，前面的示例用的即是机理分析.测试分析将研究对象看作一个“黑箱”系统即它的内部机理看不清楚，通过对系统输入?输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型.
一般来说，如果掌握了实际问题的一些内部机理的知识，模型也要求反映其内在特征，那么，建模就应以机理分析为主;而如果研究对象的内部规律不清楚，模型也不需要反映内部特征，则可以用测试分析.对于许多实际问题常常将两者结合起来建模，即用机理分析建立模型的结构，用测试分析确定模型的参数.
机理分析通常针对具体对象进行，主要通过案例研究来学习;而测试分析有完整的数学方法，本书第11章的回归分析就是其中之一.我们日常所说的数学建模主要指机理分析.
1.2.2 数学建模的一般步骤
数学建模的步骤并没有一定的模式，常因问题性质?建模目的等而异.下面介绍的是用机理分析建模的一般步骤，如图1-4所示.
图1-4 数学建模步骤示意图
模型准备 了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息如现象?数据等，尽量弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”，由此初步确定用哪一类模型.
模型假设 根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的?合理的简化假设.
模型构成 根据所做的假设，用数学的语言?符号描述对象的内在规律，建立包含常量?变量等的数学模型，如优化模型?微分方程模型?差分方程模型?图的模型等.建模时应遵循的一个原则是:尽量采用简单的数学工具，因为你的模型总是希望更多的人了解和使用，而不是只供少数专家欣赏.
模型求解 可以采用解方程?画图形?优化方法?数值计算?统计分析等各种数
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