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Gourgoulhon，法国LUTh教授。 目錄： 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Basic Differential Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Differentiable Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.1 Notion of Manifold. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.2 Vectors on a Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.3 Linear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.4 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.5 Fields on a Manifold. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Pseudo-Riemannian Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1 Metric Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2 Signature and Orthonormal Bases. . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.3 Metric Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.4 Levi-Civita Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Covariant Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.1 Affine Connection on a Manifold . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.2 Levi-Civita Connection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.3 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.4 Weyl Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Lie Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.1 Lie Derivative of a Vector Field. . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.2 Generalization to Any Tensor Field . . . . . . . . . . . . . 27 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Geometry of Hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Framework and Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Hypersurface Embedded in Spacetime. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.2 Normal Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3.3 Intrinsic Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.4 Extrinsic Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3.5 Examples: Surfaces Embedded in the Euclidean Space R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3.6 An Example in Minkowski Spacetime: The Hyperbolic Space H3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4 Spacelike Hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4.1 The Orthogonal Projector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4.2 Relation Between K and rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4.3 Links Between the r and D Connections . . . . . . . . . 47 3.5 Gauss-Codazzi Relations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5.1 Gauss Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5.2 Codazzi Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4 Geometry of Foliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 Globally Hyperbolic Spacetimes and Foliations . . . . . . . . . . . 55 4.2.1 Globally Hyperbolic Spacetimes. . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2.2 Definition of a Foliation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3 Foliation Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3.1 Lapse Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3.2 Normal Evolution Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3.3 Eulerian Observers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3.4 Gradients of n and m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.3.5 Evolution of the 3-Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3.6 Evolution of the Orthogonal Projector. . . . . . . . . . . . 66 4.4 Last Part of the 3+1 Decomposition of the Riemann Tensor . . . 67 4.4.1 Last Non Trivial Projection of the Spacetime Riemann Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.4.2 3+1 Expression of the Spacetime Scalar Curvature . . . 69 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5 3+1 Decomposition of Einstein Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1 Einstein Equation in 3+1 form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.1 The Einstein Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.2 3+1 Decomposition of the Stress-Energy Tensor . . . . 74 5.1.3 Projection of the Einstein Equation. . . . . . . . . . . . . . 76 5.2 Coordinates Adapted to the Foliation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2.2 Shift Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.2.3 3+1 Writing of the Metric Components . . . . . . . . . . 82 5.2.4 Choice of Coordinates via the Lapse and the Shift . . . 85 5.3 3+1 Einstein Equation as a PDE System . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.3.1 Lie Derivatives Along m as Partial Derivatives . . . . . 86 5.3.2 3+1 Einstein System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.4 The Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.4.1 General Relativity as a Three-Dimensional Dynamical System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.4.2 Analysis Within Gaussian Normal Coordinates . . . . . 89 5.4.3 Constraint Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.4.4 Existence and Uniqueness of Solutions to the Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.5 ADM Hamiltonian Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.5.1 3+1 form of the Hilbert Action . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.5.2 Hamiltonian Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6 3+1 Equations for Matter and Electromagnetic Field. . . . . . . . . . 101 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.2 Energy and Momentum Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.2.1 3+1 Decomposition of the 4-Dimensional Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.2.2 Energy Conservation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.2.3 Newtonian Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.2.4 Momentum Conservation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.3 Perfect Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.3.1 Kinematics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.3.2 Baryon Number Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.3.3 Dynamical Quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.3.4 Energy Conservation Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.3.5 Relativistic Euler Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.3.6 Flux-Conservative Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.3.7 Further Developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.4 Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.4.1 Electromagnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.4.2 3+1 Maxwell Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.4.3 Electromagnetic Energy, Momentum and Stress . . . . . 122 6.5 3+1 Ideal Magnetohydrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.5.1 Basic Settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.5.2 Maxwell Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.5.3 Electromagnetic Energy, Momentum and Stress . . . . . 127 6.5.4 MHD-Euler Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.5.5 MHD in Flux-Conservative Form . . . . . . . . . . . . . . . 129 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7 Conformal Decomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.2 Conformal Decomposition of the 3-Metric. . . . . . . . . . . . . . . 135 7.2.1 Unit-Determinant Conformal ''''Metric''''. . . . . . . . . . . 135 7.2.2 Background Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.2.3 Conformal Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.2.4 Conformal Connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.3 Expression of the Ricci Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.3.1 General Formula Relating the Two Ricci Tensors . . . 141 7.3.2 Expression in Terms of the Conformal Factor . . . . . . 142 7.3.3 Formula for the Scalar Curvature . . . . . . . . . . . . . . . 142 7.4 Conformal Decomposition of the Extrinsic Curvature . . . . . . . 143 7.4.1 Traceless Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.4.2 Conformal Decomposition of the Traceless Part . . . . . 144 7.5 Conformal Form of the 3+1 Einstein System . . . . . . . . . . . . . 147 7.5.1 Dynamical Part of Einstein Equation . . . . . . . . . . . . 147 7.5.2 Hamiltonian Constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.5.3 Momentum Constraint. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.5.4 Summary: Conformal 3+1 Einstein System . . . . . . . . 151 7.6 Isenberg-Wilson-Mathews Approximation to General Relativity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8 Asymptotic Flatness and Global Quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.2 Asymptotic Flatness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 8.2.2 Asymptotic Coordinate Freedom . . . . . . . . . . . . . . . 161 8.3 ADM Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 8.3.1 Definition from the Hamiltonian Formulation of GR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 8.3.2 Expression in Terms of the Conformal Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.3.3 Newtonian Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.3.4 Positive Energy Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 8.3.5 Constancy of the ADM Mass. . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.4 ADM Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.4.2 ADM 4-Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 8.5 Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 8.5.1 The Supertranslation Ambiguity . . . . . . . . . . . . . . . . 172 8.5.2 The ''''Cure'''' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 8.5.3 ADM Mass in the Quasi-Isotropic Gauge . . . . . . . . . 174 8.6 Komar Mass and Angular Momentum. . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 xiv Contents 8.6.1 Komar Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8.6.2 3+1 Expression of the Komar Mass and Link with the ADM Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.6.3 Komar Angular Momentum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 9 The Initial Data Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 9.1.1 The Initial Data Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 9.1.2 Conformal Decomposition of the Constraints . . . . . . . 188 9.2 Conformal Transverse-Traceless Method . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.2.1 Longitudinal Transverse Decomposition of ^A ij . . . . . 189 9.2.2 Conformal Transverse-Traceless Form of the Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 9.2.3 Decoupling on Hypersurfaces of Constant Mean Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 9.2.4 Existence and Uniqueness of Solutions to Lichnerowicz Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.2.5 Conformally Flat and Momentarily Static Initial Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 9.2.6 Bowen-York Initial Data. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 9.3 Conformal Thin Sandwich Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 9.3.1 The Original Conformal Thin Sandwich Method . . . . 204 9.3.2 Extended Conformal Thin Sandwich Method . . . . . . . 205 9.3.3 XCTS at Work: Static Black Hole Example . . . . . . . 207 9.3.4 Uniqueness Issue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.3.5 Comparing CTT, CTS and XCTS. . . . . . . . . . . . . . . 210 9.4 Initial Data for Binary Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 9.4.1 Helical Symmetry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 9.4.2 Helical Symmetry and IWM Approximation . . . . . . . 213 9.4.3 Initial Data for Orbiting Binary Black Holes . . . . . . . 214 9.4.4 Initial Data for Orbiting Binary Neutron Stars . . . . . . 216 9.4.5 Initial Data for Black Hole: Neutron Star Binaries . . . 217 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 10 Choice of Foliation and Spatial Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . 223 10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 10.2 Choice of Foliation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.2.1 Geodesic Slicing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.2.2 Maximal Slicing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 10.2.3 Harmonic Slicing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 10.2.4 1+log Slicing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 10.3 Evolution of Spatial Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 10.3.1 Normal Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 10.3.2 Minimal Distortion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 10.3.3 Approximate Minimal Distortion . . . . . . . . . . . . . . . 241 10.3.4 Gamma Freezing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 10.3.5 Gamma Drivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 10.3.6 Other Dynamical Shift Gauges. . . . . . . . . . . . . . . . . 246 10.4 Full Spatial Coordinate-Fixing Choices . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 10.4.1 Spatial Harmonic Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 10.4.2 Dirac Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 11 Evolution schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 11.2 Constrained Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 11.3 Free Evolution Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 11.3.1 Definition and Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 11.3.2 Propagation of the Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 11.3.3 Constraint-Violating Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 11.3.4 Symmetric Hyperbolic Formulations . . . . . . . . . . . . . 262 11.4 BSSN Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 11.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 11.4.2 Expression of the Ricci Tensor of the Conformal Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 11.4.3 Reducing the Ricci Tensor to a Laplace Operator. . . . 265 11.4.4 The Full Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 11.4.5 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Appendix A: Conformal Killing Operator and Conformal Vector Laplacian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Appendix B: Sage Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

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