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Olive）和《高能过程模型》（剑桥大学出版社，1980年）。 目錄： 各篇文章作者简介 引言（约翰?珀金霍恩） 1　数学是一种发现还是一种发明？（蒂莫西?高尔斯） 评论（吉迪恩?罗森） 2　探索巴别数学图书馆（马库斯?杜索托伊） 评论（马克?施泰纳） 3　数学实在（约翰?珀金霍恩） 评论 （玛丽?伦） 答玛丽?伦（约翰?珀金霍恩） 4　数学、大脑与物理世界（罗杰?彭罗斯） 评论（迈克尔?德特勒夫森） 5　数学的理解（彼得?利普顿） 评论（斯图尔特?夏皮罗） 6　数学中的创造和发现（玛丽?伦） 评论（迈克尔?德特勒夫森） 7　发现、发明和实在论：哥德尔和其他人关于概念实在性的观点（迈克尔?德特勒夫森） 评论（约翰?珀金霍恩） 8　数学与客观性（斯图尔特?夏皮罗） 评论（吉迪恩?罗森） 答复（斯图尔特?夏皮罗） 9　 数学对象的实在性（吉迪恩?罗森） 评论（蒂莫西?高尔斯） 10　我们从数学中得到的要比赋予它的多（马克?施泰纳） 评论（马库斯?杜索托伊） 参考文献 索引 內容試閱： 引言 约翰?珀金霍恩 数学到底是一种由行家施展身手来表演如何化解难题的高度复杂的智力游戏，还是数学家在探索数学实在这一独立领域过程中所带来的发现？为什么这个看似抽象的学科能够提供打开物理宇宙深层秘密的钥匙？如何回答这些问题将明显影响着我们对实在的形而上的思考。在冈道尔夫堡和剑桥召开的两次跨学科专题讨论会上，数学家、物理学家和哲学家们对这些问题进行了探讨。本书以周详的形式再现了每位与会者在会议热烈讨论中所展现的风采。文章尽力保持这样一种平衡：既反映进行这种讨论所需的思想精确性，又照顾到准备在此领域做出一番事业的非专业读者的可读性。 剑桥大学科学哲学教授彼得?利普顿参加了第一次会议，并有精彩发言。但不幸的是，这之后他溘然长逝，对此我们感到非常难过。所有与会者有一个共同心愿：将本书作为我们对这位尊敬的学者和谦和、富于启迪的同事的美好追忆。 本书的前两章由数学家蒂莫西?高尔斯和马库斯?杜索托伊撰写。他们能够充分利用长期从事数学研究的丰富经验来阐述问题。高尔斯特别重视“发明”和“发现”这两个词是如何被数学界实际运用的。他的结论是，当导致重要结论的论证基本上只有唯一一条途径时，用“发现”来说明似乎是恰当的。而如果存在多条清晰的论证途径时，则人们更愿意用“发明”一词来形容。杜索托伊描述了在洞察一个事件时灵感闪现的情形，这是这样一种经验：可以确信，有待识别的东西早就“已经在”那儿等待被发现了。 接下来的两章由数学物理学家约翰?珀金霍恩和罗杰?彭罗斯撰写。珀金霍恩旨在通过对哥德尔不完全性和人类数学能力进化的论述来捍卫数学实在。两位物理学家都非常看重数学在他们做出发现过程中所扮演的角色。彭罗斯认为，哥德尔不完全性意味着有意识的思想要远比神经网络计算来的复杂。 其余章节由哲学家执笔。彼得?利普顿撰写的一章以短文呈现，以彰显他对第一次研讨会做出的贡献。这篇文章讨论了知识、理解和解释等概念，强调了他认为这些概念在科学和数学之间应用的差异。斯图尔特?夏皮罗帮忙为本文提供了一个附录，说明本次讨论的一些方法可能会得到进一步扩展。玛丽?伦对那种发现的感觉——许多数学家论证认为必然由此导致柏拉图的数学实在的观点——持否定态度。相反，她认为，这种感觉可以理解为出自逻辑上的必然性。迈克尔?德特勒夫森则对古代和现代围绕发明或发现的争论进行了广泛的调查。他对哥德尔著名的数学“知觉”与感性知觉之间的类比给予了谨慎的批评。斯图尔特?夏皮罗认为，数学是一种人类活动，其传统源自人类的选择。在他看来，关键概念是“认知律令”。这个概念用来说明不同的人做同样的计算所取得的结果应有必然的一致性这一现象。他认为这一观点鼓励人们从发现的角度看问题。吉迪恩?罗森探讨了这样一种观念：数学的地位相当于他所谓的“有条件的实在论”。他将这一判断描述成对数学作为“形而上学上第二等”的一种裁决，因为它依赖于更基本的逻辑事实。最后，马克?施泰纳将我们领向笛卡尔而不是柏拉图。他强调，数学似乎能够提供某种“剩余价值”，允许数学家超越公理。（数学家自己则将这种超越称为“深入”的品质）。 本项研讨会的一个特点是讨论氛围的活泛和透彻。与会者希望本书能将这种气质传递给读者，因此我们对每篇文章都附上一篇由其他与会者撰写的短评。我们相信，这些评论是正文报告的一个重要组成部分，它反映了研讨会带来的启发性和挑战性。 研讨会的两次会议均得到了约翰?邓普顿基金会的支持。所有与会者对这一慷慨资助表示由衷的感激。我们特别要感谢基金会的玛丽?安?迈尔斯博士，她在组织协调方面提供了大力帮助，并对会议议题表现出浓厚兴趣。 1 数学是一种发现还是一种发明？ 蒂莫西?高尔斯 本章标题是一个著名的问题。事实上，也许这个问题有点过于出名了：不断有人提出这个问题，但怎么作答都不能令人满意。在形成本书的讨论中，大家推举我来回答这个问题。由于大多数参与讨论的都不是研究数学的专家，因此希望我能从数学家的角度来处理这个问题。 提出这个问题的一个原因似乎是人们希望用它来支持自己的哲学观点。如果数学是一种发现的话，那便意味着原本就有某种东西在那里等待数学家去发现，这种认识似乎支持了柏拉图主义的数学观点；而如果数学是一种发明的话，那么它则为非实在论关于数学对象和数学真理的观点提供了某种论据。 但在得出这样一个结论之前，我们需要从细节上充实论据。首先，当我们说数学的某项内容被发现时，我们必须十分清楚这指的是什么，然后我们必须在这个意义上解释清楚为什么能够得出这一结论（这套程式被称为柏拉图式论证）。我自己并不认为这套做法能够贯彻到底，但它至少从一开始就试图阐明这样一个不争的事实：几乎所有数学家在成功证明某个定理时都会感到好像他们做出了某种发现。我们可以用非哲学的方式来看待这个问题，这里我正是尝试这么做的。例如，我会考虑是否存在某种可识别的东西，以便鉴别哪些东西看上去像是数学发现，哪些更像是数学发明。这个问题部分属于心理学范畴的问题，部分属于是否存在数学陈述的客观性的问题，即属于解释某个数学陈述是如何被感知的问题。要想论证柏拉图的观点成立，我们只需要指明存在某些被发现的数学事实就足矣：如果事实证明，存在两大类数学，那么我们或许就能够理解这种区别，对何为数学发现（而不是单纯的数学结果）做出更精确的定义。 从词源上说，所谓“发现”通常是指当我们找到了某个早已在那儿但我们此前不知道的东西。例如，哥伦布对美洲的发现（尽管人们出于其他原因对此大可质疑），霍华德?卡特于1922年发现了图坦卡蒙的墓，等等。尽管所有这些发现并非我们直接观察到的，但我们依然能够这样说。例如我们都知道是J. J. 汤姆孙发现了电子。与数学关联更强的是如下事实的发现——例如我们可以确切地说，是伯恩斯坦和伍德沃德发现（或对这一发现有贡献）了尼克松与水门入室盗窃案有关。 在所有这些情形里，我们都观察到一些引起我们注意的现象或事实。因此有人可能会问，我们是否可以将“发现”定义为从未知到已知的转变过程。但有不少事例表明，事实并非如此。举例来说，喜欢做填字游戏的人都知道这样一个有趣的事实，单词“carthorse”和“orchestra”属于一对字母换位词。我相信肯定是某个地方的某个人最先注意到这个事实，但我宁愿将它称为“观察”（我用“注意到”这个词来描述这一事实）而不是“发现”。为什么呢？这是因为“carthorse”和“orchestra”这两个词我们每天都用，它们之间是一种简单关系。但是为什么熟悉的单词间关系我们不能称之为发现呢？另一种可能的解释是，一旦这种关系被指明，我们很容易验证它的成立，我们没必要从美国跑到埃及去宣讲这一事实，也没必要通过做精密的科学实验予以验证，或设法获取某个秘密文件才能知晓。 至于谈到柏拉图式论证的证据，“发现”和“观察”的区别不是特别重要。如果你注意到某个事实，那么这个事实一定在你注意到它之前已经在那里了，同样，如果你发现了某个事实，那一定是在你发现之前它就存在了。因此我认为，观察事实属于某种发现而不是一种根本不同的现象。 那什么是发明呢？我们做的什么样的事情属于发明呢？机器是一个很好的例子：谈到蒸汽机，或飞机，或移动电话，我们说这些是发明。我们还认为游戏属于发明，例如英国人发明了板球。我更想指出的是，“发明”是以适当的方式来描述所发生的事。艺术为我们提供了这方面的一些更有趣的例子。人们从来不会说某个艺术品是被发明出来的，但会说发明了某种艺术风格或技巧。例如，毕加索不是发明了《阿维尼翁的少女》（Les Desmoiselles d’Avignon），但确实是他和布拉克发明了立体派绘画艺术。 从这些例子我们得出一种共识，我们发明的东西往往不是单个对象，而是生产某类对象的一般方法。当我们说到蒸汽机的发明时，我们不是在谈论某台特定的蒸汽机，而是一种概念——一种将蒸汽、活塞等东西巧妙地结合起来用以驱动机器的设计，它能够导致许多蒸汽机的建造。同样，板球是一套规则，它可以带来各种形式的板球运动，立体派则是一种对各种立体派绘画的一般性指称。 有人将数学发现这一事实看作是柏拉图学派数学观的证据，其实他们试图表明的是，某些抽象实体具有独立存在的属性。我们认可体现这些抽象实体真实性的某些事实，与我们接受具体事物真实性的某些事实有大致相同的原因。例如，我们认为存在无穷多个素数这一陈述就是一种真实的事实，这是因为的确存在无限多的自然数，并可确信，这些自然数中确实存在无限多个素数。 有人也许认为，抽象概念是一种独立存在这一点也可以作为“数学是一种发明”这一观念的证据。确实，我们有关发明的很多例子都以某种重要方式与抽象概念相关联。前述“蒸汽机”便是这样的一个抽象概念，板球规则也是如此。绘画中的立体派是一个比较麻烦的例子，因为它没有那么精确的定义，但它无疑是具体的而不是抽象的。但我们发明这些概念时为什么不说这些抽象概念是一种存在呢？ 一个原因是，我们认为独立存在的抽象概念应该是永恒的。因此，在英国人发明板球规则时，尽管这些规则属于抽象领域并成为一种存在，但我们不倾向于认为它们是永恒的。更诱人的一种观点是，他们是从巨大的“规则空间”里选择了板球规则，这个规则空间包含了所有可能的规则集（其中大部分规则会引起可怕的游戏）。这种观点的缺陷是，它用大量垃圾概念充斥了抽象领域，但实际情形也许真的是这样。例如，数空间显然包含所有的实数，但其中除了“可数的”这个子集外，其他的都无法定义。 反对“我们发明抽象概念从而使它变成存在”的另一种论证认为，我们发明的概念不是基本的，它们往往是对其他一些（抽象或具体的）更简单的对象的处理方法。例如，板球规则的描述就涉及到包含22名球员、一个球和两个球门的一组概念之间的约束。从本体论的角度看，球员、球和球门显然比约束它们之间相互关系的规定更基本。 前面我提到过，谈到某一件艺术品时我们通常不会用“发明”一词来指称。当然我们也不会说“发现”了它，而是通常用“创造”这个词来指称。大多数人在被问到这个问题时都会认为，“创造”一词在这里其词意接近于“发明”而不是“发现”，正像“观察”一词的词意接近于“发现”而非“发明”。 这是为什么呢？是这样的：在这两种情况下，变得存在的那件东西原本有许多任意性。如果我们可以将时钟拨回到板球被发明出来之前，让世界重新演化一遍，我们很可能会看到发明出一种类似的游戏，但其游戏规则不太可能与板球比赛规则完全相同。（有人可能会反驳说，如果物理定律是确定的，那么这个世界应当精确地按照它第一次演化时那样演化。在这种情况下，它重新演化时只会做一些小的随机变化）。同样，如果有人在毕加索刚创作完《阿维尼翁的少女》后便不小心毁坏了它，迫使毕加索不得不重新开始创作，那么他创作的可能是一幅类似但不完全相同的画。与此相反，如果没有哥伦布，那么也会有其他人发现美洲，而不是在大西洋的另一边发现的只是一块巨大的、面积大致相同的陆地。而单词“carthorse”和“orchestra”的有趣性与谁是第一个观察到这一点无关。 有了这些思想上的准备，现在我们回到数学上来。同样，我们先看一些人们常例举的著名例子将有助于我们对问题的理解。我先列举一些发现、观察和发明的事例（我无意设定这样一种场景，好像我可以确定地表示某些数学问题是创造出来的），然后尝试着解释为什么每个事例会是按这种方式来描述。 数学上几个知名的发现方面的例子是：二次方程有通解公式但五次方程则没有类似的公式；存在大魔群；存在无穷多个素数。稍微观察一下即可知，小于100的素数的数目是25；3的各次幂的最后一位数字构成序列3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1，...；数字10001可分解为73乘以137。水平稍高一点儿的事例则有：如果你通过设z0 = 0，zn= z2n-1 + C （对每个n　0）定义了一个无穷的复数序列z0, z1, z2, ...，则所有复数C的集合（假定序列不趋于无穷大，这个集称为曼德布罗特集）具有显著的复杂结构。（我将这个例子归于中等数学水平是因为，虽然曼德布罗特和其他人几乎是由于偶然而无意中发现了它，但它已经在变成了动力系统理论中具有根本的重要性。） 另一方面，人们常说牛顿和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。（用这个例子的过程还有点巧合。我原本考虑过这个例子。那天在我写这一段时，恰好电台在播送关于他们的优先权纠纷的节目，用的词就是“发明”。）人们有时也会谈论某些数学理论（而不是定理）的发明。说格罗滕迪克（Grothendieck[ Alexander Grothendieck（1928～），法国数学家，生于德国柏林。他创立的概型理论将代数几何的研究提升到了一个全新的境界，被誉为20世纪代数几何领域最重要的进展之一。1966年荣获菲尔兹奖。——译注]）发明了概型理论（theory of schemes），这听起来一点都不荒谬，虽然人们也可能同样会用“引入”或“发展”来描述这一理论。同样，这三个词也都被用来描述科恩的力迫法（forcing method），他用这一方法来证明连续统假说的独立性。[ Paul Joseph Cohen 1934 ～2007，美国斯坦福大学数学教授，因提出称为“力迫法”的数学证明方法而闻名。他用这种方法证明了，连续统假说和选择公理都不能用集合论的策梅洛-弗伦克尔（Zermelo-Fraenkel）公理标准来证明。——译注 ] 这里我们感兴趣的是，“发明”、“引入”和“发展”这三个词都暗示了这样一点：某些一般性方法应运而生。 有可能存在争议的一个数学对象是“i”或更一般的复数系统。复数是一种发现还是一种发明？或者说，数学家通常提到复数进入数学领域时用的是“发现”类型的词还是用“发明”类型的词？如果你在Google上输入词组“复数的发明”和“复数的发现”，你会得到大致相同的点击次数（二者均在4500和5000之间），所以这个问题似乎没有明确答案。但这也是一个有用的数据。类似的一个例子是非欧几何，虽然“非欧几里德几何的发现”与“非欧几何的发明”的点击次数的比例约为3:1。 另一种不明确的情形是证明：它们是一种发现还是一种发明？有时候证明似乎很自然——数学家常讲，一个陈述的“（逻辑上）正确的证明（right proof）”并不意味着它是唯一真确的证明（correct proof），而只是表明它是一个能真正解释为什么这一陈述是对的的证明——“发现”这个词显而易见可用于这一情形。但有时候人们谈到类似的东西时却感到下面这样的表述更恰当，譬如说，“猜想2.5在1990年首度获得证明，但在2002年，史密斯给出了一个巧妙且非常简短的证明，这一证明实际上建立了一种更一般的结果。”在这句话里，人们可以用“发现”来替代“给出（came up with）”一词，但后者更好地刻画了这样一层意思：史密斯的方法只是众多有可能提出的方法中的一种，但史密斯并不是简单地纯属偶然地找到了这种方法。 让我们来小结一下上述观点，看看数学中的哪些部分可以归结为发现、发明或不能明确用二者来描述，并能否给予解释。 非数学的例子表明，当发现者对观察对象或事实不能控制时，我们通常用“发现”和“观察”来描述这一发现过程。而当对象或程式具有许多可由发明者或设计者选择的特性时，那么我们就用“发明”或“创造”来描述这一对象或程式的诞生过程。由此我们也得出了对这两类过程的一些更精细但不那么重要的区别：“发现”往往比“观察”更重要，但较不易事后验证。而“发明”往往比“创造”更具一般性。 当我们谈论数学时这些区别还会继续保持上述大致相同的形式吗？前面我提到二次方程解的通项公式被发现的例子。当我尝试说“二次方程解的通项公式的发明”这句话时，我发觉我不喜欢这么描述，确切的原因是，ax2 + bx + c的解是数 ，无论是谁最先推导出这个公式，但这一公式的最终形式是什么样子是没有任何选择余地的。当然记述公式的符号可能会有不同，但那是另一回事。我不想在此讨论两个公式“本质上相同”是什么意思，这里我只需简单地说，公式本身是一个发现，但不同的人会用不同的方式来表达它。然而当我们来考察其他的例子时，这种担心会再次出现。 五次方程无通解就是另一个简单例子。它是指“五次以及高于五次的常系数代数方程没有由方程系数经有限次四则运算和开方运算确定的求根方法”[ 这一表述称为阿贝尔定理。——译注]，对此阿贝尔也无法改变。因此，他的著名定理就是一种发现。然而，他的证明方法的具体细节可以被看作发明，因为后来有了很不相同的证明方法。这其中特别值得指出的是伽罗瓦的与此密切相关的工作，他发明了群论。（“群论的发明”这句话在Google上有40,300条，相比之下，“群论的发现”只有10条）

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