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未定权益定价与套期保值的主要内容 1 随机分析引论 1.1 现代概率论基础 1.2 条件期望与随机过程基础 1.3 布朗运动 1.4 随机分析初步 1.5 Ito过程与Ito随机微分方程 1.6 Girsanov定理与鞅表示定理 1.7 一般半鞅的随机分析 2 指数半鞅模型的资产定价基本定理 2.1 引言 2.2 随机指数和随机对数 2.3 市场模型假设 2.4 资产定价理论的基本概念 2.5 资产定价的基本定理 3 指数半鞅模型未定权益的定价与套期保值 3.1 模型假设与问题提出 3.2 未定权益均值-方差套期保值问题 3.3 均值方差最优策略的存在性与唯一性 3.4 均值方差最优策略的精确表示 3.5 均值方差套期保值相关问题 3.6 风险最小套期保值策略 3.7 均值方差最优策略与风险最小套期保值策略比较 3.8 效用无差别定价和套期保值策略 4 多维扩散过程模型的套期保值策略 4.1 模型假设 4.2 极小鞅测度和方差最优鞅测度 4.3 风险最小策略和均值方差最优策略 4.4 最小熵鞅测度及效用无差别套期保值策略 5 随机波动率模型的套期保值策略 5.1 模型假设 5.2 极小鞅测度和方差最小鞅测度 5.3 Follmer-Schweizer分解的构造 5.4 风险最小策略和均值方差最优策略 5.5 最小熵鞅测度及效用无差别套期保值策略 6 跳扩散半鞅模型 6.1 跳扩散半鞅价格模型 6.2 跳扩散半鞅的等价鞅测度 6.3 跳扩散模型的极小鞅测度 6.4 跳扩散模型的最小熵鞅测度 6.5 跳扩散模型的方差最优鞅测度 6.6 多维跳扩散市场模型 7 非标准市场模型的套期保值策略 7.1 限制信息市场中的风险最小套期保值 7.2 随机点过程市场模型下风险最小套期保值策略 7.3 有附加市场信息模型下的混合套期保值 8 期权定价的鞅方法 8.1 期权的鞅方法定价原理 8.2 几何Brown运动的期权定价 8.3 跳扩散过程模型的期权定价 8.4 广义指数O-U模型下的期权定价 9 期权定价的保险精算方法 9.1 保险精算定价的基本概念 9.2 广义Black-Scholes模型的保险精算定价 9.3 保险精算定价方法的应用举例 9.4 保险精算定价与传统的无套利定价的区别与联系 参考文献 內容試閱： 0　绪论 数理金融学是一门新兴的交叉学科，在国际金融界和应用数学界受到高度重视．1997年诺贝尔经济学奖授予Scholes和Merton就是为了奖励他们在期权定价（如著名的Black-Scholes公式）等数理金融学方面的贡献．数理金融学之所以被人们如此重视的主要原因是：首先，随着金融市场的蓬勃发展，金融市场呈现出高度的不确定性与高风险性，特别是这几年金融衍生工具给国际金融业造成巨大冲击，促使学术界和实业界开始考虑如何正确评估衍生产品的风险性，如何加强对资产投资组合的风险管理，这些客观要求使得人们对金融衍生证券的研究更加重视；其次，由于未定权益定价的基本原理已融汇于其他的经济理论中，这使得关于未定权益定价一般原理的探索、期权定价模型的建立及其实证检验分析越来越受到金融学界的重视；最后，数理金融学模型的建立，对金融市场风险分析、预测与监控有着非常重要的作用． 0．1　数理金融学的历史 数理金融学是金融学和数学的交叉性学科，它通过建立金融市场的数学模型，利用数学工具（如概率论和最优化理论）研究风险资产（包括金融衍生产品和金融工具）的定价、避险和最优投资消费策略的选择．数理金融学是现代金融学的核心，它不仅对金融工具的不断创新和金融市场的有效运作产生直接影响，而且在公司的投资决策、研究项目的评估和金融机构的风险管理中有广泛的应用． 数理金融学的研究对象是金融市场上风险资产的投资和交易，其目的是利用有效的数学工具揭示金融学的本质特征，并且对具有潜在风险的各种未定权益进行合理定价和选择规避风险的最优策略．现代数理金融学被认为是两次“华尔街革命”的产物．第一次“华尔街革命”是指1952年马科维茨（H．M．Markowitz，1990年诺贝尔经济学奖获得者之一）的证券组合选择理论的问世．第二次“华尔街革命”是指1973年布莱克索尔斯（Black-Scholes）期权定价公式的问世．两次“革命”的共同特点是避开了一般经济均衡的理论框架，从而导致以华尔街为代表的国际金融市场发生巨大变革，其直接产物就是一门新兴的交叉学科――数理金融学的诞生． 数理金融学的历史最早可以追溯到1900年法国数学家巴歇里埃（L．Bachelier）的博士论文――投机理论（thetheoryofspeculation）．这位法国天才在Einstein和Wiener（在1905年正式建立Brown运动的数学模型）之前就已经认识了Wiener函数的一些重要性质，如扩散方程和Brown运动的极值分布，并在其博士论文“投机理论”中首次用Brown运动来描述股票价格的变化，并给出了欧式买权的定价公式．遗憾的是，他在建立模型时犯了三个原则性错误：第一，假设标的股票的价格服从正态分布，这使得股价出现负值的概率大于零，从而与实际的股票价格明显不符；第二，认为在离到期日足够远的时候，买权的价值可能大于标的股票的价值，这显然也是不可能的；第三，假设股票的期望报酬（即股价变化的平均值）为零，这违背了股票市场的实际情况．正因如此，Bachelier的论文一直不被人重视，直到1965年由著名的经济学家萨缪尔逊（P．Samuelson，1970年诺贝尔经济学奖获得者）的推荐才被金融界知晓．尽管如此，他提出的效率市场的概念为后人的研究指出了方向． 1952年马科维茨的博士论文“投资组合的选择”（Portfolioselection）是金融学也是数理金融学的一个重大突破．他考虑这样的问题：如果一名投资者为减少风险而同时对多种股票进行投资，那么怎样的投资组合最好？为解决这一问题，他提出了均值方差最优投资组合模型．他认为，投资者的目标应该是收益的期望效用最大化，而不仅仅是期望收益最大化．他用收益率的方差来衡量风险，将各证券收益率之间的比例作为变量，从各证券收益率的统计特性出发，先用二次规划确定可供投资者选择的有效投资组合边界，然后根据投资者的效用函数（对收益和风险的权衡）确定最优投资组合．这是一个单阶段的投资组合问题，后来众多学者用动态规划的方法将这一理论推广到多阶段的情形． 1954年阿罗（K．Arrow，1972年诺贝尔经济学奖获得者之一）和德布罗（G．Debreu，1983年诺贝尔经济学奖获得者之一）提出了不确定性经济的一般均衡模型，它是金融资产均衡定价理论的基础，是现代数理金融学的重要源泉之一．他们用泛函分析中的不动点定理严格证明了均衡的存在性．阿罗在均衡的稳定性、证券市场的经济理论、价格体系对分散化决策的可能性、竞争均衡的Pareto最优性等一系列问题上都有影响深远的贡献． 1958年莫迪里亚尼（F．Modigliani，1985年诺贝尔经济学奖获得者）和米勒（M．H．Miller，1990年诺贝尔经济学奖获得者之一）首次从金融市场均衡理论出发研究了公司财务决策，提出的Modigliani-Miller定理（M-M定理）已经成为公司财务理论的基础．他们在假定金融市场处于均衡状态、公司无赋税且无破产成本的前提下，证明了公司的市场价值只依赖于它的利润流，而与公司的资本结构（债券与股权之比）无关，也与它的分红策略（债券者与股权者之间利润分割）无关．他们首次提出了无套利假设．简单地讲，无套利假设是指在一个完善的金融市场中，不存在套利机会（即确定的低买高卖之类的机会）．利用无套利假设证明了：如果M-M定理不成立，则在金融市场上可以构造出有套利机会的投资策略．套利推理对数理金融学的发展（如套利定价理论和期权定价鞅方法）产生了重要的影响． 20世纪60年代中期，在马科维茨的均值方差投资组合理论的基础上，夏普（W．F．Sharpe）、林特纳（J．Lintner）和毛新（J．Mossin）研究了在竞争均衡市场中，金融资产的价格形成，提出了著名的资本资产定价模型（capitalassetpricingmodel，CAPM）．他们用投资组合（或更一般的资本资产）的价格变化与“市场投资组合”（即按每种证券的市值与市场中证券总市值之比确定权重）的价格变化之间的回归系数来衡量证券交易的风险．他们认为市场投资组合是刻画证券市场总体变化的量，理论上可由马科维茨的分析得到，实际计算时可由证券指数得到．他们证明了在均衡市场中，市场投资组合是有效投资组合，每种组合资产的预期收益率和它们与市场投资组合的协方差之间有线性关系，这就是资本资产定价模型．CAPM在证券估价、投资组合绩效的测定、资本预算和投资风险分析中得到广泛应用．马科维茨、夏普、米勒三人因其在金融学中的巨大贡献（投资组合理论、CAPM、M-M定理）而获得1990年诺贝尔经济学奖． 1973年布莱克（F．Black）和索尔斯（M．S．Scholes）在“期权定价与公司负债”一文中提出著名的Black-Scholes公式．几乎与此同时，默顿（R．Merton）在“合理的期权定价理论”一文中对B-S模型和定价公式做了多方面系统的推广．三人关于期权定价理论的开创性工作被誉为华尔街的“第二次革命”，默顿和索尔斯因此获得了1997年的诺贝尔经济学奖（Black于1995年英年早逝，未能分享此项殊荣）．他们的理论和Markowitz-Sharpe理论一起构成了蓬勃发展的新学科――数理金融学的主要内容，同时也是研究新型衍生证券设计的新学科――金融工程的理论基础．期权（option）是一种最典型的未定权益（con-tingentclaim），它是一种合约，它的持有者有权利（但无义务）在一指定日期或一时期内以预先约定的价格购买或出售一定数量和品质的标的资产．在Bachelier（1900）的研究基础上，人们对期权定价问题进行了长期的研究，后来Cowles（1930），Kendall和Osborne（1950），Sorenkle（1961），Boness（1964）在股票市场的建模方面也做了一些工作．但具有实质性进展的结果应属于P．Samuelson（1965）．1950年著名统计学家L．J．Savage再一次发现了巴歇里埃博士的结果并将这一发现告诉了P．Samuelson，后者进一步发展了巴歇里埃的有关股票价格波动的结果．1964年，Sprenkle提出了“股票价格服从对数正态分布”的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性．同年，Boness将货币时间价值的概念引入期权定价过程，但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平的差异．P．Samuel-son（1965）用几何Brown运动来刻画股票的波动规律，并且在假定期权的风险水平与股票的风险水平不同的基础上提出了一个欧式期权的定价模型．1969年P．Samuelson和Merton又提出了另一个期权定价模型，在这一模型中，他们假设期权价格是股票价格的函数，所得的定价公式依赖于对“典型”的投资者所假定的效用函数．在此之前，虽然学者们已经建立了各种各样的期权定价模型，但这些模型几乎无任何实用价值，因为它们或多或少地包含一些主观的参数，如投资者个人对风险的态度、市场均衡价格等．直到1973年，期权定价理论才有了突破性的进展，Black和Scholes在前人研究的基础上，发现在无套利的条件下投资者对股票收益的预期是风险中性的，期权价值不依赖于每个投资者对股票收益率的预期．他们在“期权定价与公司负债”一文中，假定股票价格遵循几何Brown运动，股票的收益率和波动率为常数，利用无套利假设和随机分析中的伊藤（K．Ito）公式证明了股票期权价格可被表示成股票价格St和时间t的函数F（t，St），并且得到了F（t，St）满足的偏微分方程以及它的显式解，即B-S公式．在这一工作中，随机分析中的Ito公式和随机过程的马氏性起了关键的作用．正是随机分析在金融衍生定价中的应用，引起了很多数学家对金融的极大兴趣．所以，B-S公式的出现不仅在金融界引起了一次“革命”，而且在数学上对随机分析、随机控制、非线性分析、偏微分方程、数值分析、数理统计等许多方面也带来了巨大的推动力． 1976年罗斯（S．A．Ross）针对资本资产定价模型（CAPM）的单因素假定（即假定影响证券收益率的只是单个市场因素）提出了一个多因子模型，即套利定价理论（arbitragepricingtheory，APT），这一理论后来被称为是“资产定价基本定理”，其主要结论是：无套利假设等价于某种等价概率测度的存在，这使得每一种金融资产对该概率测度的期望收益率都等于无风险证券的收益率．APT是一个多因子模型，它提供了度量股票价格如何随众多的经济因素的改变而变化的方法，而模型的具体结构则由经验来确定．同年，考克斯（J．C．Cox）和罗斯提出了风险中性定价理论，这一理论对后来的期权定价鞅方法产生了重要影响．1997年罗斯和考克斯以及鲁宾斯坦（M．Rubinstein）一起，利用资产定价基本定理给出了B-S公式的简化证明，并提出了二项式期权定价模型．他们将股票价格设想为在未来若干时间间隔中越来越不确定地分叉变化，而在每两个时间间隔之间都有“未来收益的期望值等于无风险收益率”成立．由此得到期权定价的离散模型，而B-S公式无非是这一离散模型当时间间隔趋向于零时的极限． 1979年哈里森（J．M．Harrison）和克瑞普斯（S．R．Kreps）提出期权定价的鞅方法，他们用鞅论中的鞅测度概念来刻画无套利市场和不完全市场，并用等价鞅测度对期权进行定价、套期保值或对冲．他们证明了市场无套利的充要条件是等价鞅测度存在；市场完备的充要条件是等价鞅测度存在且唯一；当市场是完备市场时，任意未定权益都是可达到的，并且可由市场上的基础证券无套利复制，此时，任意未定权益都有唯一的无套利定价，并且任意未定权益的定价为未定权益期末收益的折现值在等价鞅测度下的数学期望．这一结果使随机分析中的鞅测度的概念与金融市场的无套利概念联系起来，从而使随机分析中半鞅的随机积分理论在金融衍生证券定价理论中有了用武之地，这对以后的数理金融学的发展产生了极其深远的影响． 纵观数理金融学在20世纪80年代以前这段历史，这一阶段奠定了数理金融学的基本框架，并且其基本内容已初步形成．特别是50年代以后，数理金融学在资产组合理论、公司财务理论、资产定价理论、期权定价理论等方面都有较丰富的发展． 现代数理金融学应该从20世纪80年代算起，这一时期一大批从事不同学科的科学工作者，如数学（概率论与随机分析、随机控制论、优化理论、数理统计）、统计物理学、非线性科学等学科的科研工作者被吸引到金融领域．他们试图用本学科研究方法来揭示金融市场这一复杂系统的演变规律．正是这些科学工作者的工作，使得数理金融学得到了蓬勃发展，主要工作可归纳为以下几个方面． 1） 期权定价与实物期权 期权定价理论在以下几个方面得到了丰富和发展： （1）将B-S模型推广到带跳的扩散过程（Fabioetal.，1993）和随机波动率情形，以便解释从实际期权市场观察到的、而B-S模型又无法解释的现象．有关随机波动率模型可参看Hull和White（1987），J．B．Wiggins（1987），Chesney和Scott（1989），Stein（1991），Heston（1993），S．J．Taylor（1994），J．Danielson（1994），M．Fridman和L．Harris（1998），S．J．Koopman和E．H．Uspensky（2002）． （2）研究依赖价格变化路径的变异期权（exoticoption）定价及其数值计算方法．现有文献主要集中研究完备市场模型下（扩散过程模型）各种变异期权的定价问题．对不完备市场，大部分文献在研究随机波动率模型下的变异期权定价和套期保值问题．相关文献可参看P.Carr等（1998）． （3）研究不完全市场［主要是带跳的随机过程（Levy过程）和一般的半鞅过程模型］中的期权定价、套期保值或对冲以及最优消费与投资组合的选择问题．目前，文献大部分都集中在研究一般半鞅模型下，资产定价的基本定理、未定权益的近似定价以及最优套期保值策略的选择．在该领域的研究中Harrison和Pliska（1979，1981，1983），F．Delbaen（1991，1994，1995，1998a，1998b），J．Jacod和Shiryaev（1998），H．Follmer和D.Sondermann（1986），H．Pham（1996，1998，2000），M．Schweizer（1990，1991，1992，1994，1995，1996，1998，1999，2001），Dalang，Morton和Willinger（1990），Stricker（1990），R．Jarrow和D．B．Madan（1999）等学者做了大量有意义的工作． （4）研究带“摩擦”的金融市场中的期权套期保值或对冲，这里“摩擦”是指有交易成本、税收、买卖价差和各种约束条件． （5）带违约风险的期权定价问题． （6）不对称信息下的市场交易． （7）实物期权．该类期权是以实物或无形资产作为期权的标的资产，它是期权定价理论在公司财务分析（如资本预算）中的应用．麦克唐纳（McDonald）和西格尔（Siegel）（1986）1986年首次提出实物期权的概念，迪克希特（A．Dixit）给出了实物期权的广泛应用． 2） 金融计量经济学 金融计量经济学在以下三个方面有较大进展： （1）提出了扩散过程模型中参数的各种估计方法．如极大似然估计法、广义矩方法、模拟矩方法、非参数方法． （2）提出了一些行之有效的金融时间序列模型．如R．F．Engle（1982）的自回归条件异方差（ARCH）模型，Bollerslev（1986）的广义自回归条件异方差（GARCH）模型，Nelson（1991）的指数GARCH（EGARCH）模型，证明了可用EGARCH来逼近连续时间的扩散过程． （3）在市场的微结构分析中，研究了金融市场中存在的买卖价差（bid-askspread）以及非等时间间隔和非同步交易等问题． 3） 最优消费投资组合 默顿首次在连续时间金融模型下用随机动态规划方法研究了最优消费投资组合问题．此后，众多学者对这一问题做了深入研究．1987年，I．Karatzas等从随机分析中鞅的表示定理出发，将完全市场中的动态最优消费投资组合问题转化为比较容易处理的静态最优化问题． 4） 利率的期限结构 为研究利率衍生产品的定价和风险管理，提出了许多利率期限结构模型，如Vasicek模型（1977）、CIR模型（1985）、HJM模型（1992）和BGM模型（1997）． 5） 金融工程 金融工程是集数理金融学、计算数学和工程学为一体的综合性交叉学科，其主要研究范围包括新金融产品和工具的设计与开发．20世纪80年代以来，为计算美式期权和复杂的变异期权的价格，数学家提出了一些行之有效的方法，如有限差分方法、Monte-Carlo方法和遗传算法等． 0．2　未定权益定价与套期保值的主要内容 未定权益定价与套期保值是当今数理金融学研究的热点问题之一．目前，有大批数学工作者（主要是从事随机分析、随机控制、优化理论和数理统计等学科的研究者）云集该领域，他们将很深奥的数学概念（如鞅测度）与金融学中的概念（如无套利和市场完备性）相联系，试图说明或解释金融现象．本节就有关未定权益的定价和套期保值的研究作一综述，以便读者能够对该领域研究现状和研究方法有一个初步认识． 研究未定权益的定价和套期保值问题，首先要解决市场的无套利性和完备性的刻画问题，即资产定价基本定理．第一基本定理涉及无套利机会（absenceofarbitrageoppor-tunities）存在与等价鞅测度（equivalentmartingalemeasures）存在之间的关系．第二基本定理涉及市场完备性与等价鞅测度的唯一性之间的关系．F．Delbaen（1993，2003）在一般半鞅模型假设下研究了无套利与等价鞅测度存在之间的关系，并获得了一系列重要的结果．Harrison和Kreps（1979），Harrison和Pliska（1981，1983），Taqqu和Willinger（1987）系统阐述并建立了未定权益分析的两个基本定理．Back和Pliska（1991）研究了无限证券市场模型下的资产定价的基本定理，并给出了无限证券市场模型下资产定价第一基本定理的一个反例．Dalang，Morton和Willinger（1990），Stricker（1990），Delbaen和Marc（2002），Lakner（1993），F．Delbaen和W．Schachermayer（1994，1998b）讨论了资产价格过程为一般半鞅模型下的第一基本定理．在市场上存在有限多个资产的情况下，Harrison和Pliska（1983）推广了资产定价的第二基本定理．R．Jarrow和D．B．Madan（1999）将资产定价的基本定理从有限个可交易资产推广到无限个可交易资产的情况． 未定权益（contingentclaims）是指一切未确定的（或然的）权益．本书中未定权益主要指一切金融衍生证券和金融工具．常见的金融衍生证券有远期合同（forwardcontracts）、期货（futures）、期权（options）和互换（swaps）．期权是最典型也是最常用的一种未定权益．我们以期权为例来说明未定权益这一概念． 期权是一项选择权，期权交易实质上是一种权利的买卖，期权的一方在向对方支付一定数额的货币（期权价）后，即拥有一定时间内以一定价格向对方购买或出售一定数量和一定品质的某种商品或有价证券（这一商品或有价证券被称为标的资产）的权利，而不承担必须买进或卖出的义务．看涨期权（calloption）的持有者有权在某一确定时间以某一确定的价格购买标的资产；看跌期权（putoption）的持有者有权在某一确定时间以某一确定的价格出售标的资产．期权被执行时支付给标的资产的价格叫做“执行价格”或“敲定价格”（exercisepriceorstrikeprice）．期权可被执行的最后时期叫“到期日”、“执行日”或“期

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