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宁西京编著的《量子力学衍义》根据作者自2000年以来在复旦大学现代物理研究所讲授“高等量子力学”课程的讲义整理而成。之所以称之为“量子力学衍义”是出于以下考虑：首先，考虑到许多人对量子力学的理解不能达到对经典力学理解的水平，即只能求解量子力学习题而不能应用量子力学解决科学技术问题。
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| 內容簡介： |
《量子力学衍义》首先论述了量子力学的理论构架，包括主要目标、基本方法及与经典力学之异同，并以普通实验室能够实现的实验观测为例，阐明量子效应的普遍意义以及应用量子力学的必要性。在此基础上依次介绍密度矩阵、相对论性波动方程、路径积分、二次量子化方法、量子场理论、电磁场的量子效应和量子散射理论。其中的量子场理论部分，主要讲述正则量子化的基本思想和方法；而电磁场的量子效应一章，除论述电磁场的正则量子化之外，还给出了量子电磁场与电子场相互作用的基本理论构架及处理具体问题的方法，它是量子电动力学和量子光学的基础。
《量子力学衍义》可用作物理类高年级本科生或研究生的“高等量子力学”课程的教材或参考书，也可作为数学、化学、材料和生物等专业研究生的教学参考书。
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| 目錄：
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序
第1章 品味量子力学
1.1 经典力学与量子力学
1.1.1 方法与任务
1.1.2 自由电子如何飞翔?
1.1.3 单摆振动有周期吗?
1.1.4 激光束中的氢原子
1.1.5 孪生子感应
1.1.6 量子革命运动
1.2 理论物理的基本特征
1.2.1 相对论的诞生
1.2.2 逻辑圈技术
1.2.3 道与物质波
1.3 映像的科学意义
1.3.1 自然映像
1.3.2 数理映像
1.3.3 物理体系的状态
1.4 弦外之音
1.4.1 观测与存在
1.4.2 偶然性与必然性
1.4.3 超时空量子相关
1.5 本章没有结尾
附录
第2章 量子力学基本构架
2.1 1906年可以发生的故事
2.2 相关的数学知识
2.2.1 由现实到虚幻
2.2.2 集合的基本概念
2.2.3 抽象空间
2.2.4 算符
2.2.5 表象理论
2.2.6 位置表象
2.2.7 向量空间的直和与直积
2.3 继续1906年的故事
2.4 量子力学基本原理
2.5 量子力学绘景
2.5.1 绘景
2.5.2 时间演化算符
2.5.3 绘景变换
2.6 密度矩阵理论
2.6.1 问题的提出
2.6.2 密度算符和矩阵
2.6.3 性质及意义
2.6.4 约化密度矩阵
2.7 波包与相干态
2.7.1 自由粒子波包
2.7.2 谐振子波包
2.7.3 相干态
2.8 量子力学简单应用
2.8.1 简谐振子模型
2.8.2 制备激发态原子
2.8.3 一种非厄米哈密顿算符
2.8.4 解读光谱“密码”
第3章 相对论性量子力学
3.1 狭义相对论的数学构架
3.1.1 任意坐标系
3.1.2 坐标变换及张量
3.1.3 度规张量
3.1.4 狭义相对论原理与闵可夫斯基四维时空
3.1.5 洛伦兹变换
3.1.6 四维速度与四维动量
3.2 克莱因-戈尔登方程
3.2.1 薛定谔方程的得出及其缺陷
3.2.2 克莱因-戈尔登方程
3.3 狄拉克方程
3.3.1 方程的建立
3.3.2 方程的协变形式
3.3.3 力学量随时间的变化
3.3.4 自由粒子的角动量
3.3.5 负能问题
3.4 电磁场中的电子
3.4.1 运动方程CGS单位制
3.4.2 泡利方程
3.4.3 等效哈密顿量
3.4.4 历史上的两个“2”因子
3.5 氢原子光谱的精细结构
3.5.1 哈密顿久期方程CGS单位制
3.5.2 中心力场中的守恒量
3.5.3 J2、Jz、K的共同本征态
3.5.4 H、J2、Jz、K的共同本征态
3.5.5 能谱结构
3.6 量子霍尔效应
3.6.1 霍尔效应简介
3.6.2 量子理论模型
3.7 克莱因佯谬
3.7.1 崂山道士能穿壁吗?
3.7.2 刚性壁里有“鬼”
3.7.3 谁是谁非
3.8 重新诠释克莱因-戈尔登方程
3.8.1 诠释
3.8.2 汤川秀树与π介子
3.9 结语
第4章 路径积分
4.1 让思想飞翔
4.2 传播函数与格林函数
4.3 传播函数的路径积分表达
4.4 多自由度传播函数
4.5 传播函数的特征及计算
4.5.1 自由粒子的传播函数
4.5.2 传播函数的特征
4.5.3 谐振子的传播函数
4.6 路径积分与量子统计
4.7 简单应用举例
4.7.1 求解本征值问题
4.7.2 描写体系的演化
4.7.3 阿哈拉诺夫-博姆效应
第5章 二次量子化方法
5.1 全同粒子体系
5.1.1 体系波函数基矢
5.1.2 粒子数表象
5.2 玻色子系统
5.2.1 产生、湮没算符
5.2.2 空间点ξ处的产生、湮没算符
5.2.3 表象变换
5.2.4 力学量的表达
5.3 费米子系统
5.4 二次量子化主要结果
5.5 “二次量子化”的意义
5.5.1 二次量子化
5.5.2 体系演化图景
5.6 应用
5.6.1 多体体系的一级微扰
5.6.2 固体中的电子
第6章 量子场理论
6.1 经典场论简介
6.1.1 粒子与场
6.1.2 质点组运动方程
6.1.3 场运动方程
6.1.4 诺伊特定理
6.1.5 诺伊特定理推论
6.2 正则量子化方法
6.3 薛定谔场量子化
6.4 标量场的量子化
6.4.1 实标量场
6.4.2 复标量场
6.4.3 规范场变换及诺伊特荷
6.5 狄拉克场量子化
6.5.1 经典描述
6.5.2 量子化
6.6 结语
第7章 电磁场的量子效应
7.1 经典电磁场理论
7.2 正则量子化洛伦兹规范
7.2.1 拉氏密度的构造
7.2.2 光子及其特性
7.3 正则量子化库仑规范
7.4 常见量子化形式
7.5 量子效应
7.5.1 真空涨落与卡西米尔力
7.5.2 兰姆位移
7.6 量子电磁场中的电子——量子电动力学基本架构
7.7 量子电磁场中的原子分子
7.7.1 各种理论模型
7.7.2 全量子理论
7.7.3 两能级与单模场作用
7.7.4 自发辐射和受激跃迁
7.7.5 拉比振荡
7.8 结语
第8章 量子散射理论
8.1 散射及意义
8.2 模型
8.2.1 实验模型
8.2.2 理论模型
8.3 定态形式理论
8.3.1 形式解
8.3.2 坐标表象展开
8.4 定态形式理论的应用
8.4.1 势散射
8.4.2 复合粒子散射
8.5 含时形式理论
8.5.1 含时格林算符
8.5.2 散射矩阵方法
致谢
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第1 章品味量子力学
孔子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。”初次学习“量子力学”课程，许多人都感觉“只见树木，不见森林”，并认为量子效应很遥远，仅在高精尖实验室才有可能观测到那些细微的效应。这是“学而不思”或“学而少思”所导致的“罔”。与经典力学的直观性不同，量子力学引入了物质波、力学量算符等概念，导致实物粒子运动无轨迹、能量角动量量子化等现象。这些看似“玄”的概念，使初学者不能对量子运动进行直观比喻和分析，难以在思想上形成简单的理论构架，以致离开量子力学教材便觉得一片茫然。虽然，聪明的学生可以处理各种量子力学习题，但却对实际的量子问题感到无从下手，更难于提出量子问题，至于品味量子力学背后的物理，即猜听弦外之音，更是凤毛麟角了。长此以往，学习量子力学便成了一件苦差事，传言“量子力学量力学”，有不少人甚至把“高等量子力学”归属于“天书”之类。
事实上，量子效应就在我们身边，你所面对的这本书就可被描述为一个量子的全同粒子体系，量子效应将导致其褪色；在普通实验室进行的光谱测量、激光与原子分子的相互作用，都涉及显著的量子效应，必须采用量子力学描写电子的运动才能得到与实验观测相吻合的结果。只要经常思考量子力学与经典力学的异同及其与日常经验和现代技术的联系，就能深入理解量子理论。还应注意到，量子力学特别是高等量子力学属于理论物理学范畴，而理论物理学之简单明了与博大精深，足以使领悟者如“子在齐闻韶，三月不知肉味”①。因此，欲赏析量子力学，品味其中奥妙，建立明晰构架，还需了解理论物理学的基本特征与辉煌成果。
1.1 经典力学与量子力学
量子力学的特征似乎可用“玄、妙、难”三个字概括。所谓“玄”，即力学量代之以算符，系统状态付之于波函数，而实验人员只能观测到系统“允许”的本征值等。无论你能否接受这些“玄”念，人们已经用量子力学打开了微观世界和反物质世界的大门，并且正在预言着即将被实验所验证的奇妙现象或奇异存在，
①杨伯峻. 2006. 论语译注. 北京：中华书局。
量 子 力 学
故可谓“妙”。相对于牛顿力学，量子力学所涉及的数学是复杂了一些，但还称不上难。“难”的根源主要在于没有理解量子理论框架，不知数学推演的目标，因此便没有演算的动机，也就不去实践数学推演。事实上，相对于逻辑思辨，物理学中涉及的数学推演要轻松多了，因为它是“机械化”式的流水逻辑，只要你动手做就行了。所以只要究其“玄”，观其“妙”，“难”就不在话下了。
【题外之言】“玄妙”并不仅仅限于现代物理学，它是一种普遍的文化现象。
在中华传统文化中的“玄”念有：“阴、阳”，“经、络”，前者无测度意义，后者
无解剖实体，然而在“阴、阳”基础上形成了《周易》逻辑，以“经、络”为线
索发展了中医学说。有人说与西方医学相比较，中医没什么作用。然而，在20
世纪之前，中华民族只依靠中医祛病延年，汉族人平均寿命并不短于西方民族
而且保持了人口最多的世界纪录。事实上，中医理论与中华传统文化血肉交融，
而在中华传统文化中还有许多玄妙现象。传说三国时期，在武昌矶头山修炼的
道士费?，驾一只黄鹤西去未归，从此道士曾栖身的楼阁便成了人们心目中的
黄鹤楼，有“楼兴则国兴”之说。历史上的黄鹤楼几经战火焚毁，几经国人重
建。当下迁址重建的黄鹤楼，拥有其历史上最大的建筑规模。唐代中期的诗人
崔颢曾写道：
昔人已乘黄鹤去，此地空余黄鹤楼。黄鹤一去不复返，白云千载空悠悠。晴川历历汉阳树，芳草萋萋鹦鹉洲。日暮乡关何处是？烟波江上使人愁。
此诗的情绪一路直下，似乎照应了国运从盛唐一直衰落到八国联军踏破国门的晚清。耐人寻味的是，自盛唐至清末这长达一千多年的时间里，没有其他著名诗人以黄鹤楼为题言情话志。据说，李白当年登黄鹤楼正欲提笔时，看到了崔颢一诗，自叹道：“眼前有景道不得，崔颢题诗在上头”。1927 年毛泽东主席在黄鹤楼上填写了《菩萨蛮?黄鹤楼》：
茫茫九派流中国，沉沉一线穿南北。烟雨莽苍苍，龟蛇锁大江。黄鹤知何去？剩有游人处。把酒酹滔滔，心潮逐浪高！
似乎正是词中汹涌澎湃的波涛卷起了从此以后的民族大革命风暴。真可谓：
黄鹤已去空余楼，崔颢一诗千年愁。李仙兴叹不能书，只缘有诗在上头。毛君挥毫黄鹤楼*，茫茫九派泛神州。东方红日照江山，巨龙腾飞争风流。
科学用逻辑推理，诗词寄情景联想，是两种不同的思维通道，科学文化与诗歌文化相互贯通、相互影响。玻尔曾写道：“在说到原子时，语言只能像在诗中那样运用。诗人也是那样，不太关心描述事实，更关心的是创造形象。”当今最活跃的世界数学大师、哈佛大学的丘成桐教授，虽昼夜埋头于数学研究，而吟风弄诗仍是他日常生活的一部分，隔三差五，他便把诗词新作与学生们一起分享。2010 年底，他在北京的一次演讲中，谈《诗经》、《楚辞》，咏诗词歌赋，评古今名流，论中外典籍，信手拈来，侃侃而谈，俨然一位文学大家。事实上，音乐也是无言的诗歌，谁敢说爱因斯坦演奏小提琴对其科学发现没有促进作用？世界很玄妙，也正因为如此玄妙，才富有诱人的魅力。如果所有物体的运动都像摆钟那样的简单往复，你不觉得枯燥无味吗？【言归正传】
1.1.1 方法与任务
我们都深信牛顿三定律的正确性，那么当把牛顿第二定律应用于你手中的笔杆时它成立吗？否。你把质量为10g 的钢笔抛向空中，沿水平方向给笔杆一端A 施加1N 的力，这时测量A 端的水平加速度，它肯定大于由牛顿第二定律所得之
值100ms2。要记住，F. = ma . 仅对质点成立。所谓质点，是一个有质量而无体积
的“玄”念，它是牛顿“发明”的与日常经验相悖的“怪物”。而正是这个“玄”念，使牛顿能够描写行星最微妙的运动，能够解答他那个时代全部的科学之谜。经典力学将一个宏观物理客体视为由若干 N个质点组成的体系S，对该体
系的描写方法是确定每一个质点的位置矢量r. i和相应的速度v. i i=1,2,.,N, 由
此便可得到体系的能量、动量、角动量等所有的力学性质。对于同一体系S也有3 另外的完全不同的描写方法，如热力学方法只描写体系的压强、体积和温度等物第 1 理量。相对于经典力学的描写，热力学方法涉及的变量数少了很多，不包含微观章 结构层次的信息，但对宏观物理体系却能够方便地给出大量有用信息。例如，利用熵增原理或自由能判据可推知体系应向生成某种物质A 的方向发展，虽然从化品 学反应通道来看，生成其他物质B、C 等也是可能的。原则上讲，经典力学也应味
量
该能够给出同样的信息，但因为宏观体系由大量～1023 个粒子组成，一般不可能
. . . . 子
获得r和随时间变化的确切表达式rt和vt，所以实际上不能给出这样的力
iviii
学
―――――――――
* 毛君指毛泽东。
量 子 力 学
信息。
由上面的讨论可见，描写同一物理体系状态的方法可以是经典力学也可以是
热力学。对于同一体系，量子力学的描写方法又迥然不同，它既不用位置和速度，
也不用压强、体积和温度，而是用波函数来确定体系的状态，由波函数可唯一地
给出有关体系特性能量和动量、压强和温度等的所有信息，但反过来在大多情
况下却不能由后者唯一确定波函数。
经典力学的任务大致可分为三类：
1 初值问题：给定系. 统初始时刻的状态，即每一个质点的坐标及速度，给定每一个质点的受力函数Fit，描写预言体系未来的状态位置和速度。
2 定态问题：给定体系的受力条件，描写体系最后达到的平衡状态质点或刚体的位置。
3 逆向问题：已知系统中质点的运动规律反推质点或由无数质点组成的物体的受力信息。例如在汽车设计中，需要根据时速确定轮胎所受的离心力，从而设计所用材料的强度。
量子力学作为力学也履行经典力学的三个任务。所不同的是，面对初值问题确定系统的初始波函数时很难用仪器直接测量。通常将能量最低的本征态视为初态，其依据是量子体系特别是由少数粒子组成的体系容易达到统计力学平衡态，这时系统处于最低能态的概率最大。处理定态问题时，由于量子力学引入了力学量算符，导致体系的力学量通常只能取一些分立值，即出现不连续的量子化现象。量子力学将力学的第三个任务处理为散射问题，即由碰撞后粒子的运动状态确定碰撞过程中的作用力形式。核力的性质就是由这种方法确定的。
练习根据玻尔兹曼分布计算温度分别为 300K、1000K 时氢原子基态布居数概率与第一激发态之比。
量子力学在履行上述任务时，首先根据经典力学关于质点或质点组的哈密顿量写出相应的算符，由此确定系统的波函数Ψt随时间的演化，而波函数模平
方Ψ t
2 代表质点在空间某点出现的概率密度。在这种意义上，可以说量子力学
描写的对象仍然是质点而不是电磁场或引力场在微观层次而不是热力学描写的宏观层次的运动状态，这是与经典力学相同的。所不同的是，经典力学属于确定论范畴给出的描写是唯一确定的，而量子力学通常只给出各种事件出现的概率，即便是任意时刻的波函数Ψt已被完全确定。因此，量子力学经常要处理两种平均，即量子力学平均和系综平均。前者是量子力学内禀构架的要求，后者则属于经典的统计物理平均。这两种平均容易引起一些混淆，下面举一实例说明更详细的讨论见2.6 节。在激光同位素分离过程中，需利用含时薛定谔方程模拟激光与铀原子作用的动力学过程，故需首先确定铀原子的初态波函数。铀原子238U 有一个亚稳态.1，其能量高出基态.00.077eV。在同位素分离过程中将铀原子气化所需的温度为2000K，这时亚稳态.1的布居数约占基态.0布居的 60%按玻尔
兹曼分布计算，即在激光作用前，已有部分原子处于基态.0，部分处于亚稳态.1其他激发态的布居可忽略不计。那么体系的初态波函数能否写成
1
0.6
Ψ 0= .0 + .1 1.1
10+ .10.6
6 +
否！亚稳态的布居是由于热碰撞导致的，而碰撞是随机过程，致使基态波函数.0 与亚稳态波函数.1之间没有固定相位差，但1.1式表示.0 和.1之间有确定的相位差。正确的处理方法应该是，将初态处于基态和亚稳态的原子处理为两个不同的量子力学系综，即首先令系统初态为Ψ0=.0 ，由含时薛定谔方程得到一个解
Ψ1 t，由此可得到任一力学量F.的平均值F∫ *111.tFΨΨ=tdτ。这是纯系综Ψ1 t
的平均，也称为量子力学平均。然后，再将系统初态取为Ψ0=.1 而得到另一波
函数Ψ 2 t，因此又得到一量子力学平均F∫ *222.tFΨΨ=tdτ。由于两个系综混合
在一起，实验观测的结果应是两个系综的经典统计物理平均，即系综平均
1 0.6
F = F1 +F2 1.2
1.6 1.6
实际计算可发现，应用初态1.1式得出的结果与1.2式相应的系综平均相去甚远。
为了具体比较量子力学与经典力学的区别，也为了应用量子力学解决我们在一般实验室经常遇到的实际问题，下面选取几个实例进行讨论。在阅读下文之前，请先想想在你的周围有哪些问题必须用量子力学处理才能得到正确答案。
1.1.2 自由电子如何飞翔? 5
第
与人们日常生活最密切相关的基本粒子是电子。我们所感受到的各种物体的章 1 颜色、体积、软硬程度，都由电子的运动状态决定；有关电视、电脑等各种电器以及大量测量仪器的设计，科学家或工程师也主要关注电子的运动状态。自从量品 子力学诞生以来，其主要处理的物理对象也是电子。近年来，由于计算机技术的味 发展，基于量子力学基本原理亦称为第一性原理计算电子运动状态的商用软件量 子 包已广泛应用于物理、化学、材料及生物学领域，C60的足球结构就是由这种计算力 而不是实验观察得到的。事实上，电子的禀性绝非常人所想象的那样简单明了，学 它特别是它们常常显示出十分诡异的特性。我们暂不考虑超导体中电子的“超
量 子 力 学
越”行为，也不考虑激光器中电子“生产”光子的过程，这里只分析真空中一个电子的飞行问题。
如图1.1 所示，电子枪将一个电子以速度v. 射入真空室。设电子进入真空室时的位置矢量为零，试问经历时间t后，电子空间位置如何？作为一道物理试题
v . 的答案，如果考生给出
rt=.
vt1.3
x
即可得到满分，考生从而会感到“满足”。
图1.1 长期的、各种各样的类似“满足”将使
考生感到已经懂得了物理，即套用数学公式解应用题。事实上，物理学远非如此机械枯燥！这里速度v. 的测量就是一个有趣的问题。按照速度的定义，其测定必须观测粒子在给定时间间隔Δt内所经过的空间距离Δs，由此得到在Δs内的平均速度v=ΔsΔt。如果选取Δs很小，则必然导致相对大的距离和时间测量误差；如果增大Δs，则不能保证粒子飞越此距离时速度始终保持不变。也就是说实验不能验证1.3式是否严格成立。你也许会说，随着测量技术的不断提高，测量结果总可以无限逼近1.3式的精确结果。然而，随着测量精度的不断提高，你必然遇到以下困难。
1.3式成立的前提是零时刻电子的位置矢量为零，也就是说我们必须在给定的零时刻准确测定电子的空间位置。按照量子力学关于动量亦速度 p. 与位置r. 测
量的不确定性关系 rp.2当完全测定了电子的位置 r0其动量因
ΔΔ≥，Δ=时，而速度v. 的不确定范围是无限大；反之，当动量完全被测定 p. 0时，位置的
Δ=
不确定范围Δr. 是无限大。无论上述哪种情况，都完全否定1.3式的测量意义。因
. . .. .
此，只能采取折中的方法，即在有限空间范围.. r 0, Δ= 2mr. . 确定电子初始
Δ≠ v Δ.
位置，故相应于1.3式的表达应是
rt=.+rΔ.
vtΔ+vt1.4
如果仅考虑沿x轴的运动，则有
.t
xt+Δ+Δvt+Δ+1.5
=vtx x vt x =x x 2mx
Δ
为了使.. x .t Δ..取最小值，由此可得到测量位
xt的不确定范围最小，应使.Δ+ 2mx.
置的最优范围是 t的单位是秒
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